湖南省名校联盟2025-2026学年高一上学期0月阶段考试数学试题含解析

湖南高一年级阶段考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的并集定义即得.【详解】因为，所以．故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题．所以命题“”的否定是：.故选：D.3.已知正数满足，则的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式建立不等式，再求解不等式即得【详解】，，，当且仅当时，等号成立．的最大值为.故选：C.4.某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可.【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元，则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为.故选：B5.若，则（）A. B.C. D.的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】利用作差法即可比较大小.【详解】因为，所以．故选：B.6.“”的一个充分不必要条件是（）A. B.0C. D.或【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，再根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.【详解】等价于，解不等式，得或．因为“”可以推出“或”，但“或”不能推出“”，所以“”是“-1”的一个充分不必要条件．故选：A.7.已知.不等式对于任意满足已知条件的实数恒成立，则的最大值为（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】D【解析】【分析】先分离参数，再利用“1的妙用”求最值即可.【详解】不等式等价于，当且仅当时，等号成立，所以．故选：D.8.某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用韦恩图来求解即可.【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性质进行推理即可逐一判断各选项.【详解】对于A，因为，则，不等式两边同除以，可得，故A正确；对于B，因为，所以，但是不能确定与的大小关系，故B错误；对于C，因为表示数轴上坐标为的两点之间的距离，表示数轴上坐标为的两点之间的距离，又，所以，故C正确；对于D，由可得，所以，故D错误．故选：AC.10.对于二次函数，下列结论正确的是（）A.不存在实数，使得B.关于的方程有一个正根和一个负根C.该函数的图象与轴交于负半轴D.若当时，随着的增大而增大，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，举反例即可排除；对于B，由根的判别式和韦达定理即可判断；对于C，由函数图象经过点即可说明；对于D，根据二次函数的图象的开口与对称轴、单调性即得.【详解】对于A，当时，，故A错误．对于B，因的判别式，则方程有两个不等实根；设两根为，因，所以必一正一负，故B正确；对于C，令，得，即函数图象与轴交于点，故C正确；对于D，该抛物线开口向上，对称轴为，由题意需使，得，故D错误．故选：BC.11.已知为三个互不相等的正整数，命题，命题，命题．若只需满足三个命题中仅有两个是真命题，则．若，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分情况讨论集合A中元素的特征，结合，分析得出的大小关系，最后逐一分析选项.【详解】依题意可得当或或时，．因为，所以满足或或．因为，所以满足或或，则c满足或或或，所以，，，．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知全集，集合，则___________．【答案】【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算即可.【详解】因为，所以．13.已知一元二次方程的一个根为，且，则______．【答案】3【解析】【分析】将代入方程并化简得，与联立即可求解.【详解】因为是一元二次方程的一个根，所以，即，将代入方程，解得．故答案为：314.已知正数满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由已知将变形得到，进而得，再将变形并利用基本不等式求得其最小值即可.【详解】因为，所以，所以，则，从而．又，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假．（1）有些奇数是合数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）至少有一个数能被3和5整除；（4）所有的反比例函数的图象都是中心对称图象．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析【解析】【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假.【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题，比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题；对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题.比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题；对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题．比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题；对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量词命题.因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题.16.（1）已知，证明：．（2）已知均正数，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得，然后利用不等式的加法法则证明即可；（2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.同理，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立.17.如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为．（1）设，试用表示，并求的取值范围．（2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？【答案】（1）；（2）当时，S取得最小值，为2000.【解析】【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围；（2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得.【小问1详解】依题意，得，所以，即，得，所以，，所以，解得；【小问2详解】由，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故时，S取得最小值，为2000.18.已知二次函数．（1）若函数与函数的图象相交于两点，且点的横坐标为点的横坐标为4，求的值；（2）在（1）的条件下，求关于的不等式的解集；（3）求关于的不等式的解集．【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，代入求解可求得答案；（2）将（1）中的值代入不等式，求解即得；（3）不等式可化为，通过按与的大小关系分类来解含参不等式即得.【小问1详解】由点在函数的图象上，且点的横坐标为点的横坐标为4，可知.把两点的坐标代入，得解得【小问2详解】由（1）知，不等式即，所以，解得，所以的解集为.【小问3详解】由得，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式解集为或1}；当，即时，不等式的解集为或.故当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.19.已知至少含两个元素的集合是的子集，若对于中的任意两个元素，都有（是正整数），则称集合具有性质．（1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由．（2）若集合，证明：不可能具有性质．（3）若集合，且具有性质和，求中元素个数的最大值．【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析（2）证明见解析（3）115.【解析】【分析】（1）根据定义判断、是否具有性质即可；（2）将集合中元素分为9个集合，进行求解即可；（3）先说明连续13项中集合A中最多选取6项，然后求出集合A中共有115个元素，即可.【小问1详解】对于集合，因为，所以集合不具有性质.对于集合，因为，所以集合具有性质.【小问2详解】证明：将集合中的元素分为如下9个集合：，.从集合中取10个元素，则前8个集合至少要选9个元素，所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在2个元素，其差的绝对值为3，所以不可能具有性质.【小问3详解】先说明连续13项中集合中元素的个数最多选取6项，以为例，构造集合.①6，7，8都选上，因为具有性质和，所以选6则不选1和11，选7则不选2和12，选8则不选3和13，另外4，9不能同时取，5，10不能同时取，所以选取的集合中的元素为4，5，6，7，8，故中属于集合中的元素个数为5.②6，7，8中选2个，若只选6，7，则1，2，11，12，8不可取，5，13中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取3，4，6，7，10，13，故中属于集合中的元素不超过6个．若只选7，8，则2，3，12，13，6不可取，1，9中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取1，4，5，7，8，11，故中属于集合中的元素不超过6个．若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9