浙江省宁波市2025-2026学年第一学期期末高一数学试题（原卷版+解析版）

宁波市2025第一学期学年期末九校联考高一数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知全集，集合，如图阴影部分表示的集合是（）A. B.或C. D.2.已知，则下列等式中成立是（）A. B.C D.3.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A B.C. D.4.已知，则的大小关系为（）A. B.C D.5.函数的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.7.模型是常用于描述物种数量增长或信息传播规律的数学模型.某学者根据社交平台上某热点话题的转发数据，建立了该话题累计转发量（的单位：小时）的模型：，其中为平台潜在最大转发量，为增长速率.已知当时，转发量达到最大转发量的.当时，标志着该话题已进入传播饱和阶段，则从到进入传播饱和阶段大约还需要（）小时.（注：为自然对数的底数，）A. B. C. D.8.已知函数，则不等式解集为（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列说法正确的有（）A.B.的值域是C.的对称中心是D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，图象的对称轴方程为B.当时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数C.若函数的图象在上恰有三条对称轴，则D.若函数在上单调递增，则或11.已知，若，且，则下列说法正确的有（）A.若，则且B.若，则的最小值为-1C.若，则有两个不同的取值D.不存在，使得均为正数第II卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________.13.设函数，若且，则的取值范围为__________.14.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如：.若，则的取值范围为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15.计算：（1）；（2）已知，且，求.16.已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）.（1）求阴影部分的面积；（2）求的取值范围.17.已知二次函数.（1）若，且都有，求的最小值；（2）解关于不等式：.18.已知函数为定义在上的偶函数.（1）求实数的值；（2）已知函数.①若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围：②若，关于的不等式对恒成立，求的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求函数的值域：（2）①证明：；②若函数，证明：当时，宁波市2025第一学期学年期末九校联考高一数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知全集，集合，如图阴影部分表示的集合是（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】由韦恩图得阴影部分为,利用集合的运算即可求解.【详解】由韦恩图得阴影部分为，因为，所以，所以故选：D.2.已知，则下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】因，所以，即，所以，故选：C3.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简命题p，再根据充分不必要条件的定义求解.【详解】由，得，解得，设，因为是充分不必要条件，所以A⫋B，则，故选：A4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为，，所以，又因为，所以，故选：B5.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由定义域为，故选项A错误，当时，图象在轴上方，故B、D错误，利用排除法C选项正确.【详解】函数的定义域为，故选项A错误，当时，，所以，所以当时，图象在轴上方，故B、D错误.利用排除法C选项正确.故选：C.6.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数关系，结合两角和正弦公式、两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，由，又因为，所以解得.因为，所以，又因为，所以，所以.，因为，所以，所以，所以.故选：B7.模型是常用于描述物种数量增长或信息传播规律的数学模型.某学者根据社交平台上某热点话题的转发数据，建立了该话题累计转发量（的单位：小时）的模型：，其中为平台潜在最大转发量，为增长速率.已知当时，转发量达到最大转发量的.当时，标志着该话题已进入传播饱和阶段，则从到进入传播饱和阶段大约还需要（）小时.（注：为自然对数的底数，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到方程，从中求出的值，再求出当时的所需时间的值，再用即可得解.【详解】已知，由题意知.当时，，即，即.两边同时取自然对数可得，则.当话题已进入传播饱和阶段，即时，可得，即，即，即.两边同时取自然对数可得.将代入上式可得，解得，即.将代入上式可得.即话题从开始转发到进入传播饱和阶段所需要的时间约为小时，所以从到进入传播饱和阶段大约还需要小时.故选：D8.已知函数，则不等式解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，则不等式等价于，结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为，令，则的定义域为且，所以为奇函数，又、、均在上单调递增，所以在上单调递增，所以不等式，即，即，即，等价于，解得，所以不等式解集为.故选：C二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列说法正确的有（）A.B.的值域是C.的对称中心是D.【答案】ABD【解析】【分析】运用代入法，结合指数函数的单调性、对称性的性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项正确；B：因为，所以，所以的值域是，因此本选项正确；C：因为，所以的对称中心是，因此本选项不正确；D：因为，，所以，因此本选项正确.故选：ABD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，图象的对称轴方程为B.当时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数C.若函数的图象在上恰有三条对称轴，则D.若函数在上单调递增，则或【答案】BCD【解析】【分析】当时，，直接利用三角函数的性质求得对称轴验证A错误，利用函数变换得到为偶函数则B正确，利用函数的性质求得函数的对称轴和单调递增区间验证C、D即可求解.【详解】当时，，令,得到图象的对称轴方程为，故A错误；将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数，故B正确；函数的对称轴满足，解得，因为函数的图象在上恰有三条对称轴，即存在三个值使得，时，，时，，所以，解得，故C正确，函数的单调递增区间满足，解得，函数在上单调递增，当时，递增区间为，所以即，因为，所以.当时，递增区间为，所以，解得，综上所述，函数在上单调递增，则或，故D正确；故选：BCD.11.已知，若，且，则下列说法正确的有（）A.若，则且B.若，则的最小值为-1C.若，则有两个不同的取值D.不存在，使得均为正数【答案】ABC【解析】【分析】先通过展开已知等式得到关键关系式，再用完全平方公式整体换元，设，将问题转化为关于的一元二次方程，最后通过代入求值及判别式分析根的情况，即可判断各选项的正确性.【详解】因为，所以：，，即，①又由完全平方公式：代入①，得整理得②令，代入②得③选项A：若，则且把代入③得，所以，即，所以，代入①：A正确；选项B：若，则的最小值为由，得：则，代入则是方程的实根，故判别式，所以所以，所以所以，，即因此的最小值为.B正确；选项C：若，则有两个不同的取值③的判别式：当时，，方程有两个不同的实根，即有两个不同取值.C正确；选项D：不存在，使得均为正数，假设，我们验证是否存在这样：由①得，即，由③得，所以，取，则，，要证明存在使得且，只需说明存在使得关于的方程，（其中）有三个正实根，令，则，令，解得，,所以极大值（在处）：极小值（在处）：，所以当时，方程在上有三个不同的正实根，这三个根即为，满足，说明存在使得均为正数.D错误.故选：ABC.第II卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得.【详解】因为，均为单位向量，且，所以，所以，所以，所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为.故答案为：.13.设函数，若且，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数图象及对数运算及对数不等式计算求解.【详解】函数，设且，则，即，所以，，因为，所以，则的取值范围为.故答案为：.14.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如：.若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由“取整函数”的定义可知，分和两种情况求解即可.【详解】由“取整函数”的定义可知，因为，所以，所以，即，当，所以，即，所以，所以，所以；因为，所以，所以，所以.当，所以，即，因为，所以，因为，所以且，当时，即且，所以且，所以，当时，即且，所以且，所以无解；当时，即且，所以且，所以无解；综上所述，则的取值范围为.故答案：.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15.计算：（1）；（2）已知，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数和对数的运算法则化简；（2）根据指对互化以及对数的单调性求出代入化简即可.【小问1详解】；【小问2详解】由，得，则，得，解得，则.16.已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）.（1）求阴影部分的面积；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据扇形及三角形的面积公式分别求出及，然后两式相减即可得解；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，设，则，进而得到的解析式，再利用三角函数求出其值域即可得解.【小问1详解】设阴影部分的面积为，则；【小问2详解】以为原点，为轴，过作垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则.所以所以，所以.当时，，，所以，.所以的取值范围为.17.已知二次函数.（1）若，且都有，求的最小值；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题得到，所以，再利用基本不等式求解即可.（2）不等式等价于，对分三种情况讨论即可【小问1详解】由题，对称轴为，所以，变形得，则，当且仅当，即时等号成立，的最小值为.【小问2详解】不等式即求解①当时，，解集为②当时，抛物线开口向上，若，即时，恒成立，解集为若，即时，则，解集为若，即时，不等式解集为③当时，抛物线开口向下，此时恒成立，不等式解集为18.已知函数为定义在上的偶函数.（1）求实数的值；（2）已知函数.①若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围：②若，关于的不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）①且.；②【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义即可求出；（2）①先化简函数进而得到的解析式，再根据题意列出不等式求解即可；②令，将不等式转化为，设，得到关于的函数，分类讨论即可.【小问1详解】由题意得，对恒成立，.【小问2详解】①，，易知，原方程可转化为，得或，根据方程根的个数可得，解得且.②令，原不等式可转化为，设，令，当时，，可得，故，当时，，