2025-2026学年上海市松江区九年级上学期期中考数学试卷（含详解）

20252026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷

一，选择题：本题共6小题,每小题4分，共24分,在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.延长线段A3至点C,使得8c=248.那么丁的值为（）

13C

A.B.-C.-D.2

232

2.如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）

A.扩大2倍B.保持不变C.缩小到原来的;D.以上都有可能

3.已知。石为非零向量，下列说法中，不正确的是（）

A.如果a=那么不〃5B.如果乞=一后,那么日〃5

C.如果日=一打,那么同=2同D.0a=0

4.己知AA8C中,O,E分别是边A8、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出OE〃3C的是（）

AEADABAE-AEDE「AEAD

A----=-----B----=-----C----=-----D----=-----

CEBD'ACADACBC'ACBD

5.已知线段。力,G求作线段X,使法=呢，下列作法中正确的是（）

6.以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子:

如图，设0是矩形ARCD对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线P。,直线PQ分别与边AIXBC交于点

PQ直线SR分别与边AB、DC交于点凡S,那么由矩形与矩形股。0的面积相等可以得到：尸。OS=ROOQ,这个结论

、函4吊型表小_为*而PO一_方RO晨

部分同学进一步研究了这个图形,提出以下两个命题:

命题甲：矩形OQCS与矩形人ROP相似.

命题乙：如果将矩形POS”矩形OQCS,矩形AROP的面积依次记为九邑,S］，那么S是52和邑的比例中项.

大于这两个命题，下列判断正确的是（）

A.命题甲是真命题，命题乙是假命题B.命题甲是假命题，命题乙是真命题

C.命题礼命题乙都是真命题D.命题甲，命题乙都是假命题

二，填空题：本题共12小题,每小题4分，共48分.

,,卜3

7.如果一二-；=；；,且。+〃=12,那么c+d=___.

ca2

8.在比例尺为1:2000000的地图上，测得甲，乙两地的距离约为8厘米,那么甲，乙两地的实际距离约为千米.

9.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>C&AB=8cm,那么AC=cm（结果保留根号）

10.已知△A8C和△力耳'相似,ZA=ZD=60°,ZB=2",那么^ABC的最大内角的度数为.

II.两个相似三角形中,我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线.如果两个相似三角

形的面积之比为4:9,那么这两个三角形的对应中位线之比为.

12.已知向量用的长度为3,与单位向量d方向相反,那么向量用可用向量N表示为.

An7

13.如瓯已知乙〃/,〃/，,=7=:，咫=22,那么CE=

DF4

2

14.已知RS48C中,NC=90,AC=4,tan3=,,那么8c的长为.

15.如怪，已知RtZ\A8C中，乙4C8=90,。。，4从8。=5.8匕=2,那么。。的长为

16.如医,Q是V4AC边8C上一点,点E户分别是△4B。和"a）的重心,如48=N,衣=九用。,5的线性组合表示乔,

那么乔=.

17.如怪，点A,B,C均在4x4的正方形瓯格的格点上，那么/ABC的正弦值为

18.已知矩形ABCD中,C。=3,E是边AD上一点,DE=1,将aCDE沿着CE所在的直线翻折，点D的对应点为点F,连接

EF并延长交边8c于点G,连接AG,如果AABG与ZGF相似,那么边AD的长为

AED

BC

三，解答题：本题共7小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.计算:

20.如图，已知向量6,反

(2)作出化简后的向量.(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量)

21.如图，已知V"。中,4。是3。边上的中线，点£/分别在边A3、AC上,且律〃与AO相交于点M.

⑴求证：EM=MF.

⑵连接DE、DF,若DE1DF,BC=6.AD=4,求EF的长.

22.如区.已知VA4。中.8。是—A3C的角平分线.3O=C£)=5.A8=6.

(1)求AO的长.

(2)求cosC的值.

23.如图，已知梯形ABCD^,AD//BC,对角线AC.BD交于点O,AC2=AD-BC,点E在线段AC的延长线匕连接DE.

⑴求证：ZI3AD=ZDCE.

⑵若ZAD4=NCQ£求证：AB2=ACCE.

24.为探究“光的直线传播和反射定律”.小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验.如图所示，盒

了•的直截面是边长为5cm的正方形实验过程中，光线只在该截面内传播.盒子左边距离4点2cm的点E处

（8E=2cm）.盒子右边距离。点1cm的点尸处（。/=lcm）各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离3点2cm

的点M处（8M=2cm）有一个可调整高度的挡板MM

图1图2备用图

（1）如图I,小丽控制激光笔发出光线。石从点E处射入，从点尸处射出,小杰调整挡板MN的高度遮挡光线，当恰好挡住光线

时,求挡板MN的高度.

⑵如图2,小丽调整光线入射角度,使光线OE入射到面AZ）的点G处,经反射后从点尸处射出,求此时NOEB的正切值.

（3）小杰取出挡板MN,小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面AD和面6c的两次反射后，从点”处射出，请直接写出

光线在AD面上的入射点到点A的距离.

25.如医，已知V/WC中，。是48边的中点上是8C边上一点,3E=2,CE=3,连接CD、AE交于点E

（2）如图2,若/BAE=/BCD,AE1CD，求E尸的长.

（3）若CDLAB、且"EF是等腰三角形，求A产的长.

1.c

【分析】本题主要考查了线段的和与差，设A3的长度为〃，用。表示出BC、4C是解题的关键.

设AB的长度为出则BC=%，AC=AB^BC=3a燃后代入化简即可.

【详解】解：设48的长度为则8C=%.

・•・AC=AB+BC=3a.

.AC3a3

••---=---=—.

BC2a2

故选：C.

2.B

【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的止切值等了该角所时的直角边与另一条直角边的比

值，据此求解即可.

【详解】解：在RtZ\ABC中,不妨设NC=90。.

AC

2BCBC

・••把RtZkABC三边的长度都扩大为原来的2倍后tanA=怨=*

ZACAC

・•・锐角A的正切值保持不变.

故选:B.

3.D

【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的平行，模长和标量乘法，根据初中数学中向量的定义,如果两个向量存在标

量倍数关系，则它们平行，向量的模长满足倍数关系，但标量乘法中0乘以向量应等于零向量，而不是标量0.注意区分标量

0和零向量，在向审运算中,零向审应记为"

【详解】解：•・•向量平行的定义是：如果存在实数攵使得/=妨，则。防.

・••对于选项A和B,由于血和-亚都是实数，因此,|仍成立,A和B正确.

•・•向量的模长公式：如果d=历，则同=阳•w.

・\对于选项C,k=-2，则同二|-2|.忖=2M,C正确.

•・•标量乘法中,0々=。（零向量），而选项D的右边是标量0,不是零向量.

:.D不正确.

故选：D.

4.A

【分析】本题考杳了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键.根

据平行线分线段成比例定理即可得出答案.

【详解】解：如图出分别是边A*4c反向延长线上的点.

A，若7T="，能判定O£〃4C,符合题意・

CEBD

ADAp9

B,若=7=-^；,不能判定。石〃3C,不符合题意.

ACAD

ApJ)F

C，若会=芸，不能判定。石〃8C,不符合题意.

ACBC

Ap4/)

D,若丁="，不能判定。石〃8C,不符合题意.

ACBD

故选：A.

5.D

【分析】根据平行线分线段成比例抑匕进行解答.

Ya

【详解】解：AJ=7,即法=比，但X是未知线段，不能画出，故不符合题意.

cb

Yn

B,£=一,即C心二G¥,不符合题意.

bc

C,£=£，即or=be,不符合题意.

bx

cb

D,一二一，即=，符合题意.

xa

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握“两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，截

得的对应线段的长度成比例

6.C

【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质,矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键

0P

根据矩形的性质以及题干结论得出矩形OQCS与矩形AROP对应边成比例，从而得到两个矩形相似，假设一的值，根据

相似三角形的性质，列出S,邑,S,的数量关系，从而得到邑,S.,与5；的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可.

【详解】解：•.•PQ〃A8〃CO,RS〃AD〃8C.

••・四边形AROROQCS为平行四边形.

•・•/BAD=/BCD=90°.

••・四边形ARO只OQCS为矩形.

:.OS=OQ、OP=AR.

=

-CSCQ

矩形AROPs矩形OQCS.

「•命题甲为真命题.

设”二”会

OQOS

PQ//AB//CD,RS//AD//BC.

:^OCS^ACD,£,AOP^^ACD.

二S«9S、_—!___Sjop_k

S.ACD(1+Z)SAACD(1+Q2

s/s&s「国小；S+3"百

・•・，是邑和邑的比例中项.

•，•命题乙也是真命题.

故选：C.

7.8

【分析】本题主要考查了比的应用,代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键.

先将。和“分别用〃和。表示，然后再将c+d化成含有a+〃的形式,最后将。+人12整体代入计算即可.

【详解】解：•・・@=g=].

ca2

22

c=—a.d=­b.

33

2222

：.c+d=-a+-b=-(a+b)=-x\2=S.

333'73

故答案为：8.

8.160

【分析】本题主要考查了比例尺的定义,掌握实际距离等于图上距离乘以比例尺的分母是解题的关键.

先根据比例尺的定义求得实际距离，再通过单位换算将厘米转换为千米即可解答.

【详解】解：图上距离为8厘米，比例尺为1:2000000.

，实际距离为8M2000000=16000000匣米=160千米.

故答案为：160.

9.（4石-4）

（分析】本题主要考查了黄金分割的定义，当点C是线段AB的黄金分割点且AC>CB时，AC是A6的较长部分，满足

直接根据黄金分割的定义列比例式求解即可.

【详解】解：•・•点C是线段A8的黄金分割点，且AC>C&

故答案为：（4V5-4）.

10.80°

【分析】本题考查三角形相似的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得到NB=NENC=NE是解题的关

键.由相似三角形对应角相等,结合已知条件4=/。=60。和N8=2NE,推出/8=N£NC=NE,从而在△ABC中利用

三角形内角和定理求出各角，比较得最大内角.

【详解】解：:△ABC和△。斯相似,/4=/。=60。,/4=2/£：.

N3=N£NC=N£.

・•・/B=2NC.

:NA+"+NC=180。.

:.NB+NC=120。,即2ZC+ZC=120°.

・•・ZC=40°.

:.Z5=2ZC=80°.

,:80°>60°>40°.

・•・AABC的最大内角的度数为80。.

故答案为：80。.

11.2:3

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边的中线之比等于相似比

成为解题的关键.

相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出相似比,对应中位线之比等于相似比，据此即可解答.

【详解】解：设相似比为3则面积比为攵2.

•・•面积比为4:9.

・・・代=小解得：^=|（取正值）.

・••相似比为2:3.

•••对应中位线是连接对应边中点的线段.

・•・其长度比等于相似比，即对应中位线之比为2:3.

故答案为：2:3.

12.一3。

【分析】本题考查平面向量的表示，掌握向量的表示方法是解题的关键.

根据向量的长度和方向关系求解即可.

【详解】解：・・・9是单位向量.

・,•同=1.

•・•向量而的长度为3.

・,•帆=3.

历与e方向相反.

••m=-3e.

故答案为：-3E.

13.8

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列出比例式是解题的关键

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再把已知数据代入计算即可.

【详解】解：•・"〃/2〃儿

勤=器，即解得：CE=8.

L./14+

故答案为：8.

14.6

【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义,tanB等于NB的对边与邻边的比值周.，由此求出8c

的长.

A

【详解】在maABC中,NC=9()o,tan8=记.

2

•・•4C=4,tan5=-.

.4_2

••=一・

BC3

3

解得BC=4x-=6.

2

故答案为6.

15.2加

【分析】本题主要考查了余切定义，勾股定理,灵活的使用余切定义是解题的关键，易错点在于搞混正切定义与余切定义,

余切定义：邻边比对边，正切定义：对边比邻边，先在RtaABC中根据余切的定义求出AC的长，在RlAAC。中找到A。与

CO的比洌关系，再利用勾股定理建立等式，据此求出CD的长即可.

【详解】解：在RtZ\ABC中.

c。爪丝

BC

—=2,AC=10.

J

在RlZXACDU」.

cotA=——=2,AD=2CD.

CD2+AD2=AC2.

CD2+（2CD）2=102.

CD=2y/5

故答案为26.

16.1（5-a）

【分析】本题主要考查了平面向量的运算，重心的性质等知识点,掌握重心的向量表示是本题解题的关键.

根据三角形重心的向量表示，写出荏和而•，根据向量减法求解即可.

【详解】解：如图：连接AE并延长交BC于H,连接A尸并延长交BC于G.

・•・AH=AB+BH=AD+DH-

・•・2AH=AB+BH+AD+DH-

•.•£是4八4。的重心.

2______

BH=DH,AE=-AHBH+DH=0.

J

2AH=AB+AD-

・•・AH=^AB+AD^.

...直=|而=2乂3（通+西=；（通+羽.

同理可得：AF=1（AC+AD）.

.•.前=而-荏=4蔗+而）」（而+而）」（正-瓦）」伊-耳.

3333

故答案为：24

4而

1/.,

65

【分析1本题主要考查了正弦的定义，勾股定理,三角形的面积公式等知识点，掌握正弦的定义是解题的关键.

如图：过点C作CO_LA8冼利用格点和勾股定理求出线段AB,AC,BC的长，利用VA8C的面积求出8的长，最后利用正

弦的定义求解即可.

【详解】解：过点C作。。_LAB,垂足为D

点4,9C均在4x4的正方形网格的格点上.

AB=>j'32+22=V13MC=2,^C=V22+12=75.

5/=2-ACBE=-2ABCD.

：.ACBE=ABCD^2x2=y/\3xCD.

・•.CD=通.

13

在RbBCD中.

4>/13

二4病

sinZABC=-

BC扬一65

故答案为：警

⑻9或彳

【分析】本题主要考查了矩形的性质，疔叠问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想并灵活运用相

关知识是解题的关键.

分△ABG与△bG和”1灰;与久尸。两种情况，分别根据矩形的性质浙叠问题，勾股定理，相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：设AO=X,8G=〃Z,CG=X-"7.

当△A8GsZ\CFG时.

逆=变=型4G“=NCGE

CFFGCG

.・将沿着CE所在的直线翻折得到ACFE.

CF—AB=3,EF—DE—1,Z.DEC-Z.FEC.

:在矩形A8CO中,AD//BC.

•.ZAGB=ZGAE,/EGC=ZAEG.

•.FG=BG=m,AG=GE=，n+l,GC=GE.

在RtZXABG中根据勾股定理得（m+If-〃/=9,解得：m=4.

/.GC=5,BG=4.

.•.5C=CG+BG=9,即47)=9.

=a=世4GB二/GCF.

GFFCGC

：.GF=-,AG=—(x-m).

m3

\GC=GE.

9,

一+\=x-ni.

rn

9,

x=—+1+m.

m

..AG=3+半

g

在RtAAfiG中根据勾股定理得(?+3『-=9,解得q二屋生=0(舍去).

929

Ax=4+l+-=—.

44

99

故答案为：9或

4

19.出

【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，实数的混合运算,分母有理化等知识点，牢记特殊角的三角函数值

是解题的关键.

先运用特殊角的三角函数值化简，然后再运用实数的混合运算法则计算即可.

【详解】解：徐益田45fl

G+iiG

=--------4------1H------

222

Gii।G

=-----1----1-----1H------

2222

=G.

20.(1)5-2/?

(2)图见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

⑴根据平面向量的运算法则化简即可.

(2)结合三角形法则画图即可.

【详解】（1）解:5a--b2万

3

33

=a-2b.

呜

【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明

△八何/s△八。C是解题的关键.

（I）由VAAC中,4。是BC边上的中线可得Q=DC,由所〃8C,E尸与A。相交于点M可证明

―…八n.iEMAMMF口-、jEMBD,

△人必〜A"厕而=布=而防/而=诙=】厕nil=MR

(2)由OflOF可得=，£/"因为3。=6,4。=4,所以4。=，8。=3,

22

,EMAM①EM4-EM…曰厂”12皿厂厂。〜,24

AM=4-DM=4-£M,由万方=彳万■，得《-=---，求得EM=亍，则EF=2EM=—•

【详解】（1）证明：•.•△A3c中,AO是3C边上的中线.

：.BD=DC.

•••所〃80石户与4）相交于点加.

：.EM//BD.MF//DC.

.△AEM^ABD,△AMF^ADC.

EMAMMFAM

BD一AD'DC~AD

EMMF

BD~DC*

EMBD_1

-1.

MF~DC

.♦.EMMF.

(2)解：-,-DElDF.

.•.ZEDF=90°.

•.•”是EF的中点.

：.DM=EM=FM=-EF.

2

•/BC=6,AD=4.

...BD=\-BC=3yAM=^-DM=^-EM.

2

EMAM

：~BD=~AD'

EM4-EM叩目…12

=---，解得：EM=『

347

;.EF=2EM=—.

7

EF的长为,.

22.(1)4

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识解决问题是解题的关键.

（1）证明△A8D-A4C以推出空=组构建方程求解即可.

ACAB

（2）过点。作DH18c于点，解直角三角形求出C”，可得结论.

【详解】（1）解：:8。平分NABC

・•・ZABD=ZDBC.

,:DB=DC.

・•・NDBC=NC.

/.ZABD=ZC.

•・•ZA=Z4.

△ABMAACB.

.ABAD

.6AD

**AD+5~~6~,

解得4)=4,八。=一9(舍去).

/.AD=4.

:.A。的长为4.

(2)解：过点。作OH_L8c于点从

•・•^ABD^^ACB.

.BDAB

*BC-AC

56

~BC=9

・•.BC=—

2

•・•DB=DC、DHIBC.

・•・CH=BH=-BC=—

24

15

「J3.

cosC=-C-H-=—=—

CD54

3

故答案为：-

23.(1)见解析

(2)见解析

ACAH

【分析】⑴由4c2=A。•BC,得=;=，由AO〃8。，得ZDAC=ZACB，所以△D4CsAACB,则NACD=NCBA,

DCAC

即可由RBAD十NCBA=180,ZDCE+ZACD=\8。，证明ZBAD=ZDCE.

AQCDADAC

(2)由△D4Cs八4。/工得k=不■，变形为会=不,由/BAD=4DCE、ZADB=NCDE,证明.ADBs£DE，得

ACABCDAB

ADABABAC,

3=出训niI乐=益'所以W=4CCE

此题重点考查平行线的性质，等角的补角相等，相似三角形的判定与性质等知识，证明△DACs△4cB是解题的关键.

【详解】(1)证明：•.•AC2=A£).3C.

AC_AD

~BC=~\C'

•••A。115c.

ZDAC=NACB,NR4O+NCBA=18()

.△ZMCs44cB.

ZACD=ZCBA.

/BAD+NC84=180,ZDCE+ZACQ=180.

：.ZBAD=ZDCE.

(2)证明：•.•△Z)ACsA>4CB.

,ADCD

,AC-AB,

.ADAC

Q/BAD=ZDCE,ZADB=NCDE.

.FADBSACDE.

,ADAB

~CD~CE'

,ABAC

：.A"?=AC'CE.

id

24.（1）挡板MN的高度为/cm

535

（3）光线在AO面上的入射点到点A的距离为：或与

48

【分析】本题主要考查了正方形的性质，光线的入射和反射，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，熟练掌握

相关知识是解题的关键.

（1）如图：过E作用/||BC交MN于点G交CQ于点〃，易得警=注，据此求解即可.

EHFH

（2）先证明△AGEsjx;凡进而利用相似三角形的性质列比例式求得AG,再根据正切的定义求解即可.

（3）分①如图：光线先到4。,再到3C,然后从点尸射出，②光线先到BC,再到A。,然后从点尸射出，构种情况分别画出

图形,利用相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】（1）解：如图：过E作EH〃BC交MN于点G,交CD于点、H.

:.FH=5-2-l=2cm.

-MN//CD.

EGNG

"EH,

2NG4

解得：NG=—cm.

14

:.MN=MG+NG;一cm.

5

14

答：挡板MN的高度为^cm.

(2)解：vZAGE=ZZX7F,ZA=ZD=9O°.

:△AGE%DGF.

AEDF31s15

---=,RnPn=------，解得：AG=—.

AGDGAG5-AG4

15

/.tanZOEB=tanZAEG=—=^-=-'

AE34

（3）解：①如图：光线先到"），再到BC,然后从点尸射出，延长G/交AO延长线于点儿过G作GM_LA。于点M.

PHDF\

,CG-CF_4*

设=x,则CG=DM=4x.

：.PM=HM=5X.

:.AP=AD—PM—DM=5—9x.

由入射角等于反射角可知,ZAPE=ZGPH=4PHG=ZFGC.

/.tanZAPE=tanZFGC.

念卷解得：*

.,AP=5-9X=~.

4

②如图：光线先到BC,再到AD,然后从点尸射出，延长PF交BC延长线于点”，过P作PM18c于点M.

PD//CH.

设OP=九则C"=4x,CM=x.

・.GM=HM=5X.

\BG=BC-CG=5=6x.

・•NEGB=/PGH=4PHG.

•.UinZEGP=tanZFHG.

EBFG24回妨5

----=，即nn=—，解得：X二一

BGCH95-6x4x8

535

♦.AP=AD-PD=5——=—.

88

535

综上，光线在皿面上的入射点到点A的距离为浮手

25.(1)-

⑵明等

⑶府或亚

4

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用分类讨论思想是

解题的关键.

（1）如图：作交AE于G,可证得邑△。回Gs£庄，进而得出第=当，丝=与，进而完成解答.

BEABCECP

（2）先证明VABEsvCBD,从而黑=附，进