2025年概率论与数理统计期末考试卷及答案

2025年概率论与数理统计期末考试卷及答案一、选择题（每题3分，共18分）1.设事件A与B满足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)的值为（）A.0.4B.0.6C.0.7D.0.82.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（）A.1B.2C.3D.43.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布函数分别为F_X(x)和F_Y(y)，则X与Y独立的充要条件是（）A.F(x,y)=F_X(x)+F_Y(y)B.F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)C.F(x,y)=max{F_X(x),F_Y(y)}D.F(x,y)=min{F_X(x),F_Y(y)}4.设X~N(μ,σ²)，Y=2X+3，则Y服从的分布为（）A.N(2μ+3,2σ²)B.N(2μ+3,4σ²)C.N(μ+3,4σ²)D.N(2μ,σ²+9)5.设X₁,X₂,…,Xₙ是来自均匀分布U(a,b)的简单随机样本，记样本均值为X̄，则E(X̄)=（）A.(a+b)/2B.(a-b)/2C.a+bD.a-b6.设总体X~N(μ,σ²)，σ²已知，μ未知，要检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，取显著性水平α=0.05，则拒绝域为（）A.|Z|>z_{0.025}B.Z>z_{0.05}C.Z<-z_{0.05}D.|Z|>z_{0.05}二、填空题（每题4分，共24分）1.袋中有3个红球，2个白球，不放回地取两次，每次取1个，则第二次取到红球的概率为______。2.设随机变量X的概率密度为f(x)=ce^{-|x|}（-∞<x<∞），则常数c=______。3.设X~B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2.4，则n=______，p=______。4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=6x（0<x<1,0<y<1-x），则X的边缘概率密度f_X(x)=______（0<x<1）。5.设X₁,X₂,X₃是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，令T=X₁+2X₂+3X₃，则D(T)=______。6.设总体X的概率密度为f(x;θ)=θx^{θ-1}（0<x<1，θ>0），用矩估计法估计θ，得θ̂=______。三、计算题（共52分）1.（10分）某工厂有三条生产线，分别生产产品的40%、35%、25%，次品率分别为2%、3%、4%。现从该厂产品中任取一件，求：（1）取到次品的概率；（2）若取到次品，该次品来自第一条生产线的概率。2.（10分）设随机变量X的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧2x,0≤x≤1；0,其他。定义Y=X²，求：（1）Y的分布函数F_Y(y)；（2）Y的概率密度f_Y(y)。3.（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧e^{-(x+y)},x>0,y>0；0,其他。（1）求X与Y的边缘概率密度f_X(x)和f_Y(y)；（2）判断X与Y是否独立；（3）计算P(X+Y≤1)。4.（10分）设总体X的概率密度为f(x;λ)=⎩⎨⎧λe^{-λx},x>0；0,其他（λ>0），X₁,X₂,…,Xₙ为来自X的简单随机样本。（1）求λ的极大似然估计量λ̂；（2）验证λ̂是否为λ的无偏估计。5.（10分）某地区成年人身高X~N(μ,10²)，现随机抽取25人，测得平均身高为172cm，检验是否有理由认为该地区成年人平均身高μ≠170cm（α=0.05，z_{0.025}=1.96）。四、证明题（6分）证明：对于任意随机变量X，有D(X)=E(X²)-[E(X)]²。答案一、选择题1.C2.A3.B4.B5.A6.A二、填空题1.3/52.1/23.10,0.44.6x(1-x)5.14σ²6.X̄/(1-X̄)（注：X̄为样本均值）三、计算题1.解：设Aᵢ表示“取到第i条生产线的产品”（i=1,2,3），B表示“取到次品”。（1）P(B)=ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ)=0.4×0.02+0.35×0.03+0.25×0.04=0.008+0.0105+0.01=0.0285；（2）P(A₁|B)=P(A₁)P(B|A₁)/P(B)=0.008/0.0285≈0.2807。2.解：（1）当y<0时，F_Y(y)=0；当0≤y≤1时，F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=P(-√y≤X≤√y)=∫₀^√y2xdx=y；当y>1时，F_Y(y)=1。故F_Y(y)=⎩⎨⎧0,y<0；y,0≤y≤1；1,y>1。（2）f_Y(y)=F_Y’(y)=⎩⎨⎧1,0≤y≤1；0,其他。3.解：（1）f_X(x)=∫₀^∞e^{-(x+y)}dy=e^{-x}（x>0），同理f_Y(y)=e^{-y}（y>0）；（2）因f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，故X与Y独立；（3）P(X+Y≤1)=∫₀^1∫₀^{1-x}e^{-(x+y)}dydx=∫₀^1e^{-x}(1-e^{-(1-x)})dx=∫₀^1(e^{-x}-e^{-1})dx=1-2e^{-1}。4.解：（1）似然函数L(λ)=Πλe^{-λxᵢ}=λⁿe^{-λΣxᵢ}，取对数得lnL=nlnλ-λΣxᵢ，求导得d(lnL)/dλ=n/λ-Σxᵢ=0，解得λ̂=n/ΣXᵢ=1/X̄；（2）E(λ̂)=E(n/ΣXᵢ)，因Xᵢ~Exp(λ)，ΣXᵢ~Γ(n,λ)，E(ΣXᵢ)=n/λ，故E(1/ΣXᵢ)≠λ/n（注：Γ分布的倒数期望不等于倒数的期望），因此λ̂不是无偏估计。5.解：检验假设H₀:μ=170vsH₁:μ≠170，已知σ²=100，n=25，X̄=172。统计量Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)=(172-170)/(10/5)=1。拒绝域为|Z|>z_{0.0