2025-2026学年北师大版高二数学上学期第一次月考（全解全析）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版必修第一册第一章预备知识。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知椭圆的离心率为:，则k的值为（）

k-2

4|„|433

A.-B.-C.4或二D.;或二

34434

1.【答案】D

【解析】当C的焦点在x轴.上时，k>\,

易知a=&,b=l,c=一1,则e=:,解得

yjk23

当C的焦点在F轴上时，0<1<1,

易知7=&,Q=l,c=J1—k,则e=，-A=',解得氏=g,

24

43

所以£的值为；或二.

34

故选：D.

2.已知圆小+『-2仆+4对-5/-9=0上所有点都在第二象限，则。的取值范围为（）

A.-3,-1B.卜3,-g）C.（-S.-3）D.（-00,-3]

2.【答案】C

【解析】由题意，在圆广+/-23+4.F+5</-9=0中，+（『+2。「=9,

，圆心坐标为（。，-加），半径为3.

•・•圆上所有点都在第二象限,

</<0

-2a>0

,+3<。,解得。一3.

-2a-3>0

故选:C.

3.已知直线：--I绕点逆时针旋转白得到直线则1的斜截式方程为（）

14

A.v=y/ix-1

C.J,邛1D.

2

3.【答案】B

【解析】直线L：y=i・l,其斜率4=1,设其倾斜角为四，则=1,又因为倾斜角所以

it

直线绕点（0.7）逆时针旋转言，则直线I：的倾斜角5K_2it

1243•

2JTL

直线/：的斜率&=tana,=tan-=-V3.

J

又因为直线1过点,所以直线'的斜截式方程为.「一I.

故选：B.

4.2024年10月22口，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号A（。I）、B（OI）、

B（Q"卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.如图，假设天平三号"01）卫星运

动的轨道是以地球的球心为•个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球

表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号川01）卫星运行的轨

迹方程可以为（）近地点

A.=+大=1B.—+—=i

98916

v

C.=1D.//地点

1.35?3.35?3.5?1.2?

4.【答案】A

【解析】由题意知，A（OI）卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

由题可知，I.35+I.3f3.35=2tf,即。=3.

因为天平三号A(01)卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米,

所以0・c=L35+O.65=2,可得c=l,

因此尸=J•1=J：・1J8,结合选项可知A满足.

故选:A.

5.己知直线»'M""0与圆。：/+/=4相交于A,6两点，则当打4取最小值时，桁=()

A.-2B.-IC.D.0

5.【答案】B

【解析】/：wv-y-w+l=0=>/n(.r-l)+l-y=0,故过定点

又|'+入4,故“(11)在圆0：/+/=4内，

所以当OMJ./8时，|4固取最小值，此时£四=；=1，

又L=)",所以m=-1.

故选：B.

6.若圆「7：・人-仙-1。=。上至少有三个不同的点到直线，：。一打:0的距离为26，则直线的斜率

的取值范围为().

A.[2・五2+6]B.[-2-",2叫

C,[-2+73.2+73]D.12-32网

6.【答案】A

【解析】因为直线/："♦打=。的斜率存在，所以S0,

圆厂•「：一打一。整理为|一2「♦l.「2「=|3J^/，

，圆心坐标为(2.2),半径为3。，

要求圆上至少有三个不同的点到直线+打=0的距离为26,

则圆心到直线的距离应小于等于VT，4立，

+4+K0,±&-2+6

(f)b

设直线的斜率为h则£=-，.・.2-G-W2+G，

D

・••直线的斜率的取值范围是[2-6,2+—].

故选：A.

22

7.如图，已知椭I员1。：1+?=1|o6>0）的左、右焦点分别为F,F2,P是椭圆上的点，ZiPFiFr的内

PI

切圆的圆心为/,延长“，交》轴于点8,若蝙=2,则椭圆的离心率等于（）2L

AA…后必

A

-32TTfOBF2JX

C1D1'

45

7.【答案】B

【解析】解法一：因为/是△PFF?的内心，

倒二用二|房|

由内角平分线定理得

|阳一甲r「内耳

因因性1=现

所以

IM+IM2c

故选:B.

解法二：设内切圆的半径为，

则SJ/VJ：=彳（2。+2c）r=（a+c）r,=）

"+C

所以《~~"=----，

5叼c

pi5

由已知条件*=2,得产&=3,

所以3=竺£,得q=2c，即e=!，

c2

故选:B.

8.在平面直角坐标系中，已知动点片。力）到两直线4：J'=2x与&：F=-；X+]的距离之和为则;二的

2"+4

取值范围是（）

8.【答案】C

【解析】将直线4：y=2x与Hy=-gx+]化为一般式为4：2x-y=04：x+2y-2=0,

|2o-Z»|la+26-21万

所以P（。力）到两直线的距离之和为下人一=V5,

所以2。-加+|a+2/>-2|=5①.

f2a-h^0.

当〃）n时，①式变形为3。+6=7；

[a+2n-2>0

f%-60,

当Vf时，①式变形为。・3b=3；

f2"-b<0,

当“时，①式变形为・a+3b=7；

[a+2/>-220

[2"-8<0,

当《“人时，①式变形为3。"=・3.

[a+2/>-2vU

则动点外。力）的轨迹为如图所示的四边形的边，

黑的几何意义为四边形边上任意一点与m-4、T）连线的斜率.

%+〃=-33一6

由，得，=

%―〃=0'.产？

由《13。+/>=-38.9

得”--,0=—

一。+劝=7'55'

所以铝的取值范围是

a

故选：C.

2a-6=O

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知直线/：1・上7:。，则下列说法正确的是（）

A.直线在主轴上的截距为1B.直线与直线l：x-3］，+2=°之间的距总为噜

C.直线的一个方向向量为万=化3）D.直线与直线4：3x+y+l=。垂直

9.【答案】BD

【解析】对于A,令F=。得x=-l,直线在工轴上的截距为-1,故A错误;

2-1y/10

平行，直线与直线4：x-3y+2=。之间的距离为

对于B,直线与直线"+(-3产"10-'故B正确;

对十C,直线的斜率为：，以万=化3）为方向向量的直线的斜率为3,故C错误;

对于D,由Ix3、（-3）x|,■，得/1/：,故D正确.

故选：BD.

10.已知〃为圆。：J♦/一上的动点，直线/：打+“-”、与x,y轴分别交于M,N两点，Q为直线

VN上的动点，过点Q作圆。的两条切线，切点分别为A,B,则（）

A.若点C（（M）,则|户”|+|%|的最小值为所

B.△PMN的最小面积是4

C.若々08=120、则Q点坐标为（0用或偿,一1|）

D.四边形。408周长的最小值为士皆+4

10.【答案】ACD

【解析】由题意得“（3.0）,N（0.4）,C（O,I）,因为点C（0.1）在圆内，点“（3。在圆外，所以可知

PM|+"'I的最小值,

即为当M,P,C三点共线时WO的值，|MC|=J(-3)」+C=风A正确；

由题意得用(3,0),N(0,4),圆O的圆心(0.0)到直线1的距离d=7二?,

+3*3

所以点P到该宜线距离的最小值为号-2=；,所以(S"L=：x配不(汩,B错误；

当乙408=120。时，/鹿8=6Q\UQ0=IAQO=30°,所以sinN4QO=图=；,所以㈣=4.

96

X=25,

4-r3+.；v—=)26=,0,解得|x=0,所以点Q的坐标为(。.41或后,-；C正确;

设。(X/),则,…或

28

7=---,

25

四边形。/。B的周长为4+|80+：/。|,因为BQ\=\.4Q\,所以四边形的周长为4+24。|.

设|。。|=/|，25)，当。0-时，|可取得最小值，此时301=J。。|14也取得最小值,

则|/。|=庐7,则四边形小。8的周长为2户7+4，

则当I取最小值与山四边形。/°8的周长最小，最小值为母-4,D正确.

,5

故选：ACD.

11.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的

另一个焦点.已知椭圆C：£+V=1,其左、右焦点分别是K,8,尸为椭圆C上任意一点，直线与椭圆

4

c相切于点乙过点?与垂直的直线与椭圆的长轴交于点N，NGaV/nNEPM―点OlO."),给出下列

四个结论，正确的是()

A.△PF1F：J面积的最大值为行

B.。。|+/'工的最大值为8

C.若|w|■网,则

D.若F#U,垂足为乂），则£+y：=4

11.【答案】ACD

【解析】由椭圆方程可知：。=2,/>=1,c=U』=6

对于：当点尸为短轴顶点时，△面积的最大，最大值为:

APF1F2x26xl,故A正确;

对于B：因为附|叱（=2”4,则|%|=4・|P用,

7

可得|PQ|“PF」=4+Pp|-|PF1|^4+|F10|=4+^76=7,

当且仅当尸为线段Qj与椭圆的交点时，取到最大，

所以|?。|+"I的最大值为7,故B错误;

对于C：由椭圆的光学性质，得点尸与垂直的直线为角4岁的角平分线,

则打一皿一幽

■

设籍则四|〃|空|,

可得附用=涪，NF卜罂，怩"=言，内”=白

则cosZFJM=cosZMPF.,

即

整理可得上：・"+3=0,解得仁=1或〃=3,

\PF\|FW|f八

当A=1时，pF=FM=1,A/与。重合，不合题意,

所以*=3,即"|=J"：|,故C正确:

对于D：如图，延长FJ,交于点G,

则在中，PRiGR,/F：PR=ZGPR,

则户用=|PG|且K为F?G中点,连OR,

在△FF2G中，|04=；怩3=；伊/“收|)=；(|「/+|"|)=。=2,

则点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，即£+4=4,故D正确.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线4：x+"+l=04：(o・Dx+2y-2=0.若“〃?，贝！实数。的值为.

12.【答案】2

【解析】因为〃%,所以2"(。-1)=0,解得”2或…1.

当。=2时，4：x+2y+l=04：x+2y-2=0,符合题意.

当。=7时，/,:x-y+l=O./2:-2x+2y-2=O,两直线重合，不合题意.

综上,。=2.

故答案为：2.

13.已知直线的斜率小于0,且经过点外6,8),并与坐标轴交于乩8两点，C|4.0),当的面积

取得最小值时，直线的斜率为

13.【答案】-华

【解析】设直线/的方程为"8二-&(x-6)W>0),令F=°,得x=6+「令x=0,得-8+6t.

k

则和坐标轴的交点为8(0,8-64).

QQ

所以Xq=6+[_4=2+£,

AA

；1（2+：）[8+6A）=32+?+6C32+2.g6A=32+164,当且汉当?=6人,

可得△.(；的面积为5=

即〃=4占等号成立;

3

故答案为：-生叵.

3

14.已知R,入分别是椭圆：二+二=l|q>/)>0|的左、右焦点，P是以FJ,为直径的圆与椭圆在第一象

o*b'

限内的一个交点，延长隼与椭圆交于点Q,若『匕卜J|0F：|,则宜线隼的斜率为.

14.【答案】-2

【解析】如图，连接，设|%|=*x>0),则时卜打,

由椭圆的定义得尸耳|+|「国=2%|0用+|。&=①,

所以陋卜加Tx,|Q£|=2o-x,\PQ\=\PF2\-¥\QF2\=2a-4x^x=2a-3x.

又尸为以线段F3直径的圆上，则4桃=%°=42。，

在Ri&¥；Q中，户用，怛0广=依尸『，BP(4x)：+(2a-3x)2=(2fl-x)2,得"3x,

M_4x

则lanZ.PF.F[==2,

2a-4x

故答案为：-2.

四、解答题；本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知在AABC中，H-2I)，8(4,-3)，点G(0,2)是此三角形的重心.

(1)求边8c所在直线的一般式方程；

(2)若直线经过点川-2J)且在工轴、『轴上的截距相等，求直线的斜截式方程.

15.（13分）

【解析】⑴设交"于"，则"为8c的中点，设

因为点G（0,2）是三角形的重心，

所以"if,所以7不=GB♦GC,

所以,0=C1♦G8♦CCf

所以（00二|x,r,-y）+（x:-x.r2-r）+（xy-x,y3-v\,

所以灯咛;左竽1,

故0=-2+：+工2=上詈,解得C（-N8）.

«z，

8c边所在直线的方程为富=:三，即"+6.r・26=0.

（2）当在x轴、＞'轴上的截距为0时，易知直线方程为：J=

当截距不为。时，

设直线方程为：-+-=1,因为点川-2J）在直线上，

aa

所以二+'=1,可得。=-1,

aa

即直线方程为：k-J-I；

综上所述：直线方程为y=-gx或，"J-I.

16.（15分）

已知。为坐标原点，直线（僧+lix+Fm1=0过定点A,设圆C的半径为2,圆心在直线：

x+F・2=0上.

（1）若圆心C也在.直线「二2”5上，求过点A与圆C相切的直线方程；

（2）若圆C上存在点“，使得，求圆心C的横坐标的取值范围.

16.（15分）

【解析】（1）因为直线（m+l）r+N-M-l=°可彳匕为（x-”R+x+y・l=0,

[x-l=Ofx=l,.

令'in，则n，故41，°)，

lx+y-1=0(y=0

x+y-2=0(x=-\

联立，，.,解得，[,则圆心C-1.3,

y=2x+5y=3

因为圆C的半径为2,所以圆C的方程为("l)，(y-3『=4,

当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为x=l,易知与圆C相切，符合题意

当所求直线斜率存在时，设所求圆c的切线方程为y=A(x-l),即h・『・t

所以圆心。到直线的距离为

所以切线方程为了=-《"-1),即5-121”。，

综上所述，所求圆C的切线方程为x=l或鼻+I29・”Q.

(2)因为圆C的圆心在直线："y2=0上，故设圆心C为

则圆C的方程为(X-0/+[.F-[T+2)1=4,

又因为|。4|=1,故|。叫=|。/|=1,

所以设M为(工切，则设为圆圆心。(0.0),半径为，

则点”应该既在圆。上又在圆。上，即圆C和圆。有交点，

所以|2-1卜「+(…2『4|2+1|,所以I42。：7a+449,

由142。：・4。7，解得R,

由2/・4a+449,解得匕普1普，

综上，。的取值范围为［2~血2+7141.

17.(15分)

已知圆心为A/的动圆与OC：F+"-4「=l外切，与。C：：./+（j，+4「=81内切.

（1）求A7的轨迹方程；

（2）过点N；；；；的直线与“的轨迹交于A,8两点，且N为线段的中点，求坐标原点。关于直

线48的对称点尸的坐标.

17.（15分）

【解析】（I）设动圆M的半径为r,。。的圆心G（0,4）,半径4=1；

。。的圆心G（o，Y）,半径4=9.圆3c相内切,

因为动圆M与0C外切，所以MC-M；

动圆M与。C：内切，所以|例4|=9-7•，则|MCJ+|MG|=（/*+l）+（9-r）=10.

又IGG104-1）1=8.

因为+

根据椭圆的定义，点M的轨迹是以G（0,4）,G（0，Y）为焦点，长轴长2。=10的椭圆.

则。=5,c=4,根据b：=a：・c：,可得6'25・I6,9.

22

所以M的轨迹方程为芸+/1.

（2）设4卬乂），5（5,必）.

，

五3

9

囚为A,B在椭圆与♦'■=1上,,

所以巧

-=

9

中_

两式相减得:

259

35、,

因为N（5,3）为线段AB的中点，所以％+七=3,•仆

则直线AB的斜率&=?25（3.川二25x3

9（%+力）9x5

直线AB的方程为y-<=HP5x+3r-l5sO.

y53

设点则'X(・*)=・|,即%=£%.

X.s>

又OP中点gg)在直线AB上,所以5哼+3吟75=0.

3x3

将％=十。代入上式得：5x^+3x-.ro-15=O.

7545

解得/=/，

7545

所以点P的坐标为(五,万).

18.(17分)

已知圆C过点M04),13,2),且圆心在直线打3尸0上.

(1)求圆。的方程；

(2)已知平面上有两点m),8(2,0),点P是圆。上的动点，求8P『的最小值;

(3)若。是x轴上的动点，0匕。5与圆C相切，切点分别为KS,试问直线RS是否恒过定点？若是,

求出定点坐标；若不是，请说明理由.

18.(17分)

【解析】(1)因为圆心C在直线打・3厂0上，

所以设C(d：a),由圆C过点MU.4).NE2),可得|。/|二仁、1，

即J(a-+(+-4)=J(a-3)'+(go-2)

,16,32.«,/.16*16.

所以0--2。+1+—a'---a+16=o*-6o+9+—a*---a+4,

9393

整理得：。=4,解得。=3,

所以圆心为，13.4),半径r*|CMbJ(34-4『«2»

所以圆C的方程为(x-3)'+(."4-=4.

(2)设Pl”，贝iJ.Pf+|8P[=(1+2)'+『+(1-2)'•-8=2|PO|2+8,

因为|尸。:“=(|OC|-r)2=(5-2尸=9,

所以+BP1的最小值为2x9+8=26.

（3）设。亿0）,则以C。为直径的圆的圆心为;?.2卜

记手,2）,半径为gcg=；J«_3『+（O_4）：=«-3『6

则此圆的方程为1-手J+0一2N=（-3；+16,

即x'+y2-(3+r)x-4y+3z=0,记此圆为D.

因为直线RS为圆C与圆。的杓交弦所在直线,

所以两圆方程作差可得直线RS的方程为（3T）】♦4.r+3/-21=0,

即(3-I"+31+4>-21=0.

19.（17分）

定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称

为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的''焦顶三角形''相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三

角形的相似比称为椭圆的相似比，下