2026年高考数学二轮复习：专题10 立体几何中的外接（内切）球中的八大解题模型（热点专练）（全国适用）（原卷版）

2/18专题10立体几何中的外接（内切）球中的八大解题模型内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：空间几何体的外接球和内切球是近3年的高考命题热点，常以选填为主，但也会考察解答题，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是考察外接球和内切球表面积体积问题．预测2026年：空间几何体的外接球和内切球会考一道中档选填试题，重点考察外接求问题热点题型：题型01正四面体的外接球和内切球题型02正棱锥，圆锥的外接球问题题型03正棱台圆台的外接球题型04四面体对棱相等的外接球题型05直棱柱外接球模型题型06三棱锥外接球墙角模型题型07等体积法解决内切球题型08常见正多面体的外接球题型01正四面体的外接球和内切球解｜题｜策｜略四个全等\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"正三角形围成的空间\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"封闭图形，所有\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"棱长都相等.假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则.【精选例题】【例1】一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【例2】已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．已知体积为的球O与正四面体的四个面均相切，且与正四面体的六条棱均相切，则正四面体与的表面积的比值为（

）A．6 B． C． D．32．若正四面体的棱长为a，P是棱上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r，则（

）A．B．C．正四面体棱切球的体积为D．若是棱的中点，则当最小时，题型02正棱锥，圆锥的外接球问题解｜题｜策｜略正棱锥，圆锥的外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或.【精选例题】【例1】若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（

）A． B． C． D．3【例2】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（

）A． B． C． D．【例3】已知圆锥的轴截面为正三角形，且圆锥的体积为，若该圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为.2．已知正三棱锥的高为，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，则三棱锥体积的最大值是（

）A． B． C． D．3．已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（

）A．8 B． C． D．2题型03正棱台圆台的外接球解｜题｜策｜略正棱台圆台的外接球的球心均在高上【精选例题】【例1】若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（

）A． B． C． D．【例2】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【例3】如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为.【变式训练】1．（多选题）已知正三棱台上、下底面的边长及高分别为，，2，则正三棱台的（

）A．斜高为 B．体积为C．侧棱与底面所成的角为 D．外接球的表面积为2．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为．3．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长.清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为;的外接球的表面积为.题型04四面体对棱相等的外接球解｜题｜策｜略若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图2所示【精选例题】【例1】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【跟踪训练】1.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是．2.三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的表面积为.题型05直棱柱外接球模型解｜题｜策｜略①侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.②外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点③计算公式：设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.【精选例题】【例1】在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．【例2】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个正三棱柱的表面积为，则这个球的体积为．【变式训练】1．在直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为.题型06三棱锥外接球墙角模型解｜题｜策｜略墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出【精选例题】【例1】已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【例2】在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1.三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．2．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．在四面体ABCD中，，则四面体的外接球的体积为．题型07等体积法解决内切球解｜题｜策｜略即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第1步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第2步：设内切球的半径为，建立等式：第3步：解出【精选例题】【例1】已知正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．【例2】分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体的外接球与内切球的表面积之比为（

）A．4 B．3 C．2 D．【例3】已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．若半径为的小球可以在棱长均为的四棱锥内部自由转动，则的最大值为（

）A．B．C．D．2．已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（

）A． B． C． D．3.正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于.5．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为．题型08常见正多面体的外接球解｜题｜策｜略找出球心的位置进行解决【精选例题】【例1】“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（

）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过，，三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的表面积为【例2】已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（

）A． B． C． D．【例3】化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（

）

A．正八面体的外接球体积为B．正八面体的内切球表面积为C．若点为棱上的动点，则的最小值为D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值【例4】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则（

）A．该半正多面体的表面积为B．该半正多面体的体积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．若点，分别在线段，上，则的最小值为【例5】中国古建筑闻名于世，源远流长.如图①所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图是如图②所示的五面体，在图②中，四边形为矩形，，与是全等的等边三角形，则（

）A．五面体的体积为B．五面体的表面积为C．与平面所成角为D．当五面体的各顶点都在球的球面上时，球的表面积为【例6】如图1，《卢卡·帕乔利肖像》是意大利画师的作品．图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2．若，则（

）A．B．水晶多面体外接球的表面积为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为【变式训练】1．古希腊哲学家发现并证明了只存在5种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，其中正八面体是由8个等边三角形构成．正八面体在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，另外在晶体和材料科学中也被广泛应用．现有一个棱长为2的正八面体，如图所示，下列说法中正确的是（

）A．若点在同一个球的球面上，则该球的体积为B．若该正八面体的12条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为C．该正八面体内任意一点到8个侧面的距离之和为定值D．已知正方体的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为2．截角四面体是由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为2的截角四面体，则（

）

A．直线与平面所成角为B．C．该截角四面体的表面积为D．该截角四面体外接球的表面积为3.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，则（

）A．十面体的上、下底面之间的距离是B．十面体的表面积是C．十面体外接球球心到平面ABE的距离是D．十面体外接球的表面积是4．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（

）（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为B．若，则该几何体的表面积为C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为5．我国古代《九章算术》中将底面为矩形，顶部为一条棱，且棱与底面平行的五面体称为刍甍，如图，刍甍有外接球，且，，，，则该刍甍外接球的表面积为.6．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），则剩余中间部分八面体的外接球的表面积为.7．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．（建议用时：60分钟）一、单选题1．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(25-26高三上·河北邯郸旭日中学·月考)在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．4．在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·福建福州六校·)如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（

）A．3 B．6 C．9 D．186．(25-26高三上·湖北云学联盟·月考)在正三棱柱中，为边上的中点，平面过点且与平面所成的锐二面角为，平面与线段相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7．(25-26高三上·山东威海文登区·期中)某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（

）A． B． C． D．8．(25-26高三上·福建福州恒一高级中学·)已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．9．已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（

）A． B． C． D．10．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题11．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·期末)如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（

）A．若为的中点，则为的中点B．若，则四棱锥的体积为C．平面平面D．三棱锥的外接球的体积为12．（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（

）A．异面直线与所成的角为45°；B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为；C．若点为棱上的动点，则的最小值为；D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，则（

）．A．该圆锥的体积为B．三棱锥的外接球表面积为C．的面积的最大值为D．三棱锥的体积的最大值为114．(25-26高三上·江西（上进联考）·模拟)已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（