辽宁省朝阳市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

2024级高二第一学期期末教学质量检测数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.直线与直线垂直，则（）A.1 B.2 C. D.2.某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（）A. B. C. D.3.若展开式的常数项为60，则值为A. B. C. D.4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切5.在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（）A.1 B.0 C.0.5 D.0.256.已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（）A. B. C. D.7.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（）A.50种 B.60种 C.80种 D.90种8.已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（）A.12 B.8 C.6 D.9二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.极差为3，第25百分位数为2C.众数为2，中位数为3 D.众数为4，第60百分位数为3.510.如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（）A.数据的残差平方和变大B.数据的决定系数变大C.解释变量与响应变量的线性相关程度变强D.样本相关系数的绝对值更趋于011.已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.面积的最小值为2B.当直线的倾斜角为时，C.线段的中点到的准线的距离等于D.在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______．13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．14.已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某工厂有一组型号相同设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察如果你是该工厂的老板，你如何决策?16.“两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示.得分男性人数101565751155020女性人数10307065353010（1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差.附表及公式；0.150.100050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，.17.已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，．（1）若直线过点，求直线的方程；（2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值．18.已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.19.已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点.（1）求椭圆标准方程；（2）若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方.（i）求三角形面积的最大值；（ii）设，求证：.2024级高二第一学期期末教学质量检测数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.直线与直线垂直，则（）A1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线与直线的位置关系建立方程，结合三角函数的基本公式求解即可.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，故D正确.故选：D2.某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查简单随机抽样的特点，总体中的每一个个体被抽到的可能性均等.【详解】总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为.故选A．3.若展开式的常数项为60，则值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为展开式的通项为，令，则，所以常数项为，即，所以.故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系.【详解】由的圆心，半径，由的圆心，半径，所以，故两圆相交.故选：C5.在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（）A.1 B.0 C.0.5 D.0.25【答案】D【解析】【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解.【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张，所以取出一张恰好为梅花的概率为，根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率.故选：D.6.已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案.【详解】令可得，则，所以，所以，因为直线与直线互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的离心率为.故选：C.7.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（）A.50种 B.60种 C.80种 D.90种【答案】C【解析】【分析】因为甲同学和乙同学均喜欢牛吉祥物，所以需对牛吉祥物的归属进行分类；第一类若甲选择牛吉祥物；第二类若甲不选择牛吉祥物；分别计算两类选法种数，然后将两类计算结果相加即可求解.【详解】根据题意，按甲的选择不同分两类讨论：第一类，若甲选择牛的吉祥物，则乙的选法有2种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）；第二类，若甲选择马或猴的吉祥物，则甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）.所以不同的选法共有（种）.故选:C8.已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（）A.12 B.8 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知.【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示：因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称；即四边形为平行四边形；又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形；可知；设，由可得，因此；结合双曲线定义可得；在中，由勾股定理可得，即；解得；又在中，由勾股定理可得，即；可得，解得；因此.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.极差为3，第25百分位数为2C.众数为2，中位数为3 D.众数为4，第60百分位数为3.5【答案】AC【解析】【分析】举例即可判断AC的正误；根据百分位数及极差判断B，由百分位数及众数判断D.【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确；对于B，由可知，由小到大排列的第二位数为2，所以第一位数为1或2，极差为3时，最大数为4或5，所以不会出现6点，所以B错误；对于C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以C正确；对于D，由知，由小到大排列的第三位数与第四位数的平均值为3.5，若第三，第四位数为1，6；2，5时，都与众数为4不符，所以第三，第四位数为3，4，又众数为4，故第五位数为4，故D错误，故选：AC10.如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（）A.数据的残差平方和变大B.数据的决定系数变大C.解释变量与响应变量的线性相关程度变强D.样本相关系数的绝对值更趋于0【答案】BC【解析】【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断．【详解】由题意，从散点图中可知，样本数据的两变量正相关，由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好，决定系数变大，故B正确，从而相关系数的绝对值更接近于1，所以D错误；由于拟合效果更好，决定系数越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以A错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以C正确.故选：BC.11.已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.面积的最小值为2B.当直线的倾斜角为时，C.线段的中点到的准线的距离等于D.在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值【答案】ACD【解析】【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D.【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，得消去整理得，则，.对于A，，故时，的面积取得最小值，为2，故A正确；对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为，将代入，得，解得，，所以，，所以，故B错误；对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，，所以，又，所以，故C正确；对于D，由前面的分析，知，，设，则，所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______．【答案】##【解析】【分析】设出事件，得到，，求事件的概率即可；【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，则，，则2个球中恰有1个红球的概率，即求事件的概率，．故答案为：13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．【答案】【解析】【分析】求出正面点数不大于2的概率，再利用二项分布的方差公式计算即得.【详解】依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2概率，因此，所以.故答案为：14.已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】首先需要明确两个圆的圆心和半径，然后根据两圆恰有两条公切线的位置关系（相交），利用两圆相交时圆心距与两圆半径的关系来求解的取值范围.【详解】圆：方程为，其圆心为，半径.单位圆：圆心在原点，半径.两圆的圆心距.因为两圆恰有两条公切线，所以两圆相交，所以，即，得，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察如果你是该工厂的老板，你如何决策?【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）①，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用频率计算概率即可；（2）利用二项分布概率公式来计算概率，但总经济损失为的取值是；（3）利用分类讨论，研究三个方案的总经济损失的期望，通过对比来作出决策.【小问1详解】设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则；【小问2详解】依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为，由题意知，.离散型随机变量的分布列为：101214【小问3详解】使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，采用方案①：的取值为：5，7，17，19，，，，，故采用方案①，总经济损失的期望采用方案②：的取值为：10，12，15，17，，，，，故采用方案②，总经济损失的期望采用方案③：的取值为：5，10，17，22，，，，，故采用方案③：总经济损失的期望.综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小16.“两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示.得分男性人数101565751155020女性人数10307065353010（1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样的方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差.附表及公式；0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，.【答案】（1）列联表见解析，有（2）分布列见解析，数学期望为，方差为【解析】【分析】（1）根据题意，列出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到答案；（2）根据题意，抽查结果为“比较了解”的概率为，变量的可能取值为，且，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合二项分布的期望和方差的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得列联表如下：不太了解比较了解合计男性90260350女性110140250合计200400600依题意，，故有的把握认为市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关系.小问2详解】解：由题意，抽查结果为“比较了解”的概率为，随机变量的所有可能取值为，且，可得，，，，，可得随机变量的分布列为：01234所以，.17.已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，．（1）若直线过点，求直线的方程；（2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值．【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案；（2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出.【小问1详解】由