近十年黑龙江省中考数学真题及答案2025

2025年黑龙江中考数学试题及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（

）A． B． C． D．5．为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（

）A． B． C． D．6．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（

）A． B． C．或 D．且7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（

）A． B． C． D．8．神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种9．如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（

）A． B． C． D．10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题3分，满分21分）11．中国年水资源总量约为亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将用科学记数法表示为．12．若代数式有意义，则实数的取值范围是．13．若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为度．14．如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为．16．等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为．17．利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（1）计算：（2）分解因式：19．解方程：20．国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：__________；(2)请补全条形统计图；(3)扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为__________度；(4)若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？21．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若点B是的中点，且，求的半径．22．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：(1)A，C两区相距__________米，__________；(2)求线段所在直线的函数解析式；(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）23．综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；(3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；(4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．24．综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标；(3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________；(4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________．1．B【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负．【详解】解：∵收入元记作元，∴支出元记作元．故选：B．2．D【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选D．3．A【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的除法运算、单项式乘单项式运算、完全平方公式逐项计算，即可判断．【详解】解：A.，故选项计算正确，符合题意；B.，故选项计算错误，不符合题意；C.，故选项计算错误，不符合题意；D.，故选项计算错误，不符合题意；故选：A．4．C【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∴，故选：C5．A【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．【详解】解：从上面看下来，看到的图形是，即为俯视图，故选A．6．C【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【详解】解：方程去分母，得：，整理，得：；∵原方程无解，∴①整式方程无解，则：，解得：；②分式方程有增根，则：，解得：；把代入，得：，解得：；综上：或故选C．7．D【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算．【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为；故选：D．8．B【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可．【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得：，∴，∵x、y均为正整数，∴当时，；当时，；当时，；当时，．∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．故选B．9．A【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．【详解】解：当点E在上时，如图，，，，，，，此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在上且l与相交时，作，如图，，，，，，，此时图象为直线一部分；当点E在上且l与相交时，如图，，，，，，，此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；故选A．【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．10．B【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵对称轴在轴的右侧，∴，∴，∵抛物线与轴交于负半轴，∴，∴，故①正确，∵二次函数的图象过，∴，∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．∴对称轴，即，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，故③错误；④如图，关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，∵，∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，∴，∴，，∴，，∴可化为，即，∵，∴，解得：或，∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误故正确的有①②④，共3个，故选：B11．【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：将数据用科学记数法表示为；故答案为：．12．且【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．【详解】解：∵代数式有意义，∴且，∴且．故答案为：且．13．160【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算．【详解】解：根据弧长的公式得到：，解得．即侧面展开图的圆心角为160度．故答案为：160．14．【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，由作图可知，垂直平分，∴，∵点N恰为的中点，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．15．【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．【详解】解：当时，，解得，∴点B的坐标为，∵点C坐标为，∴，设点A坐标为，∴∵，∴，∴，解得（不合题意，舍去）∴，∴点A坐标为，∴，解得，故答案为：16．或【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；②当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得．【详解】解：当为锐角时，如图，根据题意得，∵，∴设，则，∵，∴，即，解得，∴，，由折叠得，∴；∴，过点作于点，则，∴，∴，即，∴∴，∴；当为钝角时，如图，过点作于点，则，∴，同（1）可得，，∴，同理可得∴；综上所述，的面积为或．故答案为：或．17．【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可．【详解】解：根据题意可知：，，，，……，∵点，，作弧为第1条弧，点，，作弧为第2条弧，……，∴组成第2025条弧，∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为，∴，∵，，，，……，,∴12次操作循环一周，∵，∴，过点作轴于点M，如图所示：∴，∴，，∴，∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为．故答案为：．18．（1）；（2）【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键．19．，【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．【详解】解：，，，或，∴，20．(1)24(2)见解析(3)(4)960人【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，样本估计总体等知识，读懂题意，准确计算是关键．（1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可；（2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可；（3）用乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生数的百分比即可得到答案；（4）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案．【详解】（1）解：随机抽取部分学生的总人数为（人），∴，即，故答案为：（2）随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），补全条形统计图如下：（3）“足球”对应扇形的圆心角为，故答案为：（4）（人）答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人．21．(1)见解析(2)【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证；（2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．【详解】（1）证明：连接，是的直径，，，，，即，．为的半径，是的切线．（2）解：点B是的中点，．，．，．又，．．在中．．即半径为．22．(1)(2)(3)7分或11分或13分【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．（1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a；（2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解；（3）由题意可分三种情况分别进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米），由题意可知，表示甲到达B区的时间，则，故答案为：（2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区，∴点E的横坐标为，∴，设直线的解析式为，把，代入得到，，解得：，∴线段所在直线的函数解析式为：；（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到，，解得：，∴线段所在直线的函数解析式为：；则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．23．(1)相等（或）；相等（或）(2)见解析(3)(4)【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解；（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证；（3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解．（4）连接交于点，证明得出，当时，取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）；∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，∵，∴，即又∵，∴∴；故答案为：相等（或）；相等（或）．（2）证明：∵四边形是正方形∴，∵绕点逆时针旋转得到线段，∴∵，∴即∴∴，∵∴∴∴四边形是矩形又∵∴四边形是正方形；（3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段，∴∵，∴∵四边形是矩形，，，∴，∴∴∵，∴即∴∴∵∴∴∴四边形是矩形，如图，连接交于点，连接∵是的中点，在中，∴∴共圆，∴，∵∴∴，在中，∴∵，在中，∴，∵∴又∴∴，即∴∴∴∴故答案为：．（4）解：如图，连接交于点，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴∴∴是等边三角形，则∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，∴∴，即又∴，∴∴在上运动，且∴当时，取得最小值，∵∴又∵∴∴当时，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．24．(1)(2)，(3)(4)【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式；（2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标；（3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标；（4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，∴，解得，，∴抛物线的解析式为（2）解：作，交轴于点，连接，∵，∴，∴，∵点，∴，∴，∵抛物线与轴交于点，当时，，∴，∴，∴，∴，设所在直线的解析式为，∵，，∴，解得，，∴所在直线的解析式为，∵，，∴所在直线的解析式为，又∵点在抛物线上，∴，解得，，，∴，（3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形，∴，∵点是第四象限内抛物线上的一点，，∴点为延长线与抛物线的交点，由旋转可知，，，，，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，设所在直线的解析式为，则，解得，，∴所在直线的解析式为，由得，或，∵点在第四象限，∴点的横坐标为正数，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴故答案为：（4）解：如图，连接，交于点，连接，∵点和点关于轴对称，点在轴上，，∴点在轴上，，∵过点，且平行于轴，，∴，又∵于点，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，根据题意可知，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，作于点，则，∴，∴，，∴，∴，取中点记为，连接，则又∵，∴，∴，∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值，作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形，∴，，∵，点为的中点，∴，∴，∴，∴，当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值，∵，∴，∴的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．

2024年黑龙江中考数学试题及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意；B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意；C、，此选项计算正确，符合题意；D、，故选项D计算错误，此选项不符合题意；故选：C．2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：方差为：故选：D．5.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，即，解得：，取值范围是且．故选：D．6.已知关于x的分式方程无解，则k的值为（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，，整理得，，当时，方程无解，当时，令，解得，所以关于x的分式方程无解时，或．故选：A．7.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔，依题意得：，．又，均为正整数，或或或，共有4种不同的购买方案．故选：B．8.如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．【详解】如图，过点A作，垂足为F，设，，∵轴，，∴轴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：A．9.如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，．【详解】解：连接，如图，∵菱形中，与互相垂直平分，又∵点是的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故选：C．10.如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】连接，可得，垂直平分，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据垂直平分，结合互余可证明，即有，则可判断②正确；证明，即有，可判断④；根据相似有，根据可得，再证明，可得，即可判断⑤；根据点H是的中点，设，即求出，同理可证明，可得，即可得，进而可判断③．【详解】连接，如图，∵四边形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴点B、H、D、F四点共圆，∴，，∴，故①正确，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点G是的中点，故②正确，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正确，∴，若，则，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤错误，如图，③若点H是的中点，设，即，∴，∴，同理可证明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11.国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．【详解】亿，亿故答案为：12.在函数中，自变量x的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，，且，解得，，故答案为：．13.已知菱形中对角线相交于点O，添加条件_________________可使菱形成为正方形．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的条件为：或．14.七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，故答案为：．15.关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由，得：，由，得：，不等式组恰有3个整数解，这3个整数解是0，1，2，，解得，故答案为：．16.如图，内接于，是直径，若，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵内接于，是直径，∴，∵,，∴∴，故答案为：．17.若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：，可得解得：，，解得，侧面展开图的圆心角是．故答案为：．18.如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时B、P、M三点的位置关系．取的中点M，连接、，利用解三角形求出，利用三角形中位线定理推出，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值．【详解】解：取的中点M，连接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分别是的中点，∴．如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值，最大值为，故答案为：．19.矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点（点P不与点B重合），点的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为________．【答案】或或10【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出即可．【详解】解：①点的对称点落在矩形对角线上，如图1，∵在矩形中，，，由折叠性质可知：，∴∴∴，∴∴；②点的对称点落在矩形对角线上，如图2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折叠性质可知：，，∴∴；③点的对称点落在矩形对角线延长线上，如图3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折叠性质可知：，，∴∴；综上所述：则长为或或10．故答案为：或或10．20.如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解：正方形顶点M的坐标为，,是等边三角形，点B坐标是，等边三角形高为，由题知，的坐标是；的坐标是；的坐标是；继续滚动有，的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，，的坐标与的坐标一样为，故答案为：．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式，当时原式．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；（2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析，（3）【解析】【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出．【小问1详解】解：如图，为所求；点的坐标为，小问2详解】如图，为所求；，【小问3详解】，点B旋转到点的过程中所经过的路径长．23.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，点P的坐标是，的面积最大值是【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：（1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；（2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：将，代入得，解得：【小问2详解】解：对于，令则解得，，∴，∴∵，∴，过点P作轴于点E，如图，设，且点P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm）频数A3BmC20D14E5（1）频数分布表中，扇形统计图中．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【小问1详解】解：被抽取的学生数为：(人)故（人），，即，故答案为：，；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，，，把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，答案为：C；【小问3详解】解：（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有人．25.甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车的速度是；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】（1）30，40（2）的函数解析式是（3）经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．【小问1详解】解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，∴乙货车速度，故答案为：30；40【小问2详解】甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点设∴解得：，∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式【小问3详解】设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：，解得：,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，解得：，③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，解得：，答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．26.已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：证明：∵∴是等边三角形，∴，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得图③的结论是：证明：以点B顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元（2）共有3种购买方案（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：，解得：，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；【小问2详解】解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个．由题意得：，解得：，和均为正整数，，62，64，，7，4，共有3种购买方案．【小问3详解】设商家获得总利润为y元，，，，随x的增大而减小，当时，，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．28.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A的坐标为（2）（3）存在，，，，【解析】【分析】（1）运用因式分解法解方程求出的长，根据等边三角形的性质得出，过点A作轴，垂足为C，求出的长即可；（2）分，和三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（3）当时求出，得，分为边和对角线两种情况可得点N的坐标；当和时不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形【小问1详解】解：，解得，的长度是的根，∵是等边三角形，∴，过点A作轴，垂足为C，在中，∴，∴点A的坐标为【小问2详解】解：当时．过P作轴，垂足为点D，∴，，∴∴，；当时，过Q作，垂足为点E∵∴又∴，又，当时，过O作，垂足为F∴，同理可得，，∴；综上所述【小问3详解】解：当时，解得，∴，过点P作轴于点G，则∴∴点P的坐标为；当为边时，将沿轴向下平移4个单位得，此时，四边形是菱形；将沿轴向上平移4个单位得，此时，四边形是菱形；如图，作点P关于y轴的对称点，当时，四边形是菱形；当为对角线时，设的中点为T，过点T作，交y轴于点M，延长到,使连接,过点作轴于点，则∴∴,即，解得，,∴，∴；当，解得，，不符合题意，此情况不存；当时，解得，，不符合题意，此情况不存在；综上，点N的坐标为，，，【点睛】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键

2023年黑龙江中考数学真题及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（）A. B.5 C.和5 D.1和35.如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（）A. B. C.或 D.6.已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且7.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种8.如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（）A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）A. B. C. D.10.如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（）A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③ D.①②⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．12.函数y=中，自变量x的取值范围是____________．13.如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形是正方形（填一个即可）14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．15.关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．16.如图，是直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________．17.已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________．18.在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________．19.矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是__________．20.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是__________．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．22.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．（2）请画出关于轴对称的．（3）将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．23.如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________；（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．25.已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中的值是__________；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．26.如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．28.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线的解析式．（2）连接，求的面积S与运动时间t的函数关系式．（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】或【14题答案】【答案】##0.6【15题答案】【答案】##【16题答案】【答案】34【17题答案】【答案】12【18题答案】【答案】##【19题答案】【答案】6或或【20题答案】【答案】三、解答题（满分60分）【21题答案】【答案】，原式【22题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【23题答案】【答案】（1）（2）存在，点的坐标为或【24题答案】【答案】（1）40（2）见解析（3）（4）220人【25题答案】【答案】（1）120（2）（3）或【26题答案】【答案】图②中，图③中，证明见解析【27题答案】【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）一共有六种购买方案（3）【28题答案】【答案】（1）；（2）；（3）存在，点Q的坐标是或．

2022年黑龙江中考数学真题及答案一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算中，计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A.181 B.175 C.176 D.175.5【答案】D4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8 B.10 C.7 D.9【答案】B6.已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】C7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D9.如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（）A.2.5 B.2 C.3.5 D.3【答案】A10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）

A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】B二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．【答案】12.函数中自变量的取值范围是______．【答案】13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．

【答案】OB=OD（答案不唯一）14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．【答案】15.若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．【答案】16.如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．【答案】17.若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm．【答案】18.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．【答案】19.在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为________．【答案】或或620.如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．【答案】三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】，22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点旋转到点所经过的路径长为23.如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，，24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：B组：C组：D组：E组：根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D组所对应的扇形圆心角度数为（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人25.为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；（2）求乙车返回过程中，乙车离A市距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．【答案】（1）10060（2）（3）3，6.3，9.126.和都是等边三角形．（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】（1）证明见解析（2）图②结论：，证明见解析（3）图③结论：27.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】（1）购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元（2）有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．（1）求点C的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C坐标为（2）（3）存在点P或或，使是等腰三角形

2021年黑龙江中考数学真题及答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）1.在，，，这四个数中，整数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．【详解】解：选项A：是无理数，不符合题意；选项B：是分数，不符合题意；选项C：是负整数，符合题意；选项D：是分数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选A．点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．3.北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为().A.72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D.0.72×106【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列说法正确的是（）A. B.若取最小值，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．【详解】解：A．当时，，故该项错误；B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；C．∵，∴，，∴，故该项错误；D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．5.已知，则分式与的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．6.已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（）A.一，二，三象限 B.一，二，四象限C.一，三，四象限 D.二，三，四象限【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小，∴，∴的图像经过第一，二，四象限，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：故选：B．【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养