湖南省安仁一中、资兴市立中学2026届数学高二上期末统考模拟试题含解析

湖南省安仁一中、资兴市立中学2026届数学高二上期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（）A.－4 B.－10C.4 D.103．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.4．已知抛物线上一点M与焦点间的距离是3，则点M的纵坐标为（）A.1 B.2C.3 D.45．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.6．若在直线上，则直线的一个方向向量为（）A. B.C. D.7．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.9．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.310．已知等差数列{an}中，a4+a9=8，则S12=（）A.96 B.48C.36 D.2411．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.24种 B.81种C.64种 D.256种12．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A.36个 B.30个C.25个 D.20个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.14．圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______15．过点作圆的切线，则切线方程为______.16．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为H，O是坐标原点．若|F1F2|＝6|OH|，则双曲线C的方程为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且（为原点），求直线的斜率18．（12分）已知命题：，在下面①②中任选一个作为：，使为真命题，求出实数a取值范围.①关于x的方程有两个不等正根；②.（若选①、选②都给出解答，只按第一个解答计分.）19．（12分）在等比数列{}中，（1），，求；（2），，求的值.20．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由21．（12分）已知椭圆C：的长轴长为，P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为PA的中点，且直线PA与直线OQ的斜率之积恒为-2.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且过上焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当点M，N到y轴距离之和最大时，求直线l的方程.22．（10分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).2、A【解析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求.【详解】解：由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）.故选：A【点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题3、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D4、B【解析】利用抛物线的定义求解即可【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，因为抛物线上一点M与焦点间的距离是3，所以，得，即点M的纵坐标为2，故选：B5、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.6、D【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案【详解】∵在直线上，∴直线的一个方向向量，又∵，∴是直线的一个方向向量故选：D7、B【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.8、C【解析】取AC的中点M，过点M作，且使得，进而证明平面，然后判断出是与平面所成的角，最后求出答案.【详解】如图，取AC的中点M，因为，则，过点M作，且使得，则四边形BDNM是平行四边形，所以.由题意，平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，连接DA,NA，则是与平面所成的角.而，于是，.故选：.9、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.10、B【解析】利用等差数列的性质求解即可.【详解】解：由等差数列的性质得.故选：B11、D【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.故选：D12、C【解析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.【详解】连接和,面面在底面内运动,且始终保持平面可得点在线段上运动,面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等面直线与底面所成的角为:有图像可知:长是定值,当最短时,,即最大,即角最大设正方体的边长为,故故答案为:【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.14、①.②.【解析】将点M的轨迹转化为以AC为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得，，因为M为AB中点，所以，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，所以点M的轨迹方程为，圆心，设关于直线的对称点为，则有，解得，所以，所以由对称性可知的最小值为故答案为：，15、【解析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.【详解】因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，故切线方程为：即.故答案为：.16、8x2﹣y2＝1【解析】延长F1H与PF2，交于K，连接OH，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得双曲线方程【详解】解：延长F1H与PF2，交于K，连接OH，由题意可得PH为边KF1的垂直平分线，则|PF1|＝|PK|，且H为KF1的中点，|OH|＝|KF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，则|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，即c＝3a，b＝＝2a，又双曲线C：﹣y2＝1，知b＝1，所以a＝，所以双曲线的方程为8x2﹣y2＝1故答案为：8x2﹣y2＝1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求得点坐标，根据列方程，化简求得直线的斜率.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．所以，椭圆的方程为小问2详解】由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得，所以直线的斜率为由，得，化简得，从而所以，直线的斜率为或18、答案见解析【解析】根据题意，分析、为真时的取值范围，又由复合命题真假的判断方法可得、都是真命题，据此分析可得答案.【详解】解：选①时由知在上恒成立，∴，即又由q：关于x的方程有两个不等正根，知解得，由为真命题知,解得.实数a的取值范围.选②时由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，当且仅当时取“=”号，∴，由为真命题知，解得.实数a的取值范围.19、（1）（2）【解析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，（2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解【小问1详解】.【小问2详解】方法1：.∴.方法2：，整理得：又20、（1）证明见解析（2）存在，点P为棱SD靠近点D的三等分点【解析】（1）由的面积为1，得到，，由，点P为SD的中点，所以，同理可得，根据线面垂直的判断定理可得平面PAC，再由面面垂直的判断定理可得答案；（2）存在，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，假设在棱SD上存在点P，设，求出平面PAC、平面ACD的一个法向量，由二面角的向量法可得答案.【小问1详解】因为点S在底面ABCD上的射影为O，所以平面ABCD，因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，又因为的面积为1，所以，，所以，因为，点P为SD的中点，所以，同理可得，因为，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小问2详解】存在，连接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得两两垂直，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，假设在棱SD上存在点P使二面角的余弦值为，设，，，所以，，设平面PAC的一个法向量为，则，因为，，所以，令，得，，因为平面ACD的一个法向量为，所以，化简得，解得或（舍），所以存在P点符合题意，点P为棱SD靠近点D的三等分点21、（1）（2）【解析】（1）设点，求出直线、直线的斜率相乘可得，结合可得答案；（2）设直线l的方程为与椭圆方程联立，代入得，设，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得，，即，则，设点，∵Q为的中点，∴，∴直线斜率，直线的斜率，∴，又∵，∴，则，解得，∴椭圆C的方程为.