2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025・2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每题4分，满分24分）

1.（4分）延长线段48至点C,使得8c=2A8,那么靠的值为（）

173

A.-B.-C.-D.2

232

2.（4分）如果把一个ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）

A.扩大2倍B.保持不变

C.缩小到原来的'D.以上都有可能

2

3.（4分）已知。、匕为非零向量，下列说法中，不正确的是（）

A.如果°=回,那么aHbB.如果』=7万，那么

C.如果”=一2〃，那么|a|=2|〃|D.0-67=0

4.（4分）己知△ABC中，。、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出

的是（）

AAEADnABAE「AEDE、AEAD

CE~BDAC~ADAC~BCAC~BD

5.（4分）已知线段a,h,c,求作线段x,使bx=ac,下列作法中正确的是（）

6.（4分）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：

如图，设O是矩形ABCO对角线4c上任意一点，过点。分别作一组邻边的平行线PQ、直线PQ分别与

边A。、BC交于点P、Q,直线SR分别与边AB、DC交于点R、S,那么由矩形与矩形RBQO的面积

相等可以得到：POOS=ROOQ,这个结论通常表示为竺=殷.

OQOS

部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题:

命题甲：矩形OQCS与矩形ARQP相似.

命题乙：如果将矩形POS。、矩形OQCS、矩形AROP的面积依次记为S、S］、S、,那么S是S?和邑的

比例中项.

关于这两个命题，下列判断正确的是（）

A.命题甲是真命题，命题乙是假命题

B.命题甲是假命题，命题乙是真命题

C.命题甲、命题乙都是真命题

D.命题甲、命题乙都是假命题

二、填空题（每题4分，满分48分））

7.（4分）如果且=2=2,且K〃=12,那么c+d=_.

cd2

8.（4分）在比例尺为1:2000000的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际

距离约为一千米.

9.（4分）已知点C是线段A8的黄金分割点，且AC>C8,AB=Scm,那么AC=.（结果保留

根号）

10.（4分）已知△从8c和△OEF相似，ZA=ZD=60°,ZB=2Z£,那么△ABC的最大内角的度数

为.

1L（4分）两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位

线,如果两个相似三角形的面积之比为4:9,那么这两个二角形的对应中位线之比为.

12.（4分）已知向量〃?的长度为3,与单位向量e方向相反，那么向量〃?可用向量e表示为.

An7

13.（4分）如图，已知—=-»BE=22,那么CE=.

AB

7

14.（4分）已知MZXA8C中，ZC=90°,AC=4,tan8=—，那么8C的长为

3

15.（4分）如图，已知R/ZXA8C中，ZACB=90°,CDLAB,BC=5,cotA=2,那么CO的长为

16.（4分）如图，D是△ABC边BC上一点、，点、E、F分别是△/WO和△ACO的重心，如果AB=a,AC=b,

用〃的线性组合表示E/L那么EP=

那么ZABC的正弦值为

18.（4分）已知矩形/WC7）中，CO=3,E是边人。上一点，DE=\,将△COE沿着CE所在的直线翻

折，点。的对应点为点〃，联结E/7并延长交边3C于点G,联结AG,如果△A3G与△CG"相似，那

么边A。的长为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

2o

19.(10分)计算：-2cos6(卜_+sin45-|sin600-l|.

cot300-tan45°

20.(10分)如图，已知向量〃、b.

4I

(I)化简：(5a——b)-2(2a+-b)：

33

(2)作出化简后的向量.

(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量)

21.(10分)如图，已知3c中，AQ是3c边上的中线，点£、尸分别在边A8、AC上，且EF/iBC,

E广与AO相交于点M.

(I)求证：EM=MF；

(2)联结/儿、D卜,若/儿_!,〃"，8c'=6,A/)=4,求七”的长.

22.(10分)如图，已知△43C中，8。是乙48c的角平分线，BD=CD=5，AB=6

(1)求AQ的长；

(2)求cosC的值.

23.(12分)如图，已知梯形A8CO中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O,AC2AD-BC，点E在

线段AC的延长线上，联结OE.

(1)求证：/BAD=/DCE；

(2)若NADB=NCDE,求证：AB2=ACCE.

AD

24.（12分）为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和卜.底面都是平面镜的盒子

进行实验.如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形ABCD,实验过程中，光线只在该截面内传播.盒

子左边距离B点2cm的点E处（BE=2cm）.盒子右边距离D点、\cm的点尸处（。/=\cm）各有一个小孔（孔

的大小忽略不计），盒子的底部距离B点2cm的点M处（BM=2cm）有一个可调整高度的挡板MN.

（1）如图1,小丽控制激光笔发出光线0£从点E处射入，从点尸处射出，小杰调整挡板MN的高度遮挡

光线，当恰好挡住光线时，求挡板MN的高度；

（2）如图2,小丽调整光线入射角度，使光线O七入射到面AQ的点G处，经反射后从点尸史射出，求此

时NOEB的正切值：

（3）小杰取出挡板WN,小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面A。和面BC的两次反射后，从点F

处射出，请直接写出光线在4。面上的入射点到点A的距离.

GD

BMBM

备用图

25.（14分）如图，已知△八BC中，。是边的中点，石是边上一点，BE=2,CE=3,联结C。、

AE交于点尸.

（I）求竺的值；

(2)如图2,若NBAE=/BCD,AELCD,求E”的长;

（3）若CO_LAB,且是等腰三角形，求Af的长.

参考答案

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CBDADC

一、选择题（每题4分，满分24分）

1.（4分）延长线段A8至点C,使得8c=2A8,那么生的值为（）

BC

123

A.-B.-C.-D.2

232

解:如图，

ABC

设=则8c=2A8=2x,

：.AC=AB+BC=3x,

AC3x3

••.-_-_-_----——_,

BC2x2

故选：C.

2.（4分）如果把一个RfZXABC的三边都扩大2倍，那么锐角4的正切值（）

A.扩大2倍B.保持不变

C.缩小到原来的,D.以上都有可能

2

解：锐角A的正切值是直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比，与边的长短没有关系，因此把一个

ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值保持不变，

故选：B.

3.（4分）己知〃、力为非零向量，下列说法中，不正确的是（）

A.如果4=历，那么B.如果ii=-&b,那么

C.如果。=—2〃，那么|〃|=2出|D.0«=0

解：A、如果a=J5/>,那么Q/.S,说法正确：

B、如果a=-V2Z?,那么a!1b,说法正确:

C、如果。=-2〃，那么|国=2|",说法正确;

D>0•«=0,原说法不正确;

故选：

4.（4分）已知△ABC中，。、E分别是边人8、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出OE//BC

的是（）

AAEAD„ABAE八AEDE「AEAD

CEBDACADACBCACBD

解：A、丝=丝时，DE/IBC,故本选项符合题意；

CEBD

8、空二任时，不能判断出。£/〃c,故本选项不符合题意；

ACAD

。、但=”时.，不能判断出。£//8C,故本选项不符合题意；

ACBC

。、任=42时，不能判断出。E//8C,故木选项不符合题意；

ACBD

5.（4分）已知线段〃,b,r,求作线段r,使〃用〃c,下列作法中正确的是（）

故选：D.

6.（4分）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子:

如图，设O是矩形A8CO对角线AC上任意一点，过点。分别作一组邻边的平行线PQ、直线PQ分别与

边AO、BC交于点P、Q,直线SR分别与边AB、DC交于点R、S,那么由矩形与矩形H8QO的面积

相等可以得到：POOS=ROOQ,这个结论通常表示为丝=股.

OQOS

部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：

命题甲：矩形OQCS与矩形AROP相似.

命四乙：如果将矩形POS。、矩形OQC'S、矩形AROP的面积依次记为B、S2、邑，那么B是$2和其的

比例中项.

关于这两个命题，下列判断正确的是()

A.命题甲是真命题，命题乙是假命题

B.命题甲是假命题，命题乙是真命题

C.命题甲、命题乙都是真命题

D.命题甲、命题乙都是假命题

解：•.PQ//AB//CD,RS//AD//BC,/BAO=N8CO=90。，

四边形AROP,OQCS为矩形，

,OQOS

而一赤’

.0()OSCSc(2

"~OP~~OR~~AR~~AP，

矩形AROPs矩形OQCS,

.•・命题甲为真命题；

耳OPOR,

改——=—=k，

OQOS

.S.cos_]S.AOP=k

S.ACD(l+£)25.ACD(1+4)~

S?—2$.cos，S3=2sAOP

••JACD

22_]23_K

岳+为+33f£+为+卜（1+4

S2-S3=S],

：.S1是S2和导的比例中项,

二.命题乙也是真命题.

故选：C.

二、填空题（每题4分，满分48分））

7.（4分）如果@=2=3,且〃+b=12,那么c+d=8.

cd1

解：•一，-3,

cd2

a+b3

c+d2

a+b=\2

123

c+d2

:.c+d—8.

故答案为：8.

8.（4分）在比例尺为1:2000000的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际

距离约为160千米.

解：8x2000000=16000000（“〃），

⑹）000005?=160千米.

故答案为：160.

9.（4分）已知点C是线段A3的黄金分割点，且AC>CB,AB=San,那么AC=（46—4）cm.（结果

保留根号）

解：,点C是线段的黄金分割点，且AC>CB,AB=8c/〃，

AAC=避二!■AB=或二!•x8=（4石-4）（cM,

22

故答案为：（46-4）.

10.（4分）已知△ABC和^DEF相似，NA=/D=60°,NB=2ZE,那么△ABC的最人内角的度数为80。.

解：•••△ABC和△£>£：?相似，乙4=/。=6()。，/B=2NE,

二.ZC=ZE,

ZB=2ZC,

Z^+ZC=180°-60°=l20°,

AZB=80°,ZC=40°,

/.△ABC的最大内角的度数是80。.

故答案为：80。.

11.（4分）两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位

线,如果两个相似三角形的面积之比为4:9,那么这两个三角形的对应中位线之比为2:3.

解：如图，ADEFsABC,MN、PQ分别是这两个三角形的对应中位线，且工也=±,

S9

:MN、P。分别是/和△.A8C的中位线，

:.DM=EM,AP=BP,MN//EFfPQ//BC,

：.DE=2DM,AB=2AP,4DMN=ZE,NAPQ=ZB,

:△DEFs△ABC,

AZD=ZA,NE=NB,^-=(—)2=-,

S,HCAB9

:2DMN=/APQ,—=-«g—=--(不符合题意，舍去),

AB3AB3

2ZW=2

△DMNs△APQ,

2AP~3

MNDM_2

…~PQ~^\P~3'

.•・这两个三角形的对应中位线之比为2:3,

故答案为：2:3.

12.（4分）已知向量小的长度为3,与单位向量4方向相反,那么向量就可用向量d表示为后=-3。.

解：，向量〃，的长度为3,与单位向量e方向相反,

m=-3e.

故答案为：，〃=-3c.

13.（4分）如图，已知BE=22,那么CE=8

1-DF4-

解：v/,///2///v

冷敷即22-CE7

CE4

解得：C£=8,

故答案为：8.

9

⑷（4分）已知心中，/C=9。。，AC=4,tanB=-,那么8C的长为」

解：在用ZX/WC中,

AC

tanBn=,

BC

M—=-,

BC3

解得8c=6.

故答案为:6.

15.（4分）如图，已知R/Z\A8C中，ZACB=90°,CDLAB,BC=5,cotA=2,那么CO的长为2行.

解：在用△ABC中,

AC

cotAA=,

BC

所以江=2,

5

解得AC=10.

在ACO中,

AA。r

cotA==2,

CD

则AD=2CD.

因为Cb+AO?=心，

所以。2+(28)2=]()2,

解得CD=2&

故答案为：2行.

16.(4分)如图，。是^ABC边BC上一点，点E、F分别是△ABD和aACD的重心，如果A13=d,AC=b,

用4、力的线性组合表示Ef,那么五尸二不力-幻.

A

;

BDC

解：•・•£：,尸是△AB。和△ACD的重心，

/.AE=-(AB+AD),AF=-(AC+AD),

33

EF=AF-AE=-(AC+AD)--(AB+AD)=-(AC-AB)=-(b-7)•

3333i

故答案为：我R

那么/ABC的正弦值为返.

17.(4分)如图，点A、8、。均在4x4的正方形网格的格点上,

65

：：A;

89」一」

解：过点。作CZ)_LA3,垂足为

•.•点A、B、。均在4x4的正方形网格的格点上，

：.AB=y/32+22=y/13,AC=2,BC=SW=布.

-S.=-ACBE=-ABCD,

•,IORCC22

:.ACBE=ABCD,即2x2=J5xCO.

,3警

在H/△ACO中,

4小

CD-lT_4>/65

sinZ/lZ?C=—

BC石65

18.（4分）已知矩形ABC力中，CD=3,七是边A。上一点，DE=\,将△CQE沿着CE所在的直线翻

折，点”的对应点为点“，联结石”并延长交边仪;于点G,送结AG,如果△AAG与ZXCG"相似，那

么边AO的长为9或二.

解：设AO=.r,BG=m,CG=x-mf

当△48Gs/\CFG时,

ABBG_AG

NAGB=NCGF,

^F~~FG~~CG

•.・将^COE沿着CE所在的直线翻折得到△CFE,

CF=AB=3,EF=DE=\,NDEC=4FEC,

•J在矩形ABC。中，AD!IBC,

/AGB=ZGAE,ZEGC=NAEG,

FG=BG=m,AG=GE=m+l>GC=GE>

在氏△ABG中根据勾股定理得（m+\）2-m2=9,

解得m=4,

GC=5，

BC=9,

即A7)=9,

当△时,

处二生=生，"G*NGb,

GFFCGC

GF=—,AG=-(x-m),

m3

:GC=GE,

.a1.明

m

....v=2+l+〃？，

m

.\.4G=3+—,

3

在心△ABG中根据勾股定理得（y+3产-nr=9,

9

解得班="4=0（舍去）,

929

x=4+l+-=—

44

故答案为：9或空

4

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

(10分)计算：-2COS6Q°—+sin245°-|sin600-l|.

19.

cot300-tan450

2x1

解:原式=72+

V3-1

=-7=—+--(i-

v3—12

222

11.1+3

旦—+—

2222

=A/3•

20.（10分）如图,已知向量a、b.

41

（I）化简：（5〃——b）-2（2a+-b）；

33

（2）作出化简后的向量.

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）

a\

4I

解:(1)(5a一一b)-2(2a+-b)

33

21.（10分）如图，已知△ABC中，4。是BC边上的中线，点石、尸分别在边/W、AC上，且EF//8C,

EF与4。相交于点M.

（I）求证：EM=MF；

（2）联结DE、DF,若£）E_LOF,BC=6,AO=4,求E尸的长.

【解答】（1）证明：△A8C中，4。是8C边上的中线,

:.BD—DC»

•.EF//BC,E尸与4。相交于点

EM//BD,MFI/DC,

A£Ms/\/WQ,△AMF^>△ADC,

.EMAMMFAM

~BD~~AD'~DC~^D，

EMMF

~BD~~DCf

EMBD,

-----=------=1,

MFDC

EM=MF.

(2)解：vDELDF,

NEO/=90°,

・.・M是斯的中点,

DM=EM=FM==EF,

2

•・•BC=b,4)=4,

BD=-BC=3,AM=4-DM=4-EM,

2

EMAM

v-----=------,

BDAD

EM4-EM

二.---=------,

34

17

解得

7

24

EF=2EM=—,

7

二.E尸的长为空.

7

22.(10分)如图，已知△48。中，8。是乙48c的角平分线，BD=CD=5,A8=6.

(I)求A。的长；

(2)求cosC的值.

解：（1）・.・8£）平分NABC,

...乙ABD=N。蛇，

DB=DC,

4DBC=ZC，

.ZBQ=NC,

4/NA=NA，

△ABD^△ACB,

AB_AD

,6AD

"AD+5~~6~'

解得AO=4（负根已经舍去）,

....4。=4；

(2)过点D作DHLBC于点H.

BDAB

----=-----9

BCAC

56

----=—,

BC9

sc=—,

2

•.DB=DC,DHLBC,

-CH=BH=-BC=—,

24

15

23.(12分)如图，已知梯形八BC0中，AD//BC,对角线AC、BD交于点、O,AC2^ADBC,点E在

线段入。的延长线上，联结。E.

(I)求证：NBAD=NDCE；

⑵若/ADB=NCDE,求证：AB2=ACCE.

AD

【解答】证明：（1）-AC2=ADBC,

ACAD

----=-----9

BCAC

V.4D//BC,

NDAC=NACB,

/.△DAC^△ACB,

/ACD=tCBA,

•••/8W+NC84=180。，ZDCE+ZACD=180°,

:"BAD=ZDCE.

（2）

ADCD

ADAC

"~CD~~AB，

v/BAD=ZDCE,ZADB=ZCDE,

△ADBs△CDE,

ADAB

----=-----9

CDCE

ABAC

•二---=---，

CEAB

AB1=ACCE.

24.（12分）为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个.上底面和下底面都是平面镜的盒子

进行实验.如图所示，盒子的直截面是边长为55?的正方形ABCD,实验过程中，光线只在该截面内传播.盒

子左边距离B点2cm的点E处（BE=2cm）.盒子右边距离D点、kv”的点尸处（。/=\an）各有一个小孔（孔

的大小忽略不计），盒子的底部距离B点2cm的点M处（BM=2cm）有一个可调整高度的挡板MN.

（1）如图1,小丽控制激光笔发出光线OE从点E处射入，从点尸处射出，小杰调整挡板MN的高度遮挡

光浅，当恰好挡住光线时，求挡板MN的高度；

（2）如图2,小丽调整光线入射角度，使光线OE入射到面AD的点G处，经反射后从点尸史射出，求此

时NOEB的正切值；

(3)小杰取出挡板MN,小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面AQ和面的两次反射后，从点、F

处射出，请直接写出光线在4。面上的入射点到点A的距离.

解：(1)过月作E”//8c交MN于点G,交CD于点H,

DF=\cm>

:.FH=5-2-\=2cmf

113,

EGNG

「・---=----9

EHFH

2NG

一=---9

52

4

解得NG=—an,

5

14

:.MN=MG+NG=—cm;

5

14

答：挡板MN的高度为上o〃；

5

(2)•/AAGE=ZDGF,乙4=NO=90。，

△AG£s△DGF,

AE_DFHn3_1

AGDGAG5-AG

解得4G="，

4

15

，tanNOEB=tanNAEG=—=A=2.

AE34

（3）①光线先到A。，再到8C,然后从点尸射出，如图,

延长GF交AQ延长线于点”，过G作GM_LAO于点M,

•・•DH//CG,

PHDF\

CG-CF-4?

l^DH=x,则CG=DM=4x,

：.PM=HM=5x,

:.AP=AD-PM-DM=5-9x,

由入射角等于反射角可知，/APE=NGPH=Z.PHG=NFGC,

/.tan/.APE=tanZ.FGC，

AECFHII34

APCG5-9x4x

解得x=2，

12

:.AP=5-9x=-；

4

②光线先到BC,再到A。，然后从点尸射出，如图,

延长PF交BC延长线于点H,过。作PM3c于点M,

•/PD//CH,