天津市滨海新区2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷高一年级数学学科本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.“且”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.6.已知，，，则a，b，c大小关系为（）A. B. C. D.7.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.和 B.和C.和 D.和8.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，的终边过点，把角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，这时终边对应的角是，则（）A B. C. D.9.已知函数部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（）A.小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1cm处B.小球的最高点和最低点相距2cmC.小球往复运动一次所需时间为sD.每秒钟小球往复振动的次数为11.已知函数，则下列说法错误的是（）A.当时，函数的值域为B.若函数的定义域为，则C.若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是D.对任意的，函数都不存在最小值12.已知函数在上单调递减，且为一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断：①.②函数为偶函数.③函数在区间上只有一个零点.④函数在区间上的最大值为.其中，判断正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.函数的定义域为_____14.如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）.15.已知，，且，则xy的最大值为______.16.已知幂函数的图象经过点，则______________．17.已知集合，.（ⅰ）________；（ⅱ）________.18.已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________．19.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，k是正的常数，且过滤前后废气的体积不变，已知在前6h消除了80%的污染物.（ⅰ）常数k的值为________；（ⅱ）要消除90%的污染物，所需时间约为________h（精确到0.1h）.（参考数据：lg2≈0.301，无理数e=2.71828…）20.已知函数其中且.（ⅰ）当时，函数的值域为________；（ⅱ）若存在三个互不相等实数，，，使得，且，则实数a的取值范围是________.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知，.（1）求sinx，tanx的值；（2）求，的值.22.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示.（1）画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间；（2）用定义法证明函数在上单调递增；（3）根据图象求不等式的解集.23.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的单调递增区间；（3）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.24.已知函数.（1）证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）；（2）若，使得成立，求实数a的取值范围；（3）是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷高一年级数学学科本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为，，所以，故选：D2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定求解.【详解】根据特称命题的否定可知，，的否定是，，故选：C3.“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断.【详解】由且，得；反之，由，得且，或者且，所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数图象平移的性质可得.【详解】，所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.故选：A.5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.【详解】因为为单调递增函数，当时，，当时，，当时，，由于，且的图象在上连续，根据零点存在性定理，在上必有零点，故选：B.6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小得解.【详解】因为，所以，故选：D7.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】利用同一函数的定义域和对应法则相同，逐一判断各选项中函数是否表示同一函数．【详解】的定义域为，的定义域为，和不是同一函数，故A错误；的定义域为，的定义域为，和的定义域与对应法则相同，故表示同一函数，故B正确；的定义域为，的定义域为，和定义域不同，不是同一个函数，故C错误；和的对应法则不同，不是同一个函数，故D错误．故选：B．8.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，的终边过点，把角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，这时终边对应的角是，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意找出角与角的关系，应用诱导公式即可求出.【详解】因为角的终边过点，所以.又因为角终边绕原点O逆时针方向旋转90°，终边对应的角是，所以，所以.故选：C.9.已知函数部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，排除CD选项；根据奇偶性排除A.【详解】根据，排除CD选项；若，则，则为偶函数，排除A.故选：B10.如图，弹簧挂着小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（）A.小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1cm处B.小球的最高点和最低点相距2cmC.小球往复运动一次所需时间为sD.每秒钟小球往复振动的次数为【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式，求时函数值判断A，根据振幅判断B，由函数周期判断C，根据周期求频率判断D.【详解】由，当时，，即小球在开始振动（即）时在平衡位置上方1cm处，故A错误；由可知，振幅为，所以小球的最高点和最低点相距，故B错误；由可知周期，故小球往复运动一次所需时间为s，故C错误；由周期可知，频率为，即每秒钟小球往复振动的次数为，故D正确.故选：D11.已知函数，则下列说法错误的是（）A.当时，函数的值域为B.若函数的定义域为，则C.若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是D.对任意的，函数都不存在最小值【答案】C【解析】【分析】求出函数的值域为可判断A，由函数定义域求出判断B，由函数的单调性求出的范围判断C，根据函数的值域为可判断D．【详解】对于A，当时，，此时，，所以值域为，故A正确；对于B，由题意知的两根为，所以，解得，故B正确；对于C，因为单调递增，又函数在上单调递增，所以由复合函数单调性知在上单调递增，且，所以，解得，故C错误；对于D，因为对任意的，方程的判别式恒成立，令，则中，，所以函数的值域为，函数不存在最小值，故D正确.故选：C.12.已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断：①.②函数为偶函数.③函数在区间上只有一个零点.④函数在区间上的最大值为.其中，判断正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④.【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心，又因为在上单调递减，所以，所以，故①正确；所以，因为是的一条对称轴，所以，所以，又，所以，所以，所以，是偶函数，故②正确；当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确；当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确.故选：D第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.函数的定义域为_____【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可.【详解】由得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）.【答案】>【解析】【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解.【详解】因为，所以，因为，，所以，故答案为：15.已知，，且，则xy的最大值为______.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.【详解】由，，且，得，当且仅当取等号，所以xy的最大值为1.故答案为：116.已知幂函数的图象经过点，则______________．【答案】【解析】【分析】设幂函数，由函数过点，求出参数，即可求出函数解析式，再代入计算可得；【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，所以，所以.故答案为：17.已知集合，.（ⅰ）________；（ⅱ）________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据集合的补集运算求，解不等式求出集合，根据交集运算求即可.【详解】（ⅰ）因为，所以.（ⅱ）因为，所以.故答案为：；18.已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________．【答案】①.②.【解析】【分析】先求出圆心角的弧度数，再利用弧长公式和面积公式求解即可.【详解】解：由已知圆心角为60°，其弧度为，第一空：该扇形的中心角所对的弧长，第二空：扇形的面积.故答案为：；【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，是基础题.19.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，k是正的常数，且过滤前后废气的体积不变，已知在前6h消除了80%的污染物.（ⅰ）常数k的值为________；（ⅱ）要消除90%的污染物，所需时间约为________h（精确到0.1h）.（参考数据：lg2≈0.301，无理数e=2.71828…）【答案】①.②.8.6【解析】【分析】由题意根据，即得的值，令，根据对数运算性质求出的值即可.【详解】由题意，当时，，即，，设要消除90%的污染物需要花th，则有，两边取以为底的对数，得.（），故答案为：；20.已知函数其中且.（ⅰ）当时，函数的值域为________；（ⅱ）若存在三个互不相等实数，，，使得，且，则实数a的取值范围是________.【答案】①.②.【解析】【分析】（i）分别求出每一段的值域，再取并集即可；（ii）存在三个互不相等实数，，，使得，转化为与有3个不同交点，讨论与的关系，分析图象，由，讨论的范围，进而得出的范围即可.【详解】（i）当时，，当时，单调递增，，当时，，开口向下，对称轴，，此时，综上函数的值域为.（ii）存在三个互不相等实数，，，使得，即与有3个不同交点，不妨设，当时，则当时，单调递减，，令，解得或，画出的图像如图，由图像可得，，，符合题意，当时，则当时，单调递增，，当时，如图，不会有3个交点，当时同理不符合题意，当时，，，若要，则，则，当时，，令，得或，则，，综上.故答案为：（i）,（ii）三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知，.（1）求sinx，tanx的值；（2）求，的值.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；（2）由两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式求解.小问1详解】，，∴，∴.【小问2详解】..22.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示.（1）画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间；（2）用定义法证明函数在上单调递增；（3）根据图象求不等式的解集.【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为，（2）证明见解析（3）或.【解析】【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间；（2）利用定义证明单调性；（3）根据图象解不等式.【小问1详解】当时，，则，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，则，因为，则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，结合函数的图象，可得函数在R上的单调递减区间为，【小问2详解】任取且，则∵，∴，，即，∴，∴.∴函数在上单调递增.【小问3详解】结合图象可得，当时，，或，故不等式的解集为或.23.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的单调递增区间；（3）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求解；（2）根据正弦型函数的单调性结合函数定义域求单调区间即可；（3）令，可得，转化为方程在上仅有一个实根，由二次函数性质求解即可.小问1详解】由题意，得∴，∴的最小正周期为.【小问2详解】由（1）知，设.∵，∴，∵，的单调递增区间是，且由，得，∴函数在上的单调递增区间是.【小问3详解】∵