2025-2026学年九年级（上）数学考点复习《解一元二次方程》含答案

21.2解一元二次方程

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一直接开平方法

（1）依据平方根的意义，将形如/=〃的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程.

（2）步骤:

①将方程转化为/=p（或（加+不=p）的形式；

②分三种情况降次求解：

（i）当〃>0时，X]=-yfp,0=6；

（ii）当〃=0时，x,=x>=0；

<iii）当〃<0时，方程无实数根.

知识点二配方法

（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移：将常数项移到方程等号的右边.

二陕：如果二次项系数不是1,将方程两边同时除以二次项系数.将其化为1.

三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式.

四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根.

（3）配方法解一元二次方程：

①配方后，化为（x+〃?）2=〃型的方程，当〃N0时，可用直接开方法求解.

②若几=0时，方程有两相等的根，即司=々=-“，而不是一个根工=-

③为便于配方，配方前应把二次项系数化为二」要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误

的情况.

知识点三公式法

（1）i元二次方程根的判别式：

一般地，式子〃-44叫做方程公+C=O（“HO）根的判别式，通常用希腊字母4表示，即/=

①当4>0时，方程ai2+〃x+c=0（aH0）有两个不相等的实数根，即犬=及=也二

2a

②当4=0时，方程"？+公+c=0（。关0）有两个相等的实数根，即芭=%=-2.

2a

③当A<0时，方程ar2+bx+c=0（。/0）没有实数根.

（2）求根公式：当420时，方程ar?+几+c=0（〃工0）的实数根可写为x=一"±-44的形式,这个式子叫

2a

做一元二次方程ax2+bx+c=0（〃土0）的求根公式.

（3）公式法解一元二次方程的步骤：

①把方程化为一般形式；

②确定。、/?、c的值；

③L算〃2一4比的值；

④当4ac20时，把。、8、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当从-4M<0时，方程没

有实数根.

知识点四因式分解法

（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式.

（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为0.

（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解.

知识点五选择合适的方法解一元二次方程

方法名称理论依据适用范围

直接降次法平方根的意义形如x2=p或(mx+n)2=p(m*0,〃>0)的一元二次方程

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

若ab=0,则a=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次

因式分解法

或8二0方程

团在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法一因式分解法一公式法一配方法.

回如果二次项系数为1,一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法.

【题型探究】

题型一：直接开平方法解一元二次方程

【例1】.(25-26九年级上•全国)用直接开平方法解F列方程：

/9

(l)(x-l)---=O；

⑵(X-3)2=(5—2"2.

【跟踪训练1】.(25-2G九年级上全国)直接开平方法解下列方程:

(l)5x2=20;

(2)(2A-3)2-16=0.

【跟踪训练2】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用直接开平方法解下列方程:

(l)2(x-l)2=18

(2)3(A+1)2-75=0.

题型二、配方法解一元二次方程

【例2】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用配方法解下列方程：

(1)3X2-12X+I=O;

(2)4?-12x-l=0;

(3)-2X2+X+1=0;

⑷;V-2x-l=0.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上全国•课后作业)用配方法解下列方程；

(l)x2+6x=-7；

2

(2)x-2y/2x-3=0;

⑶x*-4)=2-8x：

⑷4Y—8X+1=0.

【跟踪训练2】.(24-25九年级下•全国•假期作业)用配方法解下列方程:

(1)2X2-5X-7=0；

(2)后一),一&=0：

(3)(A+1)(X-I)=2X2-4X-6.

题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况

【例3】.（24-25九年级上•广东潮州•阶段练习）关于x的一元二次方程丁-41+3=0根的情况（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【跟踪训练1】.（24-25九年级上•北京海淀•期中）已知关于x的方程/-（，〃+1卜+（〃?-；］二。.

⑴求证：方程必有两个不等实数根：

⑵当机取Ov，〃v5的整数时，存在两个有理数根，求，〃的值和这两个有理数根.

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•辽宁沈阳•阶段练习）已知关于x的方程/一2年-3）工+公_4左一1=0,有两个不相

等的实数根：

⑴求攵的取值范围；

⑵若这个方程有一个根为2,求出的值.

题型四、根据一元二次方程根的情况求参数

【例4】.（25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习）关于x的一元二次方程依?+2x-1=0有两个不相笔的实数根，则实

数攵的取值范围是（）

A.k>-\B.k<-\C.攵>-1且AHOD.且AWO

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•北京西城•阶段练习）如果关于工的方程依2+*_］=0有实数根，贝］〃的取值范围是

（）

A.a>--B.a>—C.a>—且D.a>—且。工0

4444

【跟踪训练2】.（25-26九年级上•广东揭阳•阶段练习）若关于％的一元二次方程ad+x-2=0有实数根，则。的取

值范围为()

C.a>--Ka^0D.〃之-2或〃工0

88

题型五、公式法解一元二次方程

【例5】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用公式法解下列方程:

⑴5/—=0;

⑵6y2+13)，+6=0；

⑶f+6x+2=0.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用公式法解方程:

(1)2X2-5X+3=0:

(2)-2X(.V+1)=I；

(3)y(y-3)=2+y(l-3y).

【跟踪训练2】.(22-23九年级上•全国•期中)用公式法解下列方程.

⑴8/-4缶+1=0;

(2)(y-2)(3y-5)=l；

⑶4r+4，=-2.

题型六、因式分解法解一元二次方程

【例6】.(24-25九年级上•全国•期末)解一元二次方程：

⑴(x+l)(x+3)=15

(2)(>-3)2+3(V-3)+2=0.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•云南昆明•开学考试)解方程：

⑴/-21+5=20;

(2)3d・2x-1=0.

【跟踪训练2】.(25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习)解下列方程:

(1)X2+4X=0

(2)4X2+11X-3=0

题型七、换元法解一元二次方程

【例7】.(24-25九年级上•广东•期末)已知实数〃?、〃满足(2>+〃2+])(2M+〃2-])=80,试求2〃/+〃2的值

解：设2〃?2+/=),,

则原方程可化为(y+l)G~l)=80,即)3=81：

解得y=妁.

回2，/十/之0,

团2〃/+/=9

上面这种方法称为“换元法〃，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较更杂的数和式的运算中，若把

其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，

解决下列问题：

⑴若四个连续正整数的积为120,直接写出这四个连续的正整数.

⑵己知实数文、)，满足(2/+2)，2+3)12/+2)，2-3)=27,求f十丁的值.

【跟踪训练1】.(2025九年级上•全国•专题练习)请运用“整体换元法〃解方程：

(1)X4-3X2-4=0.

(2)(X2-2)2-11(X2-2)+18-0.

【跟踪训练2】.(24-25九年级上•贵州铜仁・期末)阅读下列材料:

解方程(f一1)2一5①一i)+6=o,

解.：设/-1=*则原方程化为y2-5y+6=0,

解得y=2,必=3.

当y=2时，X2-1=2,解得：x=土&

当y=3时，X2-I=3,解得＞±2.

•.•原方程的解为：内=6，七=2,匕=-2.

以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想.

⑴请用上述方法解下列方程：(2X-5)2-4(2X-5)+3=0；

⑵已知实数x,)，满足(丁+/+3)2-7/一7)，2-21=8,求f+V的值.

题型八：用合适的方法解一元二次方程

【例8】(2415九年级上•宁夏银川•期中)解方程：

(1)X2-2A-8=O(用配方法);

(2)3/-4=x(用公式法)；

⑶d-2x=3(x-2)；

(4)X2-5X+I=0.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•期中)用适当方法解下列方程团

⑴4(1)2=36.

(2)2/+7X+3=0.

(3)4X2-X-9=0.

(4)(X+2)2-2(X+2)-3=0.

【跟踪训练2】.(25-26九年级上•四川成都)解下列方程:

(l)x(x+5)=24；

(2)2(X-1)2-8=0；

⑶(>'+3)(1-3)，)=1+2)，\

(4)(1997-X)2+(X-1996)2=1.

【跟踪训练3】.(25-26九年级上♦新疆•阶段练习)解方程：

(1)X2-4X+3=0;

(2)X2-2X+6=0;

(3)x2+5x+7=3x+ll;

(4)(X-2)2+X(X-2)=0.

题型九：解一元二次方程的综合问题

【例9】.(24-2S九年级上•贵州遵义•阶段练习)【阅读感知】

我们知道，解如f+2x=0的方程可以通过因式分解将其转化为：x(x+2)=0,这样就可以得到：工=0或x+2=0从

而求出方程的解.类似的，我们也可以利用因区分解来解一些新的方程，例如一元三次方程/+/-2%=0,可以

通过提公因式法把它转化为：X(X2+A-2)=0,从而得到x=0或f+x—2=0,再解方程就可以得到

*=0,J2=-2,&=1

【理解应用】

(1)将+2x=0因式分解得

(2)解方程：X'+X2-6X=0

【知识拓展】

(3)试求方程组一［一的解

x+y=\

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•江苏南京•开学考试)关于x的一元二次方程/+2〃a+2加-1=0.

⑴求证：方程总有两个土数根：

（2）若&-2）（芍-2）=10,求泄的值;

⑶若方程有一个根不小于5,求机的取值范围.

【跟踪训练2】.（23-24九年级上•福建泉州•自主招生）已知关于x的方程/-（，〃+2>+2〃?=0.

⑴若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数〃，的值；

⑵若等腰VA8C的一边长为3,另两边的长恰好是方程的两个根，求VA4C的周长

【高分演练】

一、单选题

1.（24-25九年级上•云南曲靖•期中）用公式法解方程d—2=-3x时，二次项系数、•次项系数和常数项的值依次是

（）

A.0,-2.-3R.1,-3,-2C.1,3,-2D.1,-2,-3

2.（24-25九年级上•北京海淀•期中）用配方法解一元二次方程V—6x+3=0时，下列变形正确的是（）

22

A.（x-3>=3B（工_3）2=6C.（X+3）=6D.（x-3）=12

3.（25-26九年级上•江苏无锡・期中）关于x的一元二次方程（〃+1）父-2x+l=0有实数根，则女满足（）

A.k>0B.k<0C.k<0,且攵，一1D.k<0,且攵工一1

4.（25-26九年级上•山西运城•阶段练习）用配方法解方程3Y+2x-l=0,配方后的方程是（）

A.3（x-l）2=0B.1+g[=1

5.（25-26九年级上川|东青岛•开学考试）对于实数〃,力，定义一种新运算“★〃：当。2〃时，当

时，a'kb=b2+ah.若2*a=24,则实数（）

A.10B.4C.4或-6D.4或-6或10

6.（24-25八年级下•安徽淮北）已知关于x的一元二次方程泼+公-c=0的解是玉=1,x,=-3,则另一个关于x

的方程〃（工+3）2+〃（1+3）—。=0的解是（）

A.x,=2,=6B.内=-2.x2=-6

C.X=-,x?=3D.内=1,9=一3

7.（23-24九年级下•广东深圳•开学考试）关于X的方程x（x-1）=3&-1）,下列解法完全正确的是（）

甲乙丙T

整理得Y_4X=-3,

移项得x（xT）+3（x—整理得V-4x=-3,

两边同配方得

1)=0,va=\>b=Y,c=-3,

x2-4x+4=1,

时除以.•.△=/-4〃。=28,

.e.(jf-l)(x4-3)=0,

(x-l)W.•.生叵=2±疗，.­.(x-2)~=l,

或x+3=0,2

至lj%=3.:.x—2=±\,

x=1,x,=—3.:.x、=2+币,X2=2—V7.

「・X|=1,X-^=3.

A.甲B.乙C.丙D.T

8.（2425八年级下•浙江嘉兴•阶段练习）对于一元二次方程口「+瓜+。=0（。工0）,下列说法：

①若方程ad+c=O有两个不相等的实根，则方程云+c=0必有两个不相等的实根：

②若文是一元二次方程加+bx+c=0的根，贝Ib1-4ac=（2叫+。）,；

③存在实数"1、〃（"[h〃），使得ant+bm+c=an2+bn+c;

④若C是方程依2+/;x+c=0的一个根，则一定有4C+〃+1=0成立

其中正确的有（）

A.①②B.②③④C.①②③④D.①②③

二、填空题

9.（2425九年级上•北京海淀•期中）若关于％的方程（〃?-1）/-4x+2=0有实数根，则，〃的取值范围是—.

10.（22-23九年级上•江苏•期中）已知三角形的两边长分别是4和7,第三边长是方程“2-20x+99=0的根,则第

三边的边长是.

11.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）己知方程.I2-6X+<7=（）可以配方成（x-〃）2=3的形式，那么V-64+^=4可

以配方成.

12.（22-23九年级上•江苏盐城•阶段练习）关于x的方程a（x+〃?）2+b=0的解是玉=-5,々=3（〃、〃、机均为常

数，a±0）,贝I」方程々（X+〃L2）2+A=O的解是.

13.（21-22九年级下•安徽宣城•自主招生）、,与为方程/一人一2022=0的两个根，则代数式统:电+2为82+%:+与：

的值为.

14.(25-26九年级上•重庆•开学考试)已知在正比例函数)，=〃2《"?HO)中，的值随着工的增大而增大，且关于x的

一元二次方程.r+4%+〃?=0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数机的值之和为一.

三、解答题

15.(25-26九年级上•甘肃临夏•阶段练习)解方程：

⑴25/-16=0

(2)X2-4X+2=0；

(3)x(x-3)=x-3

(4)(x-3)?=(5-2x)2.

16.(25-26九年级上•江苏南京•开学考试)解方程：

(2)X2+4X-1=0;

(3)2X2-5A-3=0；

(4)2X(X-3)-(3-X)=0.

17.(25-26九年级上•山西运城•阶段练习)已知关于x的一元二次方程丁-2,城+/-1=0.

⑴求证：方程有两个不相等的实数根.

(2)若VA8C为等腰三角形，48=女01,另外两条边是方程的根，求V48C的周长.

18.(24-25九年级上・甘肃兰州•阶段练习)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a",c是Rt二A8C

和RtBED的边长,易知AE=V^c，这时我们把关于x的形如ad+无以一〃=0的一元二次方程称为“勾系一元二次

方程请解决下列问题：

⑴试判断方程y/2.X2+VIOX+6=0是不是"勾系一元二次方程〃：

(2)求关于X的"勾系一元二次方程”奴2+应s+8=0的实数根；

(3)若尸-1是“勾系一元二次方程”奴2+&CX+力=()的一个根，且四边形ACOE的周长是12,求6ABe面积.

21.2解一元二次方程

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一直接开平方法

（1）依据平方根的意义，将形如/=〃的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程.

（2）步骤:

①将方程转化为/=p（或（加+不=p）的形式；

②分三种情况降次求解：

（i）当〃>0时，X]=-yfp,0=6；

（ii）当〃=0时，x,=x>=0；

<iii）当〃<0时，方程无实数根.

知识点二配方法

（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移：将常数项移到方程等号的右边.

二陕：如果二次项系数不是1,将方程两边同时除以二次项系数.将其化为1.

三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式.

四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根.

（3）配方法解一元二次方程：

①配方后，化为（x+〃?）2=〃型的方程，当〃N0时，可用直接开方法求解.

②若几=0时，方程有两相等的根，即司=々=-“，而不是一个根工=-

③为便于配方，配方前应把二次项系数化为二」要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误

的情况.

知识点三公式法

（1）i元二次方程根的判别式：

一般地，式子〃-44叫做方程公+C=O（“HO）根的判别式，通常用希腊字母4表示，即/=

①当4>0时，方程ai2+〃x+c=0（aH0）有两个不相等的实数根，即犬=及=也二

2a

②当4=0时，方程"？+公+c=0（。关0）有两个相等的实数根，即芭=%=-2.

2a

③当A<0时，方程ar2+bx+c=0（。/0）没有实数根.

（2）求根公式：当420时，方程ar?+几+c=0（〃工0）的实数根可写为x=一"±-44的形式,这个式子叫

2a

做一元二次方程ax2+bx+c=0（〃土0）的求根公式.

（3）公式法解一元二次方程的步骤：

①把方程化为一般形式；

②确定。、/?、c的值；

③L算〃2一4比的值；

④当4ac20时，把。、8、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当从-4M<0时，方程没

有实数根.

知识点四因式分解法

（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式.

（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为0.

（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解.

知识点五选择合适的方法解一元二次方程

方法名称理论依据适用范围

直接降次法平方根的意义形如x2=p或(mx+n)2=p(m*0,〃>0)的一元二次方程

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

若ab=0,则a=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次

因式分解法

或8二0方程

团在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法一因式分解法一公式法一配方法.

回如果二次项系数为1,一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法.

【题型探究】

题型一：直接开平方法解一元二次方程

【例1】.(25-26九年级上•全国)用直接开平方法解F列方程：

/9

(l)(x-l)---=O；

⑵(X-3)2=(5—2"2.

518

【答案】(1)%=不，(2)xi=-,X2=2

【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键.

(1)直接利用开平方解方程得出答案；

(2)方程两边同时开平方，进而得出答案.

【详解】(1)=则4一1=±1，解得：玉=],%2=-]；

(2)("3)=(5-2x)2.

x-3=±(5-2x),

Q

解得：内=§,2=2.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•课后作业)直接开平方法解下列方程：

⑴5/=20;

(2)(2A-3)2-I6=0.

【答案】(1)&=2,七=一2

(2)X=(W=一：

【分析•】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先两边同时除以5,再直接开平方，即可作答.

(2)先移项，再直接开平方，即可作答.

【详解】(1)解:05A-2=20,

团犬=4,

解得=2,x2=—2；

(2)解：0(2X-3)2-I6=O,

0(2X-3)2=16,

02A--3=±4,

团2x-3=4：2.r-3=-4

解得N=一；

【跟踪训练2】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用直接开平方法解卜.列方程：

⑴2。-1)2=18

(2)3(4+1尸-75=0.

【答案】⑴$二4,再=一2

⑵$=4,x2=-6

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先在两边同时除以2,得1尸=9,再直接开平方法，即可作答.

(2)先移项，在两边同时除以3,得*+1)2=25,再直接开平方法，即可作答.

【详解】(1)解:132(x7)2=18,

团两边同时除以2,得3-1了=9,

则X-1=±3,

闭1=3或1=-3.

解得$=4,x2=-2.

(2)解：03(.V+1)2-75=O,

团3(X+1)2=75,

团(x+1)?=25,

0X+1=±5♦

解得玉=4,X2=-6

题型二、配方法解一元二次方程

【例2】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用配方法解下列方程：

(l)3.v2-12x+1=();

(2)4X2-I2X-1=0:

⑶-2f+x+l=0;

(4)-^x2-2x-l=0.

【答案】⑴西=2+殍，超=2-早

e3+M3-Vio

(2)菁=——，/=―-

⑶西=1，工2=一(

(4)玉=2+\/6,x>=2-yf6

【分析】本题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握解一元二次方程」配方法是解题的关键.

(1)利用解一元.次方程一配力法，进行计算即可解答;

(2)利用解一元二次方程一配方法，进行计算即可解答;

(3)利用解一元二次方程一配方法，进行计算即可解答:

利用解一元二次方程一配方法,进行计算即可解答.

【详解】(1)解：3<-12x+l=0,

团（X-2『=£,

0.r-2=±—,

3

0.r-2=—W（A--2=--,

33

回玉=2+亍，A-2=2---;

（2）解：4X2-12X-1=0,

（?）x~-3x—=0,

3与晒

n——=±----»

22

E3VlO3VTo

2222

回3+V103-V10

田，“2=—^—

（3）解：—2d+x+l=0,

0-^i=1.w=—-；

(4)解：^-X2-2X-1=0,

2

0x2-4.r-2=O,

0X2-4X=2,

0x2-4x+4=2+4,

0(A-2|2=6,

0x-2=±>/6»

0x—2=>/()或x-2=—x/6,

团玉=2+指，%=2-限.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用配方法解下列方程:

(l)x2+6x=-7；

(2)X2-2>/2X-3=0;

⑶x(x-4)=2-8x：

(4)4,r-8x+l=0.

【答案】(1)为二一3+五,％=-3-夜

（2）%=\[2+\[5,X2=叵-亚

⑶N=-2+>/6,x,=-2-瓜

,x/3

⑷％=1+彳,工2=1--—

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键：

（1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可；

（2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可:

（3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程

即可；

(4)先把二次项的系数化为1,再把常数项移到等式右边,然后方程两边同时加上•次项系数•半的平方，配方,

解方程即可.

【详解】(1)解：A-2+*46A=-7,

x2+6x+9=-7+9，

(X+3)2=2,

x+3=土&;

0X]—-3+^2,Xj=-3-\[^2.；

(2)W-2缶-3=0,

/一2缶=3，

f-2岳+2=3+2，

1-可=5,

^X-y/l=±y/5,

0'—•y/Q,+^5,X?—^2—y/5;

(3)A(X-4)=2-8X,

x2-4工=2-8x»

x2+4x=2,

X2+4X+4=2+4»

(X+2)2=6,

x+2=±5/6,

0x,=-2+限,2=-2-V6；

(4)4x2-8x4-1-0,

X~—2A'4--=0,

4

x2-2x=--,

4

2*,1,

x-2x+\=——+1,

4

-1=

【跟踪训练2】.(24-25九年级下•全国•假期作业)用配方法解下列方程：

(1)2X2-5X-7=0；

⑵△/_),一百=0；

(3)(A+1)(X-1)=2X2-4X-6.

7

【答案】⑴%=5，w=t

e后+病V3-V39

(2)y=---，%=-7—

OO

⑶％=5,x2=-1

【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键.

(1)方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方

即可求出解.

(2)方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方

即可求出解.

(3)将方程化为一般式，方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平

方公式变形后，开方即可求出解.

【详解】(1)解：方程变形得：

42

十彷，

配31rl方得：X---5X+—25=-7+—25，

216216

59

开方得：工一”土;，

44

7,

,"T；

(2)解：方程变形得：)尸

一、R21।13

配方得：，一国"丘=五，

即g壶［哈

开方得：丫-亲士回

解得：尸组叵；

6

.B+aG-病

••y=-7一，%=—7—；

66

（3）解：整理得：X2-4X=5,

配方得：/_以+4=9，

即（x-2）2=9,

开方得：x-2=±3,

N=5,x2=一].

题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况

【例3】.（24-25九年级上•广东潮州•阶段练习）关于x的一元二次方程炉―4+3=0根的情况（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查/根的判别式.根据方程的系数与根的判别式，得到A=（-4）2-4x]x3=4>（）,再由根的判别式

的意义判断方程根的情况，即可解答.

【详解】解：0A=（-4）2-4xlx3=4>O,

团方程有两个不相等的实数根.

故选C.

【跟踪训练1】.（24-25九年级上•北京海淀•期中）已知关于x的方程+相=

⑴求证：方程必有两个不等实数根；

⑵当，〃取0v〃?<5的整数时，存在两个有理数根，求，〃的值和这两个有理数根.

【答案】（1）方程必有两个不等实数根；

（2）加的值为1,这两个有理数根为g和g.

【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程.

（1）由方程的系数结合根的判别式△=/-46，可得出△=进而可证出方程必有两个不等实数根；

（2）由〃，的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，〃=1,代入后可得出原方程为Y-2X+==0,且△=1,

4

再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根.

【详解】（1）证明：A=[—（/〃+1）T-4X1X（〃L（）

=nr+2m+1-4"?+1

=m2-2m+2

=（/H—1）~+1.

a（/n-I）2>0,

0（/27-l）2+1>0,

即△>（）,

团方程必有两个不等实数根；

（2）解：（3当机取0<〃?<5的整数时，存在两个有理数根，且△=（川-1『+1,

0m=1,

团原方程为广—2x+二=。，且△=1,

4

团此时原方程的解为x=PHI,

2

团〃?的值为1，这两个有理数根为g和；.

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•辽宁沈阳•阶段练习）已知关于x的方程1-2年-3）工+公一软一1=0,有两个不相

等的实数根：

⑴求攵的取值范围；

⑵若这个方程有一个根为2,求攵的值.

【答案】（1））<5

（2）3

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键：

（1）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可；

（2）将x=2代入，进而求出女的值，进而得出方程的解.

【详解】（1）解：团关于％的一元二次方程f-2伙-3）x+公-锹7=0有两个不相等的实数根，

0S=b2-4ac=[-2（A-3）]2-4仰一必-1）=-弘+4U>U,

解得：k<5；

（2）解：团方程的一个根是2,

团代入方程得：4—4（攵—3）十二-4&-1=0

即公一肽+15=0,

解得：〃=5或4=3.

团％<5,

回攵=3.

题型四、根据一元二次方程根的情况求参数

【例4】.（25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习）关于x的一元二次方程依2+2工-1=0有两个不相笔的实数根，则实

数2的取值范围是（）

A.k>-\B.k<7C.攵>-1且AHOD.八一1且AwO

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件:

（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足△=力-尔心〉。.利用此条件转化即可解得参数的范

围.

（4+必>0

【详解】解：依题意列得/八，

攵工0

解得人>-1且攵wO.

故选：C.

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•北京西城•阶段练习）如果关于x的方程a*+%_i=o有实数根，贝的取值范围是

（）

A.a>--B.a>--C.。之,且"0D.且〃工（）

4444

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的

判别式.

利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可.

【详解】解：根据题意得，当时，

A=l-4^x（-l）>0,

解得。之一!，且。工0；

4

当。=0时，原方程为一元一次方程工-1=0,

解得x=l,有实数根；

综上，当时，原方程有实数根.

4

故选：3.

【跟踪训练2】.（25-26九年级上•广东揭阳•阶段练习）若关于3的一元二次方程ad+x-2=0有实数根，则。的取

值范围为（）

A.a<--B.a=--

88

C.〃2-三且〃工0D.〃2-：或〃¥0

88

【答案】c

【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识.

根据关于X的一元二次方程渥+工―2=0有实数根，^A=12-4X«X(-2)=1+8«>0,且。工0,即可求解.

【详解】解：回关于x的一元二次方程加+x-2=0有实数根，

0A=12-4X6/X(-2)=14-8«>O,且awO,

解得〃一：，

O

加的取值范围是〃之一:且。工0,

8

故选：C.

题型五、公式法解一元二次方程

【例5】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用公式法解下列方程:

⑴5/—=0;

(2)6y24-13y+6=0；

⑶Y+6X+2=0.

【答案】⑴凡=土亚,±=土巫；

55

/一、23

(2)>i=--»y2=--；

⑶±=-3+夕，^=-3->/7.

【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题.

(1)把。=5,b=2,c=-l代入求根公式计算即可；

(2)把。=6,〃=13,c=6代入求根公式计算即可；

(3)把〃b=6,。=2代入求根公式计算即可.

【详解】(1)解：5X2+2X-1=0,

a=5,/?=2,c=-l,

△=〃-4“c=4+4x5x1=24>0»

-2±42i-i±V6

X=,

105

.-1+76-1-76

(2)6j2+13)，+6=0,

/a=6,0=13,c=6,

•••A=^-4o(?=169-4x6x6=25>0»

.-13土后-13±5

••y=--------=------,

1212

23

(3)V+6x+2=0，

二.a—1,b—6,c—2,

团八=从一4ac=36-4x1x2=28>0,

...x=^^=—3土近，

2

x}=-3+>/7,X2=—3—y/l.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•课后作业)用公式法解方程：

(1)2X2-5X+3=0:

(2)-2A(.V+1)=1；

(3)y(y-3)=2+y(l-3y).

3

【答案】(1)%=',占=1；

⑵方程没有实数解；

d1+>/31—>/3

⑶乂=^—，%="

【分析】(1)先计算出根的判别式的值得到A=l,然后利用求根公式得到方程的解；

(2)先把方程化为•般式，再计算出根的判别式的值得到4=~4,然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数

解；

(3)先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到△=48,然后利用求根公式得到方程的解.

【详解】(1)解：2X2-5X+3=0,

,a=2,b=5,c=3,

△=(-5)'-4x2x3=l>0,

.,小=5，x2=1；

(2)-2A(A+I)=I,

方程化为一般式为2储+2x+l=0.

•/a=2,b=2,c=\♦

△=22-4x2xl=-4<0,

•••方程没有实数解；

(3)>(y-3)=2+>'(l-3y),

方程化为一般式为4)J—4y-2=0,

1.d=4,b=4c=-2,

A=(-4)2-4x4x(-2)=48>0,

4±4x/3)±x/3

y=------=-----,

2x42

1+6l-x/3

••y=-2-，％=-2~,

【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键.

【跟踪训练2】.(22-23九年级上•全国•期中)用公式法解下列方程.

⑴8/-4宿+1=0：

⑵。，一2)(3)，-5)二1；

⑶4r+4/=-2.

【答案】⑴%二%2=当

e11+V1311-V13

(2))[=--一，必二—7—

66

⑶此方程无实数根

【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式ad+加+。=0(。工())，计算判

别式A=〃-4加•判断根的情况，再代入求根公式戈=也正求解.

2a

(1)方程已是一般形式，直接确定。=8、8=-4及、c=l,计算△,因△=(),代入求根公式得两个相等实数根;

(2)先将方程展开整理为一般形式3y2_1叮+9=0,确定。=3、6=一11、c=9,计算A>0,代入求根公式得两

个不相等实数根；

(3)先将方程整理为一般形式4『+@+2=0(或化简为2『+力+1=0),确定，、b、c,计算A<0,判断方程无

实数根.

【详解】(1)解：方程为一般形式，a=8,b=T叵,c=\,A=b2-4«c=(-4>/2)2-4x8x1=32-32=0,

代人求根公式：工=生区=逑型=逑=在，

2a2x8164

故方程为根为：%=&=今

(2)解：展开整理为一般形式：3r-5y-6.v+10-l=0,

BP3y2-lly+9=0,a=3,/?=-!!,c=9,A=(-lI)2-4x3x9=121-108=13>0,

代入求根公式："土行="土旧，

2x36

故方程的根为：y="+加,%=上巫.

16726

(3)解:整理为一般形式：4『+4/+2=0(化简：2r+2r+l=0),。=2"=2,c=\,A=22-4x2x1=4-8=-4<0>

••・判别式小于0,

•••此方程无实数根.

题型六、因式分解法解一元二次方程

【例6】.(24-25九年级上•全国•期末)解一元二次方程：

⑴(X+I)(X+3)=15

⑵(y-3)2+3(y-3)+2=0.

【答案】⑴5=2,X2=-6

⑵=2,%=1

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键.

(1)用因式分解法计算即可.

(2)用因式分解法计算即可.

【详解】(1)0(x+l)(x+3)=15

团F+4X—12=0,

0(x-2|(x+6)=O,

0x-2=O,x+6=0,

解得内=2,x2=-6.

(2)0(y-3)2+3(y-3)+2=O

0(y-3+-l)(y-3+2)=O,

Hy—2—0,y—1—0,

解得)%=2,%=1.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•云南昆明•开学考试)解方程：

⑴产—2工+5=20：

(2)3f・2x-1=0.

【答案】⑴X=5,与=一3

⑵内=--,x2=\

［分析】本题考查利用十字相乘法因式分解来解一元二次方程:

(1)利用十字相乘法分解因式即可求解；

(2)利用十字相乘法分解因式即可求解.

【详解】(1)解：x2-2x+5=20

f-2x75=0

(x-5)(x+3)=0

X］=5,4=-3；

(2)解：3x2-2X-1=0

(3x+l)(x-l)=0

［跟踪训练21.05-76九年级上•江苏宿迁•阶段练习)解下列方程：

(l)x2+4x=0

(2)4X2+11X-3=0

【答案】(1)』=。，看=一4,

(2)A|=-3,W，

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法一因式分解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法;

(1)根据因式分解中的提公因式法解题即可；

(2)运用十字相乘法分解因式即可；

【详解】(1)解：W+4x=0,

x(x+4)=0,

x=0,x+4=