2025-2026学年湖北省水果湖某中学高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年湖北省水果湖高级中学高二上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线心近后%+，亏、+3=0的倾斜角为（）

AAR-C―口U2

-3S66-3

2.直线（a+1）无+y—1=0,%：2x+ay+a—2=0,则“匕//。”的充要条件是（）

A.a=1B.a=-2C.a=1或一2D.以上均不对

3.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，

若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球利用电脑随

机产牛1到4之间取整数值的随机数.用1.2.3,4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字.

以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）

2A—10B—20口C-5D-4

4.已知正四棱锥P-4BCD的所有棱长均为1,0为底面48CD内一点，且m=J耳？+4而+；4QW

R）,则而•丽=（）

57「3p.4

AA.五BnnC4D-3

5.已知空间向量间=，B,Bl=5,且五与坂夹角的余弦值为一驾，贝皈在板上的投影向量为（）

11bo

AA9/l3rDB9/137「C9Tbn9真

--——"-25D-25h

6.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用工表示白色骰子的点数，y表示红色骰子的点数，设事件

力="X+y=6"，事件B="xy为偶数”，事件C=">>3”，则下列结论正确的是（）

人.,4与8对立B.P（BQ=C.A与。相互独立D.8与C相互独立

7.如图，在三棱柱为巾，M,N分别是当加上的点，且BM=24M,CiN=2&N.设而=

a,AC=b^丽=3若N/MC=90。，LBAAr=LCAAr=60°,AB=AC=AAr=1,则下列结论中正

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确的是（）

A.而=京+颉+家B.\MN\=l

C.ABX1BCrD.cos（ABi，BC^=

8.如图，在直三棱柱ABC-Ci中，△248c为腰长为2的等腰直角三角形，月.AB>47,CCt=2,

AB=2AE>P为平面力i"内一动点，则P4+PE的最小值是（）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中।有多项符合题目要求。

9.二、多选题下列四个命题中正确的有（）

A.过点（3,1）,且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为％+y-4=0,x-y-2=0

B.若直线履+y-k+1=。和以M（—3,1）,N（3,2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（-8,-||u

原+8）

C.若三条直线％+y=0,x-y=0,x+ay=3-Q不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合

为

D.若直线I沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线I的

斜率为。

IO在一个不透明的袋子中，装有大小、材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记

Ri="第i次取到红球“，Gj=”第i次取到绿球"，其中i=l,2,则下列说法正确的是（）

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A.若有放I可地抽取，则户R)=P(/?2)=P(GD=Pg=1

B.若有放回地抽取,则PKG?)=摄

C.若不放回地抽取，则PRG2)=4

D.若不放回地抽取，则户(%+G2)=4

11.如图，在棱长为2的正方体/18。0—a8心。1中，E为A&的中点，点F满足布=〃百瓦(0W/lW1)，

A.当入=0时，ACX1平面80F

B.注意4€[0,1],三楂锥尸一80E的体积是定值

C.存在Ae[0,1],使得4c与平面BD尸所成的角为?

D.当;I二:时，平面3DF截该正方体的外接球所得截面的面积为意n

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.直线，经过点力(0,1),且倾斜角为直线、=-03-1的倾斜角的一半，则，的方程为.

13.已知向量力以｛乙丸可为基底时的坐标为(2,-3,2),则户以值-21,五+方,d+己为基底时的坐标

为.

14.如图，圆锥S。的顶点为S,点A,B,C,。在底面圆。的圆周上，且4C,80的交点为圆心0,AB=

2y[2,AC=4,SO=2,则平面S4B与平面SC。夹角的余弦值为:若P是母线SC上一点，且CP=

^CS,Q是平面SBO内一点，则ACPQ周长的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现

从中随机抽取了50名学生的成绩,按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成5组,制成了如图所示的频率分布

(1)求频率分布直方图中工的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组

区间的中点值代表)；

(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有

1人成绩在［80,90)的概率.

16.(本小题15分)

已知A的三个顶点是人(4,0),8(2,4),C(0,3).

(1)求边48上的中线所在直线的一般式方程；

(2)过点8做直线力。的垂线80,求垂足。的坐标.

17.(本小题15分)

如图，四棱锥P-/18CZ)中，底面ABCD是边长为2的正方形，「。1平面；48。。，PA=PC=3,E,F,G分别

是P4PGPD上的点,且4E=CF=1.

(1)证明：BG1AC；

(2)已知四点共面,求DG的长.

18.(本小题17分)

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如图，已知在矩形ABC。中，AB=3/2,BC=6,点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H,现将△4CD

沿4c折起，点D的位置记为。'，此时M是的中点.

(1)求证：BM〃平面O'HE；

(2)求证：CA平面D'HE；

(3)求二面角4-D'E-〃的余弦值.

19.(本小题17分)

已知一条动直线3(7n+l)x+(7n-l)y-6zn-2=0,直线，过动直线的定点P,且直线I与x轴、y轴的正

半轴分别交于4B两点、,0为坐标原点.

⑴是否存在直线［满足下列条件：①△408的周长为12；②△408的面积为6.若存在，求出直线/的方

程；若不存在，请说明理由.

(2)当|PA|+||PB|取得最小值时，求直线1的方程.

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参考答案

\.D

2.B

3.B

4.5

5.0

6.B

7.0

8.B

9.BD

1(.).BCD

1l.ACD

12.y=y/~3x+1

13.(1,-1,2)

15.【详解】(1)由已知可得(0.01x2+0.03x2+x)x10=1,解得x=0.02,

所抽取的50名学生成绩的平均数为55x0.1+65x0.3+75x0.3+85x0.24-95x0.1=74(分)，

由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4,前三组的频率之和为0.1+0.3X2=0.7,

所以，中位数QW(70,80),由题意可得0.4+(a-70)x0.03=0.5,解得。=竽(分).

(2)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5,故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1,

记成绩在［70,80)这组的3名学生分别为a,瓦c,成绩在［80,90)这组的2名学生分别为d,e,成绩在(90,100］这

组的1名学生为

则从中任抽取2人的所有可能结果为(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(瓦c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、

(c,d)、(c,e)、(c,f)、®,e)、(d,f)、(e,f),共15种.

其中恰有1人成绩在［80,90)为(a,d)、(a,e)、(b,d)、(瓦e)、(c,d)、(c,e)、(d,/)、(e,f)共8种.

故所求概率为P=

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16.【详解】(1)48中点为(3,2),由直线两点式方程会二芸,

故边AB上的中线所在直线的一般式方程为％+3y-9=0.

(2)由题意知，服c=^=-3则垂线8。的斜率心°=一/一

Q—U4Me

故直线4c的方程为y=-^(x-4),即3x+4y—12=0,

直线B。的方程为y-4=?(%—2),即4工-3y+4=0,

联立4c和BD方程，『：：?：；常,解得垂足呜卷).

17.【详解】(1)证明：连接8。与4C,因为底面力BCD是正方形，所以80_L4C,

又因为PD1平面4BCD,且ACu平面ABCD,所以PDJL/1C,

因为8DCiPD=D,月.8D,PZ)u平面PDB,所以力C1平面PDB,

又因为BGu平面PDB,所以BG14C.

(2)解：以。为坐标原点，以ZM,0C,Z)P分别为“轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，因为04=&?=3,40=2,所以PD=」产入2一力。2二门,

又因为4E=CF=1,则知E,F分别是P4和PC上的三分点，

可得3(220),呜0,多,尸(0片,豺

设G(0,0,/i),则乔=(-2,一|,学，丽=(/一2,苧)，前=(-2,-2㈤，

”

z-O

BF•元=-2x—4-3

3">

ZO

(FE-n=--x-2y+3-

令z=V"耳，可得力=亮,yj,所以五二(益,门)，

OO\OO/

因为BGu平面BEF,所以兹•元二0,即一3一+店/1=0,解得力=笑

442

所以DG的长为苧.

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18.【详解】⑴法一：在矩形48CD中，连接CM,交0E于点0,则易知四边形MEC。为矩形,

所以CM与DE互相平分，即点。为CM中点，又因为点E为BC中点，

所以在三棱锥。'-4BC中，E0//BM,

法二：取线段/月的中点N,连接MN、BN,

翻折前,在矩形A8CD中，・.・E为BC的中点,BC//AD,

则略=黑=；所以，4〃=2CH,

AHAD2

翻折后，在三棱锥D'—ABC中，N分别为力“、4”的中点,

则MN〃0H,MNU平面。'HE,D'Hu平面。'HE,MN〃平面D'HE,

♦••N为AH的中点，且A”=2CH,则4N=NH=CH,

所以，”为CN的中点，又因为E为8c的中点，所以，EH//BN,

•••EHu平面。HE,BNU平面D'HE,所以，BN〃平面D'HE,

•：BNCMN=N,所以，平面BMN〃平面DEE,

因为BMu平面BMN,,〃平面D3E；

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D'

(2)在矩形A8CD中，CD=AB=3/2,CE=^BC=3,

AC=VAD2+CD2=3<6，DE=VCD2+CE2=3/3,

因为CH=0H,^\CH=\AC=/6,

因为BC〃4%E为8c的中点，所以，器=黑=；,则£H=：ZTH

''DHAD22

所以，EH=、DE=G所以，EH2+CH2=CE2,

所以EH1CH,即

在三棱锥Z/-ABC中,则有AC1EH,ACLDrH,

因为。〃CEH=〃，所以，4C1平面

(3)过点H作1O'E,垂足为点F,连接4凡

•••AC1平面D'EH,D'Eu平面。EH,AC1D'E,

因为ZTE1HF,AHnHF=H,，。七1平面4HF,

-AF(z^AHF,：,D'E1.AF,所以，二面角A--H的平面角为乙4FH.

在中，DrH=273,HE=/3,EDf=/15,

ED,2=D'H2+HE2,：.D'HLEH.HF1D'E,所以，/二^^,

又因为AH=AC-HC=3逐一在=2店,所以4尸=CT存存户=与竺

故coszAFH=冬=等，因此，二面角力-O'E-H的余弦值为评.

19.【详解】(l)3(m+l)x+(m-l)y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,

由朦？二建：解得故动直线过定点P(Q).

设直线Z的方程为:+/=l(a>0,b>0),

将P©,2)代入得媒+41.①