2026届江苏省苏州市新草桥中学高二上数学期末考试模拟试题含解析

2026届江苏省苏州市新草桥中学高二上数学期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆与直线相切，则（）A.3 B.或3C. D.或2．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.3．在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102 B.C. D.1084．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”（）A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件C.是对立事件 D.是不可能事件5．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（）A1 B.C.1或 D.或6．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）A. B.C. D.7．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或18．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.9．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”10．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.11．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.12．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点，则的最小值为（）A. B.2C. D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前n项和．若，则__________14．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______15．已知向量与是平面的两个法向量，则__________16．下图是个几何体的展开图，图①是由个边长为的正三角形组成；图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成；图③是由个边长为的正三角形组成；图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：（1）求的值；（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：纤维长度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等级二等品一等品特等品从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.18．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程20．（12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值21．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.22．（10分）已知直线l经过直线，的交点M（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据圆与与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】圆的标准方程为：，则圆心为，半径为，因为圆与与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，故选：B2、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故选：A3、D【解析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D4、B【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.故选：B.5、C【解析】根据条件列关于首项与公比的方程组，即可解得公比，注意等比数列求和公式使用条件.【详解】等比数列中，，前三项之和，若，，，符合题意；若，则，解得，即公比的值为1或，故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.6、A【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，故选：A7、D【解析】由题可得，即求.【详解】由题意，得，所以，因为，所以，解得或.故选：D.8、C【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.9、A【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A10、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C11、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A12、D【解析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，由抛物线定义知，，于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，所以的最小值为3.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案：.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14、##【解析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径.由于，所以原点在圆外，所以最大值为.故答案为：15、【解析】由且为非零向量可直接构造方程求得，进而得到结果.【详解】由题意知：，，解得：（舍）或，.故答案为：.16、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，且正方体的棱长为，该正四面体的外接球半径为，满足要求；②由题设，几何体为棱长为的正四棱锥，如下图所示：设，连接，则为、的中点，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，所以，，所以，，，所以点为正四棱锥的外接球球心，且该球的半径为，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为的正四棱锥拼接而成，由②可知，该正八面体的外接球半径为，不满足要求；④由题设，几何体为棱长为的正方体，其外接球半径为，不满足要求；故答案为：①.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.（2）根据平均数的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花小问1详解】由解得【小问2详解】该样本数据的平均数为：【小问3详解】由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，∴，.∵三棱锥和的体积比为，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.19、（1）（2）或【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为又因为点在抛物线C上，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】抛物线C的焦点为，当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设直线l交抛物线的两点坐标为，，由得，，，，由抛物线得定义可知，所以，解得，即，所以直线l的方程为或20、（1）见解析（2）【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。【详解】（1）∵四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，,,设是平面CDF的一个法向量，则即令，解得又是平面AEFB的一个法向量，∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。21