专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（学生版）

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【学问点梳理】1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：假如对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．假如对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：假如函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称推断与的关系时，也可以使用如下结论：假如或，则函数为偶函数；假如或，则函数为奇函数．留意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．3、函数的对称性（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．（3）若，则函数关于对称．（4）若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，假如存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．（2）最小正周期：假如在周期函数的全部周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：推断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的推断方法①定义法：依据增函数、减函数的定义，依据“取值—变形—推断符号—下结论”进行推断．②图象法：就是画出函数的图象，依据图象的上升或下降趋势，推断函数的单调性．③直接法：就是对我们所生疏的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．留意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典型例题】例1．（2025·北京顺义·高三统考期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中肯定成立的是（

）A． B．C． D．例2．（2025·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A． B．C． D．例3．（2025·四川南充·统考模拟猜测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．例4．（2025·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减例6．（2025·北京西城·高三北师大试验中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例7．（2025·全国·高三期末）已知函数在区间上的最大值为，则等于（

）A． B． C． D．或例8．（2025·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(

)A．0 B．10 C． D．例9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为奇函数，则（

）A． B．2 C．1 D．例10．（2025·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2例11．（2025·陕西西安·统考一模）已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（

）A．B．是周期函数，且2是其一个周期C．D．例12．（2025·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知函数对任意实数都有且则（

）A． B． C．1 D．0例13．（2025·陕西咸阳·咸阳市试验中学校考一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则．【过关测试】一、单选题1．（2025·河南·高三专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·广东·高三学业考试）若函数在上是增函数，则（

）.A． B．C． D．3．（2025·北京·高三北京市第三十五中学校考期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．4．（2025·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．5．（2025·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．6．（2025·陕西宝鸡·校联考模拟猜测）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2025·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2025·全国·模拟猜测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2025·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．10．（2025·全国·高三专题练习）已知函数为上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2025·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期末）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2025·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．13．（2025·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．14．（2025·广东茂名·统考一模）函数和均为上的奇函数，若，则（

）A． B． C．0 D．215．（2025·山西·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C．2 D．416．（2025·全国·模拟猜测）己知函数的定义域为若，则（

）A． B． C． D．17．（2025·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为上的奇函数，，且，则（

）A． B． C．0 D．18．（2025·陕西西安·统考一模）已知是上的奇函数，且，当时，，则（

）A．3 B． C．255 D．19．（2025·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）已知定义在上的函数，满足，，若，则（

）A．2 B． C． D．20．（2025·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，，则（

）A．函数为偶函数 B．C． D．21．（2025·山东·高三山东省试验中学校考阶段练习）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．二、多选题22．（2025·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（

）A． B．C． D．23．（2025·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为上的减函数24．（2025·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为4 B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称 D．在内至少有5个零点25．（2025·海南·校联考模拟猜测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C． D．26．（2025·山东泰安·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（

）A． B．对，恒成立C．函数关于点中心对称 D．27．（2025·全国·模拟猜测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．的图像关于直线对称 D．在[0，10]上有6个零点三、填空题28．（2025·浙江宁波·高三统考期末）已知，求.29．（2025·贵州·校联考模拟猜测）已知函数，则的最大值是.30．（2025·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.31．（2025·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为偶函数，则.32．（2025·四川内江·高三校考阶段练习）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．33．（2025·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时，．34．（2025·内蒙古巴彦淖尔·高三校考期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则35．（2025·陕西西安·西安一中校考模拟猜测）定义域为的函数满足当时，，且是奇函数，则.36．（2025·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则的值为．37．（2025·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则.38．（2025·全国·高三专题练习）若函数是上的偶函数，则的值为.39．（2025·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是.40．（2025·广东·高三学业考试）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为.41．（2025·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则.42．（2025·甘肃武威·高三统考期末）奇函数满足，则.43．（2025·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，其图象关于点对称.当时，，则.44．（2025·山东·高三济南一中校联考期末）函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则．45．（2