广东省深圳市盐田高级中学2026届高三上学期数学周三测试试卷23 附解析

/深圳市盐田高级中学2026届元月高三数学周三测试卷（23）一、单选题1.设集合，，则（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由并集定义可直接得到结果.【详解】由并集定义知：.故选：D.2.复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解.【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.设为非零实数，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】对取特殊值并对充分性、必要性分别判断即可得出结论.【详解】当时，若取，但此时不成立，即充分性不成立；当时，若取，但此时不成立，即必要性不成立.因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D4.已知为实数，向量，，，若，则（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用向量坐标及向量垂直关系建立方程求参数.【详解】由，，得，又，则有，即，解得或,故选:D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可.【详解】由三角函数线知识可知，当时，，故.令，则故在上单调递减，则.故，即，故.综上，.故选：A.6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第段圆弧半径为，弧长记为，则，所以.故选：D．7.已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由轴，得到，根据，得到所以，结合，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】因为轴，所以，又因为，所以，可得得，所以，因为，所以，得.故选：A.8.已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：由得，由导数性质得由题意得且由此能求出的取值范围．详解：∵函数，，，由得x=1，

时，时，，

∴∵在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，

，①

②

联立①②，得．

故选D．点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二、多选题9.分别是等差数列的前项和，则（）A.是等差数列B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解．【详解】设等差数列的公差分别为，则，所以是等差数列，A正确；，故B错误；设，则，又，所以.可设，所以，所以，故C正确；成等差数列，又，所以，所以，故D错误.故选：AC10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】利用三角函数的周期性来判断ACD，利用正弦函数的单调性来判断B.【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确.选项B：当时，，所以在上不单调，B错误.选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确.选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误.故选：AC.11.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（）A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值B.存在这样的点，使得C.当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为D.当时，点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断.【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，，故四棱锥的体积，所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确；对于选项B，因为，而，因此点是的中点，所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误；对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在中，由，可得；②当点在上底面上时，过点作平面的垂线，垂足为，若，必有，又由，有，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点的轨迹长度为；③当点在侧面上时，点在线段上符合题意，此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确；对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，则点的轨迹与底面的交线长为；②当点在侧面上时，，可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为．由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.三、填空题12.的展开式中的系数为______________．【答案】【解析】【分析】将展开得到，再找出展开式的含的项和含的项即可.【详解】将展开得到，只需要找出展开式的含的项和含的项即可.结合二项式定理分析得到的展开式含的项如下，为，则展开式中的系数为.故答案为：30.13.已知双曲线的右顶点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率之积为，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】取双曲线的左顶点为，利用对称性得出，斜率之积为，因此可得，再由离心率定义计算可得结果.【详解】设双曲线的左顶点为，连接，如下图所示：因为为关于轴的对称点，所以斜率与斜率互为相反数，设，易知，由题意可知，斜率之积为，即，可得；又，得到，因此；所以，即双曲线的离心率为.故答案为：14.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积几何意义求数量积的取值范围.【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，过作，垂足为，过作，垂足为．当在、处时，最小，最小值为；当在、处时，最大，最大值为．综上所述，的取值范围是．故答案为：四、解答题15.已知数列满足，.（1）证明：是等比数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明；（2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可.【小问1详解】因为，，则，，…以此类推可知，对任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，，，，.16.在中，内角的对边分别为．已知．（1）求；（2）若，点在边上，，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得到，进而可得，即可求解；（2）根据条件，利用（1）中结果及三角形面积公式，得，再由余弦定理及基本不等式，即可求解.【小问1详解】由，根据正弦定理可得，由，则，可得，所以，由，即，则，即，根据，解得.【小问2详解】由（1）有，由，有，由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以面积的最大值为.17.如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且．（1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积垂直关系坐标表示表示计算论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；（2）先利用向量求点面距，再根据体积公式列方程解得向量的坐标，最后根据向量的模的坐标公式求结果.【详解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，，，，因为，，所以，，则，，．，，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面．（2），可设，所以向量的坐标为，平面的法向量为．点到平面的距离．中，，，，所以．三棱锥的体积，所以．此时向量的坐标为，，即线段的长为．【点睛】本题考查利用空间向量证线面垂直以及利用空间向量求点面距，考查基本分析求解能力，属中档题.18.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上.（1）求的方程.（2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由题意可确定，再设出椭圆的方程，将代入椭圆方程，结合，可求得，进而确定椭圆方程；（2）分为“斜率为”与“斜率不存在或斜率存在但不为0”两种情况进行讨论：①当斜率为0时，重合，可求得；②当斜率不存在或斜率存在但不为0时，分别将与与椭圆方程进行联立，再利用弦长公式分别表示出与，可求得.综上，可确定.【小问1详解】抛物线的焦点，则又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】①若直线的斜率为，则与重合，，又因为，即，此时；②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为联立与椭圆方程，消去得设，则，由弦长公式，可得，联立与椭圆方程，消去得，解得，由对称性及弦长公式，可得，因此，此时.综上所述，存在常数，使得恒成立，.19.若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”.（1）若在其定义域上是“型函数”，求实数的最大值；（2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据“型函数”的定义求解即可；（2）结合“型函数”的定义，将问题转化为在上存在解，且为解集的子集，结合导数可求的范围.【小问1详解】由题可得，易知，令，得，所以当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增.根