人教版高中数学必修第二册题型考点讲义：解三角形中恒等式与不等式问题（解析版）

第13讲解三角形中恒等式与不等式问题

【知识梳理】

-:解三角形中常用恒等式

①:射影定理：a=bcosC+ccosB,Z?=6rcosC+ccosA,c=acosB-{-bcosA

②三角形内角和定理：A+6+C=4,A+；+C=,

所以sin（A+3）=sin（4一C）=sinC,同理sin（3+C）=sinA,sin（A+C）=sinB,

cos（A+B）=cos（^-C）=-cosC,同理cos（8+C）=-cosA,cos（A+C）=-cosB,

tan（/^+B）=tan（^--C）=-tanC,同理tan（B+C）=-tan4,tan（/4+C）=-tanB,

A+BB+CA+C

-cos—,同理sin—cos—,sin

2~T~2~

③正切恒等式：tanA+tan3+tanC=tanAtanmanC

二：解三角形中常见不等式关系

①柱意三角形的内角和为180。;三条边满足：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

②大边对大角，小边对小角，/4>B<=>cz>/?<=>sinA>sinB，所以在AABC中A>B是sin4>sinB的

充要条件

③在锐角澳⑶。中，一定有sinA>cos8,sin8>cosC,sinC>cos4,即一个角的正弦值一定大于另一

个角的余弦值，从而可以得到锐角A48C中，一定有sinA+sin8+sinC>cosA+cos8+cosC

【例1】在RSABC中，4c4=90。，AB=c,AC=b,BC=a,则下列关系不成立的是（）

A.a=ccosBB.tanAlan8=lC.b=ccosAD.a=btanB

【答案】D

【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可.

【详解】解：对于A,cos5=-贝iJa=c・cosB,故A成立；

对于B,因为A+B=工，所以tan4•【an8=lanA•—!—=I,故B成立；

2tanA

对于C,cosA=-，则/?=c・cos4，故C成立；

c

对于D,tanB=：，贝ij〃=〃•tan6,故D不成立.

故选：D.

【例2】已知AABC的内角A、B、。满足出1124+311（4-8+。）=$访（。-4一8）+耳，面积$满足

1WSW2,记。、b、。分别为A、B、C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A.bc(b+c)>SB.ab(a+b)>16页

C.6<abc<12D.\2<ahc<2A

【答案】A

【分析】由条件5访24+5足（从一8+。）=§访（。一/\一3）+,化简得出§苗/15皿53也。=,，设AABC的外接圆

28

半径为R,根据1WS42求得R的范围，然后利用不等式的性质判断即可.

【详解】AA8C的内角A、B、。满足sin2A+sin(A-8+C)=sin(C—A—8)+；,

gpsin2A+sin(4-^+C)+sin(A+«-C)=",

即sin2A+sin[A-(B-C)]+sin(4+A-C)=g,

HP2sin/4coSi4+2sin4cos(^-C)=,

艮f]一2sin4cos(3+C)+2sinAcos(B-C)=g,

gp2sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=4sinAsinBsinC=—,sinAsinBsinC=-,

28

设AA8C的外接圆半径为R，则号=—1=—£/=2R,

sinAsintisinC

S=—«/?sinC=—x2/?sin4x2/?sin^xsinC=­/?2[12],.-.2</?<2>/2,

224

/.abc=8^xsinAsinBsinC=Ry€|^8,16>/2J,C、D选项不一定正确；

对于A选项，由于〃+c＞。,:.bc（h+c）＞abc＞S,A选项正确；

对干B选项.ab（a+b）＞abcN8,即"（a+〃）＞8成立,但曲（〃+力）＞16拒不一定成立.

故选：A.

【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质

等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.

[例3]△ABC的三边分别为。力c若4ABC是锐角三角形厕()

A.sinA<cosBB.tanAtanB>IC.cos(A+/?)>()D.sin(A+3)>sinC

【答案】B

【解析】根据是锐角三角形，令A=B=C=60。、然后逐项判断排除即可.

【详解】解:•.•△ABC是锐角三角形.可令A=B=C=60。,sin人=^>COSB=LA错误;

22

cos(A+A)=cos1200=-g<0.C错误：

sin(/^+B)=sin120°=sinC=—,D错误；

2

tanAtan8=3>1,B正确.

故选:B

【点睛】本题考查三角形内角和定理，以及三角形内角的正余弦值之间的关系，可用排除法得出正确选项.

【例4】(多选题)在△A3C中，角4B、C的对边分别为以。、c,则下列关系恒成立的是()

A.若力>6，贝iJsinA>sin8B.cos(2A+2B)=cos2C

C.sinA4=sin—D.若cos2A>cos28,则

22

【答案】ABD

【分析】A选项,利用大角对大边，得到,再利用正弦定理得到sinA>sin8;BC选项，利用三角形

内角和为180。及诱导公式进行求解，D选项，先用二倍角公式得到sh?Avsii?8,利用A8e(O,7i)得到

sinAvsi而，由正弦定理和大角对大边进行求解.

a_b

【详解】因为力>笈，所以"b,由正弦定理得：

sinAsinB

因为A8w((),7t).所以sinA>0,sinB>0,故siM>sin8,A正确：

cos(2A+2B)=cos(27r-2C)=cos2C,B正确；

.A+B.f7TC}C八出、。

sin—=sin=cosy,C错俣；

因为cos2A=l-2sin24cos28=l-2sin，8,由cos2A>cos2A得：

sin2A<sin2B，因为A8«（U）,所以sinA>0,sinB>0,

所以sin/UsinB,由正弦定理三二々；得:a〈b,故A<8,D正确.

sinAsinB

故选：ABD

【例5］（多选题）在△ABC中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）

A.若4<4,贝”sinAvsinAB.若sin4<sin3,贝ijA<A

C.若力〉片，贝lj--T—>—D.若/>/?,贝ijc。/人>cos2R

tan2Atan2B

【答案】AB

【分析】对ABD,利用正弦定理，同角三角函数的基本关系来判断，

J12sin(B-A)cos(B-A)

对D变形逐一判断每八因式的正负.

tan2Atan24sin2Asin2B

【详解】解：对于A：在AABC中，八<3oav〃o2Rsin八<2Rsin3osinAvsin8,

所以若Av8,则sinA<sinB正确；

若sin/A<sinB，则Av4,所以B正确；

对于C：

I1_cos2Acos28cos2Asin23-cos28sin2A

tan2Atan28sin2Asin2Bsin2Asin28

sin2(BA)_2sin(BA)cos(BA)

sin2AsinIBsin2Asin2B

'：A>B

：.Q<A-B<7T

/.sin(B-A)=-sin(A-B)<0

当0<AK1,0<8工3时，()v2A07T,0<21把兀,0<A—B,

sin2A>0,sin28>0,cos(B-A)>0

I111

.•则nl-------------<0,「.------<------;

tan2Atan2Btan2Atan28

当呆人<肛0<84时(A和E不可能同时在第二象限)，

乃v24v2兀,0<2B<7t，二sin2A<0,sin2B>0

当0S4—•时,cos(B-A)>0,

11cl1

二n贝l!------------->0,「.------>------,

tan2Atan28tan2Atan28

当A-8M4时，cos(B-A)<0,

-----------<0,/.—^―<—^―;&CeiM；

tan2Atan28tan2Atan28'

对于D:

A>4osinA>sinB>()<=>sin，A>sin2Bo1-cos2A>1-cos2Bocos?A<cos2B,

故D错误；

故选：AB.

【例6】如图，已知△八B。内有一点P,满足NEW=NP8C=ZPC4=a.

(1)证明：PBsinABC=ABs\na.

(2)若“ABC=90,AB=BC=1：求PC.

【答案】(1)证明见解析

(2)「。=半

PRAn

【分析】(1)由正弦定理得——=--------.^PBsinZAPB=ABsina,即要证明sinNA8C=sinZAP3

sinasinZ.APH

即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；

(2)由题意求得夕4=sincr，继而求得PC=0sina，在中利用余弦定理求得sina=《，即可求

得答案.

(1)

证明：

在A/WP中，由正弦定理得.=.，

sinasin/APB

gpP^sinZAPB=/l^sina,

要证明04sinNA4C=A4sina,只需证明sinNA4C=sinNAPA,

在ziAB尸中，ZAPB=万一(y+NABP),

在AA8C中,ZABC=a+ZABP

所以=,

所以sinZ/V76=sin(万一ZA4C)=sinZA4c,

所以小in4BC=ABsina.

(2)

由(1)知依sinZA4C=A4sina,又因为一人BC=90,AB=1,

所以P8=sina,

7T

由已知得△48C为等腰直角三角形，所以/3CA=/C48=：,

4

贝iJNBCP=C-a,

4

所以在△PBC中,NBPC=兀-?一4)一二二¥，

BCPC

由正弦定理得../丽万,

sinZ.BPCsinNPBC

J_PC

即,in网sina,

即尸C=J5sina.

由余弦定理得sin?a+(夜sina)-2sina(>/5sina卜os半=1,

由题意知sina>0,

故解得sina=4，

所以尸。=亚.

5

【例7】在锐角AABC中，已知csinC-。sinA=〃2sin[A+—sinC-sinB,其中a,》,c分别是418。的内

\6；

角儿及。的对边.

(1)求角A的大小；

(2)试比较2)与〃+&的大小.

【答案】(l)A=f；

O

(2)a+y/3c>2h.

【分析】(1)csinC-asinA=〃2sinA+—sinC-sinB

为附利的"仇公式>csinC-asinA=®sinAsinC+〃cosAsinCsinB

IHAGsinA=cosA—A

(2)A二税角三角形乃<B一一2〃-小嬴舞/一辰=2sin(B-3f

632。ci[3,

——也^u(O,l)>a1>/3c>2b

(1)

由csinC—asinA=〃2sinA+—IsinC-sinB得：esinC-asinA=x/5/?sinAsinC+hcosAsinC-/?sinB,

k6,

由正弦定理可得：/一a"=JJbcsinA+bccos从一"，

4b~+c2-a2J3.41n>/3.1.

cosA=-------------=——sinA+—cosAA,B—sinAx=-cosA

2bc2222

又,.•.COSAHO,/.tanA=—,A=^-.

\2；36

(2)

由(1)知：A=g,B+C==.

oo

0<B<-

•「从SC为锐角三角形，，,2，解得：

0〈达-B〈三32

62

由正弦定理得："小=2sinB-石sinC=2(2/8—GsinC)

asinAv'

=22sinI3-y/3—cosA?+—^-sinB

122

=2-sin——-cosB=2sinB——.

[22)[3)

，二<B吟,,.\2sinfB-^e(OJ),即2叱辰<],

』236V37a

:.a+\/3c>21j.

【例8】在血?C中，求证：

(1)(a2-b2-c2)tanA+(«2-b2+c2)tanB=0；

,c、cos2Acos2^11

2—、---------^=--TT-

a~b~a~b~

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；

【分析】(1)根据余弦定理将/一〃一c*=-2〃ccosA,a?/+c*=2ac、cosB代入左式,整理结合正弦定

理，即可证明等式；

(2)用二倍角公式将(：08248528转化为4]45访8,再由正弦定理，即可证明等式.

【详解】(1)(«2-b2-c2)tanA+(«2-/j2+c2)tanfi

=-2/?ccosA•tanA+2accos8•lan8

-,,sinAsinB

=2abc(--------+)=0,...等式成立

ab

22

.n.cos2Acos2B1-2sinA1-2sinB

（2）丁-『二^---------厂

I12sin2A2sin2B11工一中士

二万一二十丁=/-尸'等式成立.

【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理证明三角恒等式，考查计算求解能力，属于基础题.

【题型专练】

1.在“3C中，内角4,氏C所对的边分别为〃、"c,dBC的面积为S,下列与“8C有关的结论，正确

的是（）

A.若AABC为锐角三角形，则sinA>cosA

B.若力>耳，则sin4>sin3

C.若acosA=〃cos8,则△A8C一定是等腰三角形

D.若为非直角三角形，贝ijlanA+lan8+tanC=tanAlan8tanC

【答案】ABD

【分析】由A+,结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A正确；由力>夕知，根据正弦

定理可得sinA>sinB,可判定B正确；由正弦定理可得sin2A=sin24，贝ij2A=24或2八+2用=乃,可判

定C不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，若“8C为锐角三角形，可得且从8c0,-

2），

A>sinfy-B

可得A>g-8,且,根据正弦函数的单调性，可得sin，所以sinA>cos8,

所以A正确；

对于B中，在“3。中，由力〉8知,根据正弦定理可得sinA>sinB，所以B正确；

对于C中，由正弦定理知a=2RsinA,〃=2Rsin8,可得sin24=sin24,故2A=24或2A+26=%，

△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；

对于。中，在aABC中，可得4+2+C=;r,贝ijA+3=;r—C,

所以tan(A+8)=tan(;r-C),即一^----------=-tanC,

1-tanAtanB

可得tanA+tanA=-tanC+tanAtanAtanC,

MtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,所以。正确.

故选：ABD.

2.对于&48C,有如下命题，其中正确的有（）

A.若sin2A=sin28,则“3。是等腰三角形

B.若是锐角三角形，则不等式sinA>cos8恒成立

C.若sin24+sin2B+cos2C<I,则A/WC为锐角三角形

D.若人己人月>|人Bl?,则~4水7为钝角三角形

【答案】BD

【分析】对选项A,根据题意得到A=8或=',即可判断A错误；对选项B,根据题意得到

97T>4>乃9一8>0,从而得到sin4>sing-B=cosB，即可判断B正确；对选项C,根据题意得到

/2/2X/

〃》一晨。’从而得到8SC=冶/<°,即可判断c错误；对选项D,根据恁・而>1®得到

0为钝角，即可判断D正确.

【详解】对选项A,sin2A=sin28=sinAcosA=sin4cosb,

所以A=8或A+8='，故A错误；

对选项B,»8C是锐角三角形，

所以,

所以sinA>sing-B=cosB，故B正确.

IZ7

对选项C,sin2A+sin25<l-cos2C=>sin2A+sin2B<sin2C,

2122

所以,『十〃-/<0,cosC=-------<0.

lab

又因为OvCv万,所以C为钝角，8c为钝角三角形,故C错误：

对选项D,==+,

UlUUIVUIU||UID

所以AB/TC=AB\\I3CCOS（^-B）>0,

即cosBvO,又因为0<8<万，所以8为钝角，/BC为钝角三角形，故D正确.

故选：BD

3.下列命题中是真命题的有（）

A.存在。，P，使lan（a-/?）=[ana-tan/?

B.在413。中，若sin24=sin28,则“WC是等腰三角形

C.在“1BC中，“力>夕是"sinA>sin夕的充要条件

D.在“放7中，若COSA=3,sin4=2则cosC的值为或笑

1356565

【答案】AC

【分析】赋值法可以判断A选项；在△A5C中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根

5124

据正弦定理可判断选项C;先由8sA=百,求得sinA=y^,再由sinB=g,结合大角对大边求得

3

COSB=-,最后根据85。=-8$5+或求值即可判断选项口.

【详解】对于A,当尸=0时，正确；

对于B,由sin2A=sin23可得24=23或2A+26=乃，即或4+4=]，所以△ABC是等腰三角形或

直角三角形，错误；

对于C,A>8oa>Z?=2RsinA>2Rsin8osinA>sin8（其中R是AABC外接圆的半径），正确；

对于D,因为cos4=^,0<A<TT,所以sinA=J1-cos?A=JlJ2]=—.

13'13

因为sinA>sin8,所以由正弦定理得，从而力>B.

又因为sin8=g,所以cosB=Jl-sin?8=JlJ=|,

33

从而cosC=-cos（A+/3）=sinAsinB-cosAcos/3==.错误；

故选：AC.

【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变

换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关

系.另外，在变形过程中要注意4,B，。的范围对三角函数值的影响.

4.在△A8C中，下列说法正确的是（）

A.若是锐角三角形，贝iJsinA<8s£?

B.若力>B，贝ijsinA>sin8

C.不存在aAAC满足cosA+cosAWO

D.若，则*inC>sin?A+sin?A

【答案】BCD

【分析】逐一判断，对A,两角和大于90,利用正弦定理以及诱导公式即可判断正误；对B使用正弦定

理判断即可；对C,由A+8<180化简计算；对口，利用，化简即可.

【详解】对A,由AABC是锐角三角形，所以A+8>90,则A〉90-B,

所以sin4>sin（90-8）=cos8,即sinA>cosB,故A错；

对B,由/>8，贝,&sinA>sin/?,所以B正确；

对C,在AABC中,由A+B<180,则AV180,故cosA>cos（180-8）=-cosB,则

cosA+cosB>0,所以C正确

对D,由,所以c?>«2+〃*,则sin?CAsin?A4-sin2B,

XsinC>sin2C,所以sinC>sin，A+sin，8,故D正确

故选：BCD

5.在dBC中，角4,8,C所对的边外别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

A.若/I>Z?.贝”sinA>sin8

b

B.若则“8C为等腰三角形

cos3cosA

b+c

C.

sinAsinB+s\nC

D.StanA+tanZ?+tanC<0,贝为钝角三角形

【答案】ACD

【分析】利用大边对大角及正弦定理判断A,由正弦定理及三角恒等变换直接求解判断B,由正弦定理判

断C,根据三角恒等变换判断D.

【详解】由1>8可知Ob,再根据正弦定理可得一工=刍，所以sinA>sin8，故A正确；

sinAsinB

由一^=上7及正弦定理可知吗=里,即sin2A=sin25,又4,8e(0,幻

cos5cos4sinBcosA

所以2A=2A或24+26=兀，可知AABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误：

ab+c2/?(sinB+sinC)_______

由正弦定理知，三=2R,.：/”)=2R，故C正确；

sinAsin«+sinCsinB+s\nC

因为tanA+tan3+tanC=tan(A+B)(1—tanAtanB)+tanC

=-tanC(I-tanAtanB)+tanC=tanCtanAumB<0,

又从8,Ce(0,;r),故ABC中有且只有一个角为钝角，故D正谪.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据正弦定理及三角形中内角和，利用三角恒等变换化简是解决问题的关键所在，

属于中档题.

6.在aABC中，内角A,B,C的对边分别是。，〃，。，若。=3,JSsinAcosC+(6sinC+h)cosA=0.

(1)求角A；

(2)若A。为"18C的角平分线，证明：3+±二工.

ACABAD

【答案】(1)A=y；(2)证明见解析.

【分析】(1)逆用三角形的和角的正弦公式，再由正弦定理、三角形的内角性质化简并求出角A.

(2)由角平分线想到用正弦定理表示三角形的面积，三角形面积为A。拆分出来的两个小三角形面积之

和，化简即可.

【详解】(1)解：由GsinAcosC+(6sinC+qcos4=0,得

5/3sinAcosC+>/3sinCeosA+Z?cosA=0,

即、万sin/AcosC+V3sinCcosA+Z?cosA=6sin(A+C)+"cosA=Gsin13+bcosA=0,

由。=3,得以asinB+Z?cosA=0,由正弦定理,得上sinAsin8+sinBcosA=0,又sinBwO,得

33

sinA+\/3cosA=0,

又从£(0,左),Ce(0,7r),如A=],GsinAcosC+(\ZisinC+®cosA=0=>GcosC=0,解得C=',

与三角形三角和为不矛盾，所以4工

所以tan4=_,A=——.

(2)由AO为AA8C的角平分线，得;A8AOsing+：ACA£)sing=；A8ACsin?,所以

ABAD+AC-AD=ABAC,即48+AC=也生所以

AD'ACABAD

7.在△ABC中，A<B<C,且lanA,tan5,lanC均为整数.

(1)求A的大小；

(2)设AC的中点为。，求证：BC=BD.

TT

【答案】(1)A=f；(2)证明见解析.

4

【分析】(1)从角A入手，根据条件确定tanA>0,结合tanA为整数，通过假设法，得到tanA的值，也就

确定了角A大小.

(2)首先利用角8和角。和的正切展开式，确定角8和角C满足的等式，再结合tanB,lanC均为整数，确

定lanB,【anC的值，最后利用解三角形知识证明即可.

【详解】(1)因为A<3<C,所以A为锐角・，则、tanA>0,

若tanA.2,•.•tan巳=G,且产taru:在()日内单调递增，

3L-)

又4<8<C,「.8,C都大于?,与A+B+C=%矛盾，

[…，即A=(

(2)证明：vA=-,/.B+C=—,tan(B+C)=tan—=-1

44'4

/,、八\tan^+tanC,

又„tan(8+C)=----------=-1

1-tan^tanC

即lanBtanC-1=tan8+tanC.

由tan&tanC均为整数，且8vC,lanA=l.

^tanB=l+tanCJ^,tanC3,

tanC-1

可得tanB=2」anC=3,

皿।.n2石「M,r3丽

贝I」sin/?=-------;cos<?=--------,sinC=---------.

51010

设角A,8,C所对的边分别为a,b,c,

abc

由正弦定理;乃sinBsinC,

sin——

4

行勾.2M3收

可得0=---a,c-—^―a

又AC的中点为O,CO=4叵。.

在△BC。中，由余弦定理，得

:.BD=a,即证8C=B£).

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、c,已知2(tanA+tan8)=吗tanB

cosBCOS4

(1)证明：a+b=2c';

（2）求C的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

J

【解析】（1）利用切化弦结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理以及诿导公式化简可证得结论成立；

(2)由a+〃=2r可得出4c・2=/+〃+2a6,结合余弦定可得出cosC=也二妇二竺，利用基本不等式