《二项式定理》课件3套

二项式定理展开式有几项？每一项是怎样构成的？

的展开式是什么？问题1:

展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2:多项式乘法的再认识复习回顾探究的展开式.……①项：②系数：探究1推导的展开式.个①项：②系数：探究1推导的展开式.①项：②系数：探究1推导的展开式.①项：②系数：探究1推导的展开式.个③

展开式：猜想探究2仿照上述过程,推导的展开式.①项：②系数：探究3：请分析的展开过程LL③展开式：④二项展开式的通项:③二项式系数:①项数：②次数：共有n＋1项

各项的次数都等于n，

字母a的次数按降幂排列，次数由n递减到0,

字母b的次数按升幂排列，次数由0递增到n

.二项式定理

的二项展开式二项式定理的再认识

例1：求的展开式．思考3：你能否直接求出展开式的第３项？

思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？应用举例

解:直接展开例1：求的展开式．先化简后展开例1：求的展开式．解:例2求的展开式的第4项的二项式系数和系数。应用举例

例3.求展开式中含的项，并说明它是展开式的第几项？1.求的展开式中的系数是（）实战演练A.42

B.35C.28D.21D2.展开式中的常数项为（）A.80B.-80C.40D.-40C3.（）CA.1B.-1C.D.思维拓展在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4项的系数是()求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.A.-15B.85C.-120D.274A思考题（3）二项展开式的通项：1.二项式定理：2.二项式定理的简单应用课堂小结（2）二项式系数：（2）利用通项公式求特定项及特定项的系数（1）二项式定理的结构特征（1）二项式定理的正用和逆用（3）注意区分项的系数和二项式系数二项式定理探究请你求出(a+b)2，(a+b)3的展开式二项式定理研究的是的展开式.(a+b)2＝

a2+2ab+b2(a+b)3＝

？

＝a3

＋3a2b

＋3

ab2

＋b3取0个b,则a3前的系数为取1个b，则a2b前的系数为取2个b，则ab2前的系数为取3个b，则b3前的系数为(a+b)3＝

a3

＋

a2b

＋

ab2

＋

b3(a+b)3＝

(a+b)(a+b)(a+b)＝？二项式定理取0个b,则an前的系数为取1个b，则an-1b前的系数为取2个b，则an-2b2前的系数为......取r个b，则an-rbr前的系数为......取n个b，则bn前的系数为？二项式定理右边的多项式叫做的二项展开式通项：二项式系数：（牛顿二项公式）注①二项展开式共有项；②的指数从起依次减小1，到0为止；的指数从0起依次增加1，到为止；③各项中，的指数和为.例1

解法一：直接利用二项式定理展开

应用

一利用的二项展开式解题例1

解法二：先化简，再利用二项式定理展开

应用

一利用的二项展开式解题对于较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.练习化简：

求的展开式.练习例2

求

的展开式的第4项的二项式系数和系数.

应用

二利用通项求特定项或特定项的系数

系数为

-56二项式系数为解：变式1

应用

二利用通项求特定项或特定项的系数分析:

先求出

是展开式的哪一项,再代入通项公式求它的系数.若二项展开式的通项为，则为常数项.变式2

练习

.

-2解析解析A.10B.20C.40D.80C

.-252配套练习

.8答案A.15B.20C.30D.35C1.求的展开式中项的系数思考2.今天是周三，那么天后是周几？小结1.二项式定理：2.通项：3.应用：（1）利用二项式定理展开；

（2）掌握通项公式求特定项与项的系数、二项式系数.二项式系数：4.注意：（1）二项展开式的特征；（2）区分二项式系数与系数.应用了转化与化归思想1.求的展开式中项的系数思考2.今天是周三，那么天后是周几？作业：（A本）课本第37页习题1.3A组

3（1），4（2），5二项式定理导入新课先看下面的问题

若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3观察

对于(a+b)4，(a+b)5

如何展开?(a+b)100又怎么办？(a+b)n(n∈N+)呢？

我们知道，事物之间或多或少存在着规律.这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性.规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a•a+a•b+b•a+b•b=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4；(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3；(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.1二项式定理

知识要点

如何证明上述猜想呢？证明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.

因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，…，n）的形式.

对于某个k（），对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定.

因此，an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数.这样，(a+b)n的展开式中，an-kbk共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：对二项式定理的理解

（1）它有n+1项;

（2）各项的次数都等于二项式的次数n;

（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.知识要点2二项式系数我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数()叫做二项式系数（binomialcoefficient）.3通项

式中的叫做二项展开式的通项，用Tk+1

表示，即通项为展开式的第k+1项：对通项的理解

（1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，…，n;

（2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式;

（3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形.例题1用二项式定理展开下列各式：思考（1）如何求展开式中的第三项？（2）如何求展开式中第三项的系数？方法（1）用定理展开，再找指定项；（2）用通项公式.解:（2）先将原式化简，再展开，得例题21.的展开式中，第五项是……（）

A.B.C.D.2.的展开式中，不含a的项是第（）

A.7项B.8项C.9项D.6项

要解答上题必须熟记二项式定理上题答案：

(1)B(2)A例题3求近似值（精确到0.001）（1）(0.997)3（2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6

类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.例题4

4.求二项式的展开式中的有理项.分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：课堂小结1.二项式定理

二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明.2.二项式定理的特点

(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式

(2)系数

(3)指数：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.1.（2018年安徽、河北卷）在的展开式中，常数项是______.

A.14 B.－14 C.42D.－42

高考链接解析：

则k=6，故展开式中的常数项是,选答案A.令2.（2018年全国）在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_______.-1/2解析：课堂练习1.填空（1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_____.（2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为______.1.179-210

2.选择（1）(i)12展开式中所有奇数项的和是()A.-1 B.1