函数的最大（小）值与导数教学设计

《舀数的策大（小）值与导致》教学设计

衡山二中张继

【教材分析】

人教版《普通高中课程标准实验教科书・选修2-2》（第2版）第一章

《导数及其应用》第三单元《导数在研究函数中的应用》第三课《函数的

最大（小）值与导数》。本节主要研究：闭区间上的连续函数最大值和最小

值的求法，它是在学生已经会求某些函数的最值，以及会求可导函数的极

值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本

节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、

效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要

的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生

运用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值.

高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密

的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到,

所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体

验自主学习的成功愉悦.

【设计思想】

新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解

基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一

些数学模式进行思考，作出判断：同时要求教师从知识的传授者向课堂的

设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究

开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生

的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学

思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

【教学目标】

根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维

教学目标：

1.知识和技能目标

（1）进一步明确闭区间m，切上的连续函数式处，在出，句上必有最大、最

小值.

（2）理解上述函数的最值存在的可能位置.

（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤.

2.过程和方法目标

(1)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识.

(2)培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解戾问题.

3.情感和价值目标

(1)认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义

思想.

(2)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神.

【教学重点、难点】

1.教学重点

基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定

为：

(1)培养学生的探索精神，积累自主学习的经验；

(2)会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值.

2.教学难点

学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特

别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是

(1)发现闭区间上的连续函数/⑴的最值只可能存在于极值点处或区间

端点处；

(2)理解方程。)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点.

3.教学关键

本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的

过程中通过观察、比较，发现结论.

【教法选择】

(1)观察学习是重要的学习方法.这节课采用的第一个方法就是“观察、

比较法”；

(2)为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教

学，设计了一个动画谡件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，

发现数学本质；

(3)根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，

这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、

形成共识.

【学法指导】

对于求函数的最值，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就

是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教

学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、

分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主

体的作用.

【教学过程】

本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入一一合作学习，探索新

知一一指导应用，鼓励创新一一归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织.

教

学

环教学内容设计意图

节

1.问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求以实例引入新

什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，课，有利于学生感受

到数学来源于现实

这往往可以归结为求函数的最大值与最小值.

生活，培养学生用数

如图，有-■长80c/",宽60cm

学的意识，.

的矩形不锈钢薄板，用此薄板折

成一个长方体无盖容器,要分别

过矩形四个顶点处各挖去一个

一

、全等的小正方形，按加工要求，

创通过运用几何

长方体的高不小于10物且不大于

设画板演示，增强直观

20cm.设长方体的高为体积性，帮助学生迅速准

情

为北、加.问x为多大时W最大？6°皿确地发现相关的数

境

并求这个最大值.量关系.

，

铺解：由长方体的高为xcm,

垫可知其底面两边长分别是

导(8()—2x)cm,(6()—2x)c〃2,(10WxW20).

所以体积V与高工有以下函数若三—实际问题中，在

入设元、列式后将这个

V=(80-2x)(60-2x)x

实际问题转化为求

=4(40—x)(30—x)x.

函数在闭区间上的

最值问题.这时学牛

2.引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在经思考后会发现，以

这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法,前学习过的知识不

来求某些函数的最值.能解决这一问题，从

而激发起学生的学

习热情.

教学

教学内容设计意图

环节

通过对左图形象直

观的观察，我们可以找到

最大（小）值，由此我们

进行深入分析，自然地提

出问题：闭区间上的连续

1.观察上图，我们知道，在闭区间［。，回上连续的函函数最大值和最小值在

数./U）在［a,b］上必有最人值与最小值.何处取得？如何能求得

最大值和最小值？以问

题制造悬念，引领着学生

2.如图为连续函数/U）的图象:

来到新知识的生成场景

中.

为新知的发现奠定

、基础后，提出教学目标，

合让学生带着问题走进课

堂，既明确了学习目的，

作又激发起学生的求知热

情.

学在闭区间［m切上连续函数/U）的最大值、最小值分别

是什么？分别在何处取得？

习为让学生更好地进行

发现，教学中通过改变区

探

间位置，引导学生观察同

索一函数在不同区间内图

象上最大值最小值取得

新

的位置，形成感性认识，

知进而上升到理性的高度.

学生在合伶交流的探

究氛围中思考、质疑、倾

听、表述，体验到成功的

喜悦，学会学习、学会合

作.

3.以上分析，说明求函数«r）在闭区间［。，3上最值的

关键是什么？在整个新知形成过

归纳：设函数人对左团,加上连续，在（〃,〃）内可导，求/。）程中，教师的身份始终是

在［。⑸上的最大值与最小值的步骤如下：启发者、鼓励者和指导

（1）求/a）在m力）内的极值；者，以提高学生抽象概

（2）将/（x）的各极值与/（〃）、/（〃）比较，其中最大的一括、分析归纳及语言表述

个是最大值，最小的一个是最小值.等基本的数学思维能力.

教学教学内容

设计意图

环节

例求函数在区间［―］上的最大

12f+52,2解决例1的方法并不

值与最小值.唯一，还可以通过换元转

解：y'=4?-4x,化为学生熟知的二次函

令y'=（）»有4£—4x=0,解得：数问题；而这里利用新学

的导数法求解，这种方法

产一1,0,1

更具一般性，是本节课学

当x变化时，）/,y的变化情况如下表：习的重点.

X-2(-2,-1)-1(-10)0(0,1)1(1,2)2

——0+0—0+

X7X/

y1345413

从上表可知，最大值是13,最力、值是4.

思考：求函数/⑴在口⑸上最值过程中，判断极值往往

比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？“问起于疑，疑源于

指思”，数学最积极的成分

分析：在（）内解方程/（幻=但不需要判断是否

H"0,是问题，提出问题并解决

导是极值点，更不需要判断是极大值还是极小值.问题是数学教学的灵

设函数人的在团刈上连续，在（〃，力内可导，求/U）在口⑸魂.思考题的目的是优化

应上的最大值与最小值的步骤可以改为：导数法求最大、最小值的

（1）求在①,历内导函数为零的点，并计算出其函数解题过程，培养学生的探

究意识及创新精神，提高

用值；

9学生分析和解决问题的

（2）将贝x）的各导数值为零的点的函数值与犬〃）、他）能力.

鼓比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

解法2：对例题1用简化后

励

y'Mx3—4x的方法求解，便于学生将

它与第一种解法形成对

令）/=o,有城一440,解得：

创照，使得问题的解决更简

x=-1,0,1.单明快，更易于操作，更

新x=~\时，尸4,容易被学生所接受.

x=0时，产5,

x=l时，）=4.

又x=-2时，）=13,

x=2时，＞=13.

・・・所求最大值是13,最小值是4.课堂练习的目的在

于及时巩固重点内容，使

课堂练习.学生在课堂卜就能掌

求下疏函数在所给区间上的最大值与最小值:握.同时强调规范的书写

和准确的运算，培养学生

（1）y=6x2-x-2^e［（）,2］；严谨认真的数学学习习

（2）y=6+12x-x3,工£［-：,3］.惯.对学生完成练习情况

进行评价，使所有学生都

体验到成功或得到鼓励，

并据此调控教学.

一

学

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