2026年高考数学二轮复习专题03 函数图象及性质应用（复习讲义）（解析版）

专题03函数图象及性质应用目录01析·考情精解 ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的最值前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值题型1函数定义域、值域、解析式1．（2025·天津·模拟预测）函数的大致图象是（

）．A．B．C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为，排除选项D；，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；当时，；当时，，排除选项C；综上所得，选项B符合题意．故选：B．2．（2024·天津·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.3．（2024·天津·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确；B选项：函数定义为，，是奇函数，函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确；C选项：函数定义为，，是奇函数，因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确；D选项：函数定义为，，是奇函数，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，D选项不正确.故选：C.4．（2023·天津·模拟预测）函数的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由知，，排除C选项；函数没有定义，排除B；时，，根据指数函数的单调性可知，，又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D.故选：A.5．（2022·天津·模拟预测）已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项，的定义域为，故和图象不合，舍去；B选项，当时，，与图象不合，舍去；C选项，定义域为，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，与图象符合，D选项，定义域为，在上恒成立，故在上均单调递减，与图象不合，舍去；故选：C6．（2025·天津河北·一模）设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为．【答案】【详解】由在区间[2,3]上的值域为[−2,6],可设,-因为是定义在上以1为周期的函数，所以,同理，，，于是在上的最小值是，，于是在上的最大值是,所以函数在上的值域为.故答案为;题型2函数单调性、周期性、奇偶性、对称性7．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】为偶函数，为非奇非偶函数，为奇函数，为非奇非偶函数.故选：A.8．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】的定义域为R，则，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；又因为，故排除B选项.故选：A．9．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意；令，则，所以是偶函数，不符合题意；令，则，所以是偶函数，不符合题意；令，则，所以是奇函数，符合题意．故选：D．10．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以，又，任取，且，则，则，故在上单调递增，又由对数函数的单调性可得，所以，即.故选：D11．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误；对于B，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误；对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确.故选：C.12．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A：，当时，，故排除A；对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B；对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D；对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确.故选：C．13．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括，这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D.由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中，因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.故选：A.14．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，恒成立，则，因为定义域为的函数满足，当时，，当时，，则，因为，此时；当时，，则，因为，则，则，所以，所以，函数在上的最小值为，所以，，即，即，解得或.因此，实数的取值范围是.故选：A.题型3函数零点所在区间及分段函数值域求参问题15．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是.【答案】或【详解】当时，方程为，不成立，所以恰有3个不同的实数解，；原方程可化为恰有3个不同的实数解，令，即的图象有3个不同的交点，当时，，当时，，当时，，当时，，，的图象如下，由图可知，当，且与相切时，由，所以，,所以（另一解舍去），若要有3个不同的交点，则；，的图象没有3个不同的交点；当，且与相切时，由同理可得（另一解舍去），当过时，，当，不符合题意；若要有3个不同的交点，则；综上所述，或.故答案为：或.16．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为．【答案】【详解】因为,所以，即，整理得．因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解.令，则函数与的图象有两个交点.①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意；②当时，易知，且，令,得,，令,得,若与的图象有两个交点，需满足，解得．③当时，易知．由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得．综上，实数的取值范围为.故答案为：.17．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是.【答案】【详解】，即，当时，，即，故满足要求，若，则无解，若，则，解得不满足；若，则的解，若，则的解，且当时，，故当时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，时，，显然当时，无解，当且时，，令，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故在，，上单调递增，在，上单调递减，又时，，其中，，，，画出的图象如下：当或或或时，有一个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点，当时，无零点，综上：最多有4个零点，则.故答案为：.18．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】若，则等价于，解得或，当或时，函数是二次函数，其零点不超过两个，从而必然有且，的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4，如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根，且经过直线所过的那个定点，由求根公式可求得点的横坐标为，从而，所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率，显然有，联立直线与得，，从而有，解得或（舍去），舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况，一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点，从而，所以时，，即，解得，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根，且经过直线所过的那个定点，由求根公式可求得点的横坐标为，从而，所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率，显然有，联立直线与得，，从而有，解得或（舍去），舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况，一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点，从而，所以时，，即，解得或，综上所述，所求为.故答案为：.19．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为．【答案】【详解】由已知有，即，则由，可得，即，解得．同理，有，解得，或，故，或，因此．当时，有，解得，满足题意；当时，有，解得，满足题意；当时，有，不符合题意；当时，有，不符合题意．综上，方程所有解的和为．故答案为：20．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】设，则，情形一：当时，，解得或，因为，故不可能有，从而只能是有唯一的解，这就要求，当时，，解得，当时，，解得，这与矛盾，此时满足题意的的取值范围是；情形二：当时，，解得，这就要求，由于，故只能是，解得，这就要求，此时满足题意的的取值范围是；综上所述，满足题意的的取值范围是.故答案为：.21．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意可知，由可得，可得，所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示：由可得或，结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根，，由韦达定理可得，，因为，则，、为方程的两根，即方程的两根，，可得，故，由韦达定理可得，，因为，所以，所以，令，，所以，对任意的，，则，即对任意的恒成立，所以，函数在上单调递减，且，，故当时，，因此，的取值范围是.故答案为：.22．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是．【答案】【详解】，即，当，，，所以不是交点横坐标；当时，，即，令，则，所以的图象与有3个交点，即函数与的图象有3个交点，函数恒过点，当，即，，即，解得或，当，解得或，所以函数与相切时的最小值为或，由图象可知当（1）时，即；（2），即时函数与的图象有3个交点，综上：当时，的图象与有3个交点，故答案为：.考点二基本初等函数1．（2025·天津·高考真题，7，5分）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B2．（2024·天津·高考真题，5，5分）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：D3．（2024·天津·高考真题，2，5分）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.4．（2023·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D5．（2022·天津·高考真题，3，5分）化简（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】原式，故选：C6．（2022·天津·高考真题，5，5分）设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，故.故选：D.7．（2021·天津·高考真题，3，5分）若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】，，.故选：C.8．（2020·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以.故选：D.9．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【详解】；；．故．故选A．10．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，故，所以．故选A．知识1指数运算及指数函数1.指数基本运算1、有理数指数幂的分类⑴正整数指数幂⑵零指数幂⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2、有理数指数幂的性质⑴⑵⑶⑷②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.3.指数函数的图象及其性质指数函数及其性质Ⅰ概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.Ⅱ指数函数的图象与性质函数a>10<a<1图象最特殊点即图象都过性质①定义域R值域②即当图象都过定点(0，1)，③即不是奇函数也不是偶函数④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函数⑤在(－∞，＋∞)上是减函数注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论. ②当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快. 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减速度越快.4.涉及指数分段函数判断参数的取值范围形如：①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.知识2对数运算及对数函数1.对数基本运算对数运算法则①外和内乘：②外差内除：③提公次方法：④特殊对数：⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：2、对数的定义一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数3、换底公式①常用换底②倒数原理③约分技巧④具体数字归一处理：2.对数函数的图象及其性质对数函数及其性质Ⅰ概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).Ⅱ对数函数的图象与性质由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称即可，当然也分和两种情况讨论，讨论如下a>10<a<1图象性质①定义域：(0，＋∞)②值域：R③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函数⑤在(0，＋∞)上是减函数注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论.②当时，的值越大，图象越靠近轴.当时，的值越小，图象越靠近轴.3.指对数大小比较问题指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.核心思想一：同步《升降》次法 形如：注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分离常数再比大小当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较. ① ②口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.形如：则存在，或模型演练：①比较与的大小根据糖水不等式，令，即故②比较与的大小根据糖水不等式，令，即故口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大.核心思想四：由引出的大小比较问题如图所示：①在在，在时，取得最大值且为②极大值左偏，且③若，则若，则口诀：大指小底永为大（大小指）4.涉及对数分段函数判断参数的取值范围形如：①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.【易错提醒】幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.件题型1对数的实际应用1．（2025·天津·二模）目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（

）A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟【答案】C【详解】设充电时间为分钟，所以，即，同时取自然对数，因此最少需要约32分钟，故选：C2．（2025·天津河东·二模）我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（

）A．36 B．33 C．32 D．31【答案】D【详解】∵，∴，∴是31位数.故选：D.3．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由可得，由可得，因此，但，因此命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A4．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，解得，，所以，，由，即对任意的正整数n都成立，所以，解得，，所以.故选：C5．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（

）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】C【详解】设城区的压强为，四明山的压强为，由题意得，，两式作除法可得，解得，对于目标点，可得，由已知得，两式作除法可得，解得，则，在内，故C正确.故选：C6．（2025·天津·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（

）（参考数据：）A．12 B．15 C．18 D．20【答案】C【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得，令经过天后蓝藻增长为原来的5倍，则，即，可得天.故选：C7．（2025·天津·模拟预测）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（

）A．km B．km C．km D．km【答案】B【详解】由题意得，即，化简得，解得，代入得，当时，得，化简得，两边取对数得，解得.故选：B.8．（2024·天津·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（），）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶，则满足：，化简得：，根据是增函数可得：，即，因为，所以，所以他至少要经过2小时后才能驾驶.故选：B.题型2指对幂比较大小9．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，，所以.故选：B.10．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由对数运算性质可得，故选：D．11．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，，可得，，因为对数函数为上的增函数，则，幂函数在上为增函数，则，故.故选：D.12．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，即；又，所以，故选：D．13．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，则，，，即，，接下来比较和的大小关系，因为，而，则，根据幂函数在上单调递增得，即.故.故选：D.14．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【