第讲整式与因式分解

第2讲整式与因式分解【构建知识网络】知识点1代数式代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数字或字母也是代数式，如2，a，π列代数式把数和数量关系用字母表示出来代数式的值用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算顺序计算出来的结果【满分技能】整体代入法1．先观察已知代数式与所求代数式的关系．2．将所求代数式变形，令其用已知代数式表示出来；常用提取公因式法、平方差公式或完全平方公式．3．把已知代数式看成一个整体代入求值．知识点2整式的相关概念单项式由数字与字母的乘积表示的式子，叫做单项式．单独的一个数字或字母也是单项式多项式定义几个单项式的和项多项式中的每一个单项式次数多项式中次数最高项的次数常数项不含字母的项整式单项式和多项式统称整式同类项定义所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项合并同类项把同类项合并成一项叫做合并同类项知识点3整式的运算1．整式加减运算加减运算实质合并同类项去括号法则1.括号前是“＋”号，括号内各项不变号2．括号前是“－”号，括号内每一项都变号2.幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an＝am＋n(m，n为整数)同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减．即am÷an＝am－n(a≠0，m，n为整数)幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(am)n＝amn(m，n为整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)n＝an·bn(n为整数)零指数幂a0＝1(a≠0)负整数指数幂a－p＝(a≠0，p为正整数)3.整式乘法单项式乘单项式单项式与单项式相乘，将系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b24.整式除法单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加5．整式混合运算整式混合运算1.整式混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的2．如果有同类项，就合并同类项，最后的结果必须是最简形式知识点4因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式方法1.提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)2.公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)23.十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)4.分组分解法一般步骤一提：当多项式的各项含有公因式时，通常先提公因式；二套：再考虑应用公式法；三检查：因式分解的结果要彻底，每个因式要分解到不能再分解为止【满分技能】1.因式分解和整式乘法互为逆过程．2．判断整式变形是否为因式分解，关键看分解的对象是不是多项式，分解的结果是否为整式的乘积的形式．3．如果多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．4．由于因式分解与整式乘法是互逆过程，所以可以用整式乘法检验因式分解的正误．考点2代数式(5年6地3考)1．[呼和浩特中考]某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是()A．a元B．0.99a元C．1.21a元D．0.81a元2．[2025·内蒙古]冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为_______．5m＋3n考点3代数式的值(5年6地7考)1．[2022·包头]若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a＋3b－4c的值为()A．－8B．－5C．－1D．162．[2023·赤峰]已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是()A．6B．－5C．－3D．4考点4幂的运算(5年6地16考)1．[2023·包头]下列各式计算结果为a5的是()A．(a3)2B．a10÷a2C．a4·aD．(－1)－1a52．[2022·包头]若24×22＝2m，则m的值为()A．8B．6C．5D．2考点5整式的运算(5年6地15考)1．[2024·呼和浩特]下列运算正确的是()A．(3x)3＝9x3B．(x－2)2＝x2－4C．(－2ab2)2＝4a2b4D．3a＋4b＝7ab2．[2024·赤峰]下列计算正确的是()A．a2＋a3＝a5

B．(a＋b)2＝a2＋b2C．a6÷a3＝a2

D．(a3)2＝a63．[2024·赤峰]已知a2－a－3＝0，求代数式(a－2)2＋(a－1)(a＋3)的值．解：∵a2－a－3＝0，∴a2－a＝3，∴(a－2)2＋(a－1)(a＋3)＝a2－4a＋4＋a2＋2a－3＝2a2－2a＋1＝2(a2－a)＋1＝2×3＋1＝7.考点7因式分解(5年6地13考)1．[2024·通辽]因式分解3ax2－6axy＋3ay2＝_________．2．[2024·呼伦贝尔]分解因式：a＋2ab＋ab2＝________．3．[2023·赤峰]分解因式：x3－9x＝______________．3a(x－y)2a(1＋b)2x(x＋3)(x－3)考点8规律探究(5年6地5考)1．[2022·呼伦贝尔]观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807……根据其中的规律可得70＋71＋…＋72022的结果的个位数字是()A．0B．1C．7D．82．[2021·鄂尔多斯]将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“”的个数，则第30个“龟图”中有____个“”．8751．[2025·绥化]下列计算中，结果正确的是()A．a3·a4＝a12

B．(－2m3)2＝4m6

D．(x＋3)(x－3)＝x2－32．[2025·南充]下列计算正确的是()A．2a＋a＝3B．2a－a＝2C．2a·a＝2a2

D．2a÷a＝2a3．[2025·上海]用代数式表示a与b差的平方，正确的是()A．a2－b2

B．(a－b)2C．a2－bD．a－b24．[2025·山西]近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了____元(用含a的代数式表示)．5．[2025·北京]分解因式：7m2－28＝______________．60a7(m＋2)(m－2)6．[2025·齐齐哈尔]若代数式＋(x－2025)0有意义，则实数x的取值范围是______________．7．[2025·自贡]若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为__．8．[2025·绥化]分解因式：2mx2－4mxy＋2my2＝_________．x>3且x≠202512m(x－y)29．[2025·浙江]【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.【应用体验】已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为__．810．[2025·绥化]观察下图，图1有2个三角形，记作a1＝2；图2有3个三角形，记作a2＝