第06讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)（解析版）

第06讲函数y＝Asin(ωx＋φ)1．简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径一．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1．（1）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】D【分析】先进行周期变换，应将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，可判断A,B;先进行相位变换，应将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，由此判断C,D.【详解】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象,故A,B错误；将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，故C错误，D正确，故选：D【复习指导】：先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．（2）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（

）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.故选：D.【复习指导】：对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位．（3）已知锐角满足．若要得到函数的图象，则可以将函数的图象（

）．A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由可得，代入化简得，即可知如何平移得到.【详解】由知：，即，∴锐角，故，又，∴，故是将向左平移个单位长度得到，故选：A【点睛】关键点点睛：由辅助角公式化简已知条件求锐角，根据的函数式，应用二倍角、诱导公式将化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式.（4）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，则需要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】先根据函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，求得其解析式，然后利用平移变换求解.【详解】因为函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，所以，因为过点，所以，因为，所以，所以，要得到，需要向右平移个单位．故选：A．（5）为得到函数的图象，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式依次判断各个选项即可.【详解】对于A，向左平移个单位得：，A错误；对于B，向左平移个单位得：，B错误；对于C，向右平移个单位得：，C错误；对于D，向右平移个单位得：，D正确.故选：D.（6）将函数的图象沿着x轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的一个可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式、图像变换及偶函数的性质得到，再对四个选项一一验证.【详解】.将其图象沿着x轴向左平移个单位长度，得到.因为为偶函数，所以,解得：.若，解得：，不合题意，故A错误；若，解得：，不合题意，故B错误；若，解得：，不合题意，故C错误；若，解得：，符合题意，故D正确.故选：D【复习指导】：(1)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．(3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化.二．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2．（1）函数其中，的图象的一部分如图所示，，要想得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移2个单位长度【答案】B【分析】根据图象求出函数的解析式，然后根据图象变换关系进行求解即可.【详解】函数的周期，即，得，则，由五点对应法得，得，得，为得到，则只需要将的图象向右平移2个单位，即可得到的图象，故选：B.【复习指导】：若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝eq\f(2π,ω)，确定ω.(3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.（2）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由图可知：,∴，∴经过最高点，∴，故，所以．故选：A．（3）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】由B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，据此可得.将代入解析式，结合可得.【详解】因B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则与图像最高点（最靠近点）连线所对应向量在x轴上的投影为，又A，则A与图像最高点（最靠近点）连线对应向量在x轴上的投影为，故函数最小正周期为，又，则.又因函数图像过点，则，得，又，则，得.综上，有，.故选：A（4）(多选)函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．图象的一条对称轴方程是C．图象的对称中心是，D．函数是偶函数【答案】BD【分析】首先根据题意得到，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.【详解】由函数的图象知：，所以；即，解得，所以，因为，所以，，即，，因为，所以，.对选项A，因为，故A错误.对选项B，，故B正确．对选项C，令，k∈Z，解得，，所以的对称中心是，，故C错误．对选项D，设，则的定义域为R，，所以为偶函数，故D正确.故选：BD（5）（多选）函数，的部分图象如图所示，则（

）A．B．的单调递减区间为，C．D．的单调递减区间为，【答案】ABC【分析】先根据图象，结合已知条件限制求出的解析式即可判断AC，利用整体代入法求单调区间可判断BD【详解】解：由图象可知，所以则，故A正确；又点在图象上，所以，所以，即，又，所以，所以函数，故C正确；令，，即，，所以的单调递减区间为，，故B正确，D不正确，故选：（6）已知函数，，，如图是的部分图象，则______【答案】【分析】化简函数为正弦型函数，根据五点法画图，结合图象过点和求出和的值，求出的解析式，进而得出答案.【详解】．由题图可知，即，由于点在单调递增的区间内，所以，解得，根据题意知，由图象过点，则，解得，故，则．故答案为：．【复习指导】：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求φ.(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．三．三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3．（1）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用图象平移变换法则将的解析式中换成，得到的图象，利用正弦函数对称性由，求得所有对称轴方程，再比较作出判定.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则，由，得，即，，则当时，对称轴为，故选A.【复习指导】：三角函数的图像变换求三角函数的性质，先做变换，注意“左加右减”，再将变换后的函数解析式中的当成一个整体,根据的对称轴求出所有对称轴，再作出判定.（2）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则函数的最小值为（

）A．4 B．－4 C． D．【答案】D【分析】先由恒等变化化简，再结合的最小正周期可得，进而由图象变换得到，即可得到，结合二次函数的性质即可求解【详解】因为的最小正周期为，，所以，所以，所以，又将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，所以，所以，当时，有最小值，且为，故选：D（3）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点【答案】AC【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.【详解】由图可知，所以，又，所以，所以，，，得，，又，得，所以，所以，所以函数的周期为，A正确；由，得，，，取得，，对称中心为，取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.故选：AC．（4）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小值是___________.【答案】【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.【详解】由题意可得：，∵为偶函数，则，∴，又∵，即，则，∴当时，取到最小值为5.故答案为：5.（5）已知函数(其中，)的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）增区间为.【解析】（1）由函数最值求得,由周期得到，再将特殊点代入解析式可求，即可得到函数解析式；（2）由图像变换得到函数解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数在上的单调增区间，对取值即可得当时的单调递增区间.【详解】（1）根据函数(，，)的部分图象，可得，，∴.再根据五点法作图，，∴，∴.（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，对于函数，令，求得，可得的增区间为，.结合，可得增区间为.【复习指导】：(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数．(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．命题点2函数零点(方程根)问题例4．（1）函数在上的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由，数形结合即可得解.【详解】由，得，作出函数在上的图象如图所示，因为，所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.故选：B（2）函数在区间上的零点个数是（）A．3个 B．5个 C．7个 D．9个【答案】A【详解】要算的零点等价于求解方程，只需分别作出和的图像，看其有几个交点，即可得出其有几个零点．如上图，在同一个坐标系中，分别作出和的图像，可以看出和在上有三个交点，所以在上有三个零点．（3）已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求出的范围，然后结合函数图象和零点个数可得：，进而求出.【详解】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，结合函数图象可得：，解得：，的取值范围是故选：C（4）函数的图象向右平移个单位得到函数，且在内没有零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题知，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意得，在内没有零点，满足，所以，即故选：B．（5）已知函数在上有且仅有2个零点，则整数的值为________．【答案】1【分析】根据的取值范围，求得的取值范围，结合余弦函数的零点列不等式，由此求得的取值范围，即得.【详解】依题意，.由得，要使函数在有且只有个零点，则需，即，所以整数的值为1.故答案为：1（6）已知定义在R上的偶函数满足，且时，，则函数在上的图象与x轴交点的横坐标之和为______．【答案】－6【分析】根据函数周期性，由，可得函数的周期为2，根据函数与方程的关系，可作函数与图象，根据交点可得答案.【详解】函数的图象与x轴交点的横坐标，即函数与图象交点的横坐标．由，可得函数的周期为2．又是定义在R上的偶函数，且当时，，作出函数与的图象，如图所示．函数与函数具有相同的对称轴，所以函数在区间上的图象与x轴交点的横坐标之和为．故答案为：－6.【复习指导】：在求解函数零点和的问题时，一般将问题转化为两个函数的交点问题，结合图象的对称性来求解.命题点3三角函数模型例5．（1）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2,0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.=1\*GB3①求t＝eq\f(π,4)时，A，B两点间的距离；=2\*GB3②若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y的取值范围．【详解】=1\*GB3①连接AB，OA，OB(图略)，当t＝eq\f(π,4)时，∠xOA＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)，∠xOB＝eq\f(π,2)，所以∠AOB＝eq\f(2π,3).又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos

eq\f(2π,3)＝7，即A，B两点间的距离为eq\r(7).=2\*GB3②依题意，y1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，y2＝－2sin2t，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))－2sin2t＝eq\f(\r(3),2)cos2t－eq\f(3,2)sin2t＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，即函数关系式为y＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))(t>0)，当t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2t＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，故当t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),2))).（2）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<ω<\f(π,2)，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，A(0，eq\r(3))，C(2,0)，并且AB∥x轴．=1\*GB3①求ω和φ的值；=2\*GB3②求cos∠ACB的值．【详解】=1\*GB3①由已知得f(0)＝2sinφ＝eq\r(3)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))).因为f(2)＝0，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ω＋\f(π,3)))＝0，所以2ω＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得ω＝eq\f(k,2)π－eq\f(π,6)，k∈Z，而0<ω<eq\f(π,2)，所以ω＝eq\f(π,3).=2\*GB3②由=1\*GB3①知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))，令f(x)＝eq\r(3)，得eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)或eq\f(π,3)x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z.由题图可知，B(1，eq\r(3))．所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3))，所以|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2，所以cos∠ACB＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))·\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))||\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,2\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).【复习指导】：(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．1．为了得到函数图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】C【分析】逆用两角差的正弦公式将化为一个角的三角函数，再根据平移法则判断即可.【详解】，故将其向左平移个长度单位可得故选：C【点睛】方法点睛：解决此类问题的方法是将原函数化为与目标函数同名的一个角的三角函数，再根据三角函数图象的变换法则求解.2．已知函数，，是常数，，，的部分图象如图所示.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变【答案】D【解析】先根据函数图象求出函数的解析式，由三角函数图象的变换即可求解.【详解】由图可知，，所以，即，解得.当时，,所以又，所以.所以.将的图象先向左平移个单位长度，得到，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到.故选：D【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．3．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据是奇函数可求得，利用诱导公式得，即可得出结果.【详解】因为是奇函数，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以可把函数的图象向右平移个单位长度.故选：D.4．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数其中，的图象过点，，可得，，解得：．再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变【答案】A【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角图象变换可得出结论.【详解】设，由图可知，，函数的最小正周期为，则，，且函数在附近单调递减，所以，，所以，，所以，，其中，因此，为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选：A.6．要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】由三角函数的图象平移和诱导公式可得选项.【详解】解：将的图象向左平移个单位长度.可得的图象.故选：B.7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】先通过诱导公式统一两个三角函数的名称，进而根据三角函数图象变换的性质求得答案.【详解】由题意，，函数，则，所以函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，因为函数的周期为，所以向左应该平移个单位.故选：B.8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C【分析】化简函数，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.【详解】依题意，故只需将函数的图象向左平移个单位.所以选C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.9．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【分析】根据图象平移前后的函数解析式，结合诱导公式，写出平移过程即可【详解】将向右平移个单位得到.故选：C.10．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过函数的定义域判断选项C，通过函数的奇偶性判断选项B，当时，通过函数的正负判断选项A，即可得出结果.【详解】因为，所以的定义域为，则，故排除C；而，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；当时，，，所以排除A．故选：D．11．函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，时，即，此时只能是；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.【详解】函数的定义域为，因为，并且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除；当时，即，此时只能是，而的根是，可排除.故选:【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.12．已知函数的图像关于轴对称，则函数的图像可由函数的图像（

）A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到【答案】B【分析】根据函数图像关于轴对称求出，进而化简函数表达式，最后根据图像平移的特点即可得出答案.【详解】的图像关于轴对称，，，，，的图像可由的图像向右平移个单位长度得到.故选:B13．若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】由条件先求函数的解析式，再化为同名函数，再按照平移变换规律求解【详解】解：函数图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，所以，所以.因为函数在时取得最小值，所以，，∴

，∵∴∴根据平移变换规律可知，向左平移个单位，可得函数，所以向左平移个单位可得的图象，故选：D.14．函数的图象如图所示，则以下结论不正确的是（

）A．B．C．在上的零点之和为D．最大值点到相邻的最小值点的距离为【答案】D【分析】根据函数的图象求出所以选项A正确；恒成立，所以选项B正确；求出所以选项C正确；求出最大值点到相邻得最小值点的距离为所以选项D错误.【详解】，，所以选项A正确；恒成立，所以选项B正确；，则，则时时，时，，所以选项C正确；最大值点到相邻得最小值点的距离为所以选项D错误.故选：D.15．已知函数的图象如图所示．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由五点法列出方程组，结合的范围求解即可.【详解】由图可知，解得.故选：B16．函数的部分图象如图所示，若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】数形结合求得的解析式，再根据已知条件求得，结合正弦的差角公式即可求得结果.【详解】由图可知，的最小值为，又，故可得；又，故可得，又，故可得；由五点作图可知，，故可得满足题，则；若，且，即，又，故，则，故.故选：C.17．如图是函数的部分图象，则不可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图像，先由周期求得，再由点代入求得，从而得到的解析式，再利用诱导公式对选项逐一分析检验即可.【详解】由图象知函数的周期，即，即，所以，又点在上，所以，则，，得，，由，得，故，对于A，，故A不满足题意；对于B，，故B不满足题意；对于C，，故C不满足题意；对于D，，故D满足题意．故选：D．18．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，由是函数的最大值点，即可求出.【详解】由题意知，函数的最小正周期为，因为函数在上单调，且恒成立，所以，即，解得，又是函数的最大值点，是函数的最小值点，所以，又，解得.故选：D.19．已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.【详解】由题意可知，将函数图象上的点向右平移个单位长度，可得的图象与轴负半轴的第一个交点为，因为的图象与轴正半轴的第一个交点为，所以，得，则，又，所以，由知，，则，，故.故选：C.20．将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（

）A．图象的一条对称轴为 B．图象的一个对称中心为C．的最小正周期 D．在区间上为增函数【答案】D【分析】根据图象变换得到，然后求对称轴、对称中心、最小正周期和单调区间即可.【详解】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，所以函数的最小正周期为，故C项错误；由，，得的图象的对称轴为，，当时，得，故A项错误；由，，得，，即图象的对称中心为，，当时，得，故B项错误；由，，得，，当时，得，即为的增区间，故D正确.故选：D．21．已知函数的图象按向量平移后对应的函数为，若在上单调，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再按向量平移后得到，然后利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】因为函数，函数图象按向量平移后得到，当，则，因为在上单调，由正弦函数的单调可知：或要使最小，则取0，故有或，解得：或，综上，的最小值为，故选：A.22．设函数，给出下列结论：①若，，则；②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；④，在上单调递增.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据二倍角公式化简得，根据最值与周期的关系可判断①,根据平移可判断②，根据零点问题可判断③,根据整体法验证可判断④.【详解】因为，所以的最小正周期为.对于①，因为，故分别为最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①错误；对于②，图象变换后所得函数为，若其图象关于原点对称，则，，解得，，当时，，故②正确；对于③，当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故③正确；对于④，当时，，因为，所以，，所以在上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.故选：C23．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，假设函数在上有零点，令，得，，得，，则，得，，又，所以或，又函数在上有零点，且，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.24．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，若方程在有且仅有两个不相等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，根据函数的奇偶性求得，可得的解析式，再利用函数的图像变换规律，可得的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，求得实数的取值范围．【详解】是偶函数，则，，，故，．若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，∴，当，则，若方程在有且仅有两个不相等实根，则有，解得，则实数的取值范围是.故选：B25．已知函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出，数形结合得到，求出的取值范围.【详解】因为，当时，，又区间上恰有3个极值点，2个零点，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.26．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．故选：D．27．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．【详解】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，，如图：①当，则，得无解；②当，则，求得；③当时，则，求得；④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；综上，可得或；故选：D.28．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据题意可知函数周期为，利用周期公式求出，计算即可求值.【详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线所得的线段长为知，，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题.29．函数在区间上的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】作出函数和函数在区间上的图象，数形结合可得出结果.【详解】由可得，则函数在区间上的零点个数即为函数和函数在区间上的图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，函数和函数在区间上的图象有两个交点.因此，函数在区间上的零点个数为.故选：B.【点睛】利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．30．设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】推导出函数是周期为的周期函数，作出函数与函数在区间上的图象，结合对称性可求得函数在区间上所有零点之和.【详解】由于函数的定义域为，，，所以，，则函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称.对于函数，，所以，函数的图象关于直线对称.令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和.作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由大到小依次为、、、、、、，由图象可得，且，因此，函数在区间上的所有零点的和为.故选：A.31．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简可得，根据x的范围，可求得的范围，根据题意，分析可得，计算即可得答案.【详解】由题意得，因为，所以，因为有且只有1个最低点，所以，解得.故选：D32．（多选）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．先向左平移个单位，再将每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位【答案】BD【分析】根据函数图象平移与伸缩变换的规律方法对选项一一判断即可得出结果．【详解】对A，将的图象上的点向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，故A错；对B，向左平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到，故B正确；对C，将横坐标缩短到原来的得到的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到的图象，故C错误；对D，将横坐标缩短到原来的得到的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到的图象，故D正确；故选：BD33．(多选)已知曲线:，:，则下面结论正确的是（

）A．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线B．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】AD【分析】根据三角函数图像平移和伸缩变换的规则,逐项验证即可.【详解】把向左平移个单位长度，得到的图像，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，故A正确，B不正确.:，把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到的图像，故C不正确，D正确.故选：AD.34．（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的取值范围是【答案】AC【分析】由图得、，点在图象上求得及的解析式可判断A；根据图象平移规律可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据的范围求得可判断D.【详解】由图得，所以，，所以，因为点在图象上，所以，，因为，所以，可得，故A正确；对于B，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故B错误；对于C，由得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，时，，所以，函数在区间上的取值范围是，故D错误.故选：AC.35．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.【答案】②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.【详解】①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.36．已知函数的图象如图所示，则___________.【答案】【分析】由图像最高点纵坐标可求得A，由图可得最小正周期为4，继而可求出.又由，结合，可得.【详解】由题，，由图得图像最高点纵坐标为3，故A=3.由图得最小正周期为4，则，又，故.又由图可得，即，又得，.结合，得时符合条件，此时.综上：.故答案为：37．函数的相邻两个周期的图象与直线及围成的图形的面积是_______【答案】【分析】根据题意，做出图形，由正切函数的对称性割补图形进而求得围成的面积．【详解】由题意，画出图像如下图所示根据正切函数的对称性可知，两个阴影部分的面积相等，因此由的相邻两个周期的图像与直线及围成的图形的面积可以看成ABCD组成的矩形的面积因而【点睛】本题考查了正切函数的图像及其性质的简单应用，属于中档题．38．已知、是函数图象与直线的两个不同的交点.若的最小值是，则___________.【答案】【分析】令，作出余弦函数的图象，设、的横坐标为、，设，，可得出的最小值为，结合题意可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】由于、是函数的图象与直线的两个不同的交点，故、的横坐标是方程的解，即、的横坐标、（不妨令）是方程的解，设，作出函数的图象如下图所示：设，，当取最小值时，取得最小值，即，解得.故答案为：.39．函数的部分图像如图所示，则______.【答案】2.【解析】由正切函数性质求得两点的坐标，然后计算数量积．【详解】，，，，最小的正整数为，，，，，，最小的正整数为，，，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是由正切函数性质求出两点坐标，然后计算．40．已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．故答案为：．41．已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．【答案】2【解析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为，可得，根据函数的图象可知，解得即可得解.【详解】因为函数为偶函数，且有且仅有3个零点，所以必有一个零点为，所以，得，所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点，因为函数的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出是解题关键.42．已知函数在上恰有3个零点.给出下列4个结论：①，②在上单调递减，③在上恰有2个极值点，④函数在上最多有3个零点.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②④【分析】对于①：根据零点个数列不等式求的范围；对于②：求出范围，再根据函数来判断来判断；对于③：求出极值点，再根据的取值逐一验证；对于④：求出零点，再根据的取值逐一验证.【详解】对于①：，则因为函数在上恰有3个零点，解得，①错误；对于②：当时，加上，有，函数在上单调递减，故在上单调递减，②正确；对于③：令，得，当时，，当时，当时，，当，，故在上可能有3个极值点，故③错误；对于④：，则，，，当时，函数在上有2个零点；当时，函数在上有1个零点；当时，函数在上有2个零点；当时，函数在上有3个零点；故函数在上最多有3个零点，故④正确故答案为：②④43．已知函数，其图象向左平移个单位长度后，关于轴对称．(1)求函数的表达式；(2)说明其图象是由的图象经过怎样的变换得到的．【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式；（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.【详解】(1)解：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为．因为图象平移后关于轴对称，所以，所以．因为，所以，所以．(2)解：将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），即得函数的图象．44．已知函数部分图象如图所示．(1)求函数的解析式．(2)设函数在区间上有两个不同的零点，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）结合五点法作图，由最大值得，由周期得，代入点的坐标得，即可得函数解析式；（2）由题意知和的图象有两个不同交点，作出函数在上的图象，确定的范围，结合函数的对称性，求得的值，即得的值．【详解】（1）由图可知：，，，，，代入点，，根据五点法作图，得，，，，．（2）函数在区间上有两个不同的零点，即和的图象有两个不同交点，作出函数在上的图象，其中，，，，由图可知，不妨设，则关于直线对称，故，所以．45．如图是函数，，的部分图象.(1)求的解析式；(2)求的