2026届高考二轮专题复习：答题模板17 球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧 12类核心题型（方法+题型+实战）（原卷版）

1/2答题模板17球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、球心不确定、内切、棱切）有关的12类核心题型目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一特殊几何体外接球的应用及解题技巧方法二墙角问题外接球的应用及解题技巧方法三对棱相等问题外接球的应用及解题技巧方法四侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧方法五侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧方法六二面角与球体综合的应用及解题技巧方法七数学文化与球体综合的应用及解题技巧方法八最值与球体综合的应用及解题技巧方法九球心不确定类型的应用及解题技巧方法十内切球综合应用及解题技巧方法十一棱切球综合应用及解题技巧方法十二球体在解答题中的应用及解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】特殊几何体外接球【题型02】墙角问题外接球【题型03】对棱相等问题外接球【题型04】侧棱垂直底面问题外接球【题型05】侧面垂直于底面问题外接球【题型06】二面角与球体综合【题型07】数学文化与球体综合【题型08】最值与球体综合【题型09】球心不确定类型【题型10】内切球综合应用【题型11】棱切球综合应用【题型12】球体在解答题中的应用第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）球体与多面体的接切问题，是立体几何考查空间想象、模型识别与代数运算能力的综合性载体。试题以外接球、内切球、棱切球为核心，通过嵌入特殊几何体（如墙角模型、对棱相等模型）、特定线面关系（侧棱垂直底面、侧面垂直底面）及二面角条件，综合考查球心确定、半径计算、接切转化等核心能力。近年来，试题常融入数学文化背景或与最值问题结合，强调在复杂情境中对几何关系的提取与建模。核心考查三大方向：模型识别与球心定位：快速识别补形（长方体、圆柱）与定义（外接球心到顶点等距、内切球心到面等距、棱切球心到棱等距）两大路径，准确确定球心位置。条件转化与半径计算：将“侧棱垂直底面”、“二面角大小”等条件转化为截面图中的几何关系（常利用勾股定理、正弦定理、解三角形），建立关于半径的方程。接切关系与最值应用：处理内切球时利用等体积法，并与函数、不等式结合求球半径或体积的最值。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）球心确定困难：面对不特殊的多面体时，缺乏利用“球心在过截面外心且垂直截面的直线上”这一核心性质进行定位的能力。模型识别僵化：机械记忆“墙角”、“对棱相等”等模型结论，条件稍作变化或组合（如“侧面垂直于底面”）便无法分析。接切关系混淆：混淆内切球（与所有面相切）与棱切球（与所有棱相切）的几何特征与计算公式。最值求解路径单一：处理动态球半径最值时，仅依赖几何直观，不善于建立目标函数（如将半径表为某一变量的函数）后利用导数或不等式求解。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、球心不确定、内切、棱切）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、基础公式/基础结论1.球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR32.底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半3.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.4.正棱锥类型h−R2+二、二级结论1.墙角模型（三条直线两两垂直）补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).2.对棱相等推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a,b侧棱垂直与底面-垂面型，R=4.侧面垂直与底面-切瓜模型如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2如图：:平面PAC⊥平面BAC（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ

（5.二面角问题基本原理如下图,所示为四面体P−ABC,已知二面角P−AB−C大小为α,其外接球问题的步骤如下:

(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.

(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.

(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D如图,设O1、O2为面PAB与面CAB的外接圆圆心,其半径分别为r1、r2,两相交面的二面角P−AB−C记为α,公共弦为AB的弦长为,四面体P−ABC球O的半径R.两圆O1、O2的弦心距:DOR2=r12+r2R6.内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:V⇒VP−ABC=1结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.技法归纳方法一特殊几何体外接球的应用及解题技巧核心思路：对于具有特殊结构（如长方体、正方体、正棱柱、正棱锥等）的几何体，可直接利用其几何性质或已知公式求解外接球半径。适用情形：长方体/正方体：体对角线为外接球直径。圆柱体：外接球直径等于圆柱体轴截面对角线长。正棱柱/直棱柱：底面为正多边形，侧棱垂直于底面。正棱锥：顶点在底面的投影为底面外心。解题步骤与技巧：识别几何体类型：判断几何体是否为长方体、正棱柱、正棱锥等特殊几何体。确定球心位置：长方体/正方体：球心为体对角线交点。圆柱体：球心在圆柱中轴线的中点。正棱柱：球心在上下底面外心连线的中点。正棱锥：球心在过底面外心且垂直于底面的垂线上，具体位置需计算确定。例题1棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．例题2（2025·陕西西安·三模）已知圆锥底面半径为，母线长为，若球的半径与圆锥的高相等，则球的表面积为（

）A． B． C． D．例题3（2025·广西河池·三模）已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．方法二墙角问题外接球的应用及解题技巧对于三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型），可将其补形为长方体，利用长方体的外接球公式求解。例题4在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为．方法三对棱相等问题外接球的应用及解题技巧对于对棱长度分别相等的四面体，可将其视为长方体的一部分，通过补形法求解。例题5四面体中，，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是．方法四侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧核心思路：对于侧棱垂直于底面的棱锥（直棱锥），其外接球球心在过底面外心且垂直于底面的直线上，利用勾股定理建立方程求解。适用情形：棱锥的侧棱垂直于底面（即PA⊥底面ABC常见于直三棱锥、直四棱锥等。解题步骤：1.确定底面外心O1:根据底面多边形形状，确定其外接圆圆心O12.设球心位置：设球心O在过O1且垂直于底面的直线上，且3.建立方程：球心O到底面各顶点距离相等：OA=R,且球心O到顶点P的距离：OP=R,且OP2=h−d2(若4.联立求解：通常有d2+r2=5.化简公式：对于直棱锥，常得公式R=关键技巧：准确判断球心位置：若h>2r,球心在棱锥外部；若h<2熟记直棱锥外接球半径公式R例题6已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．方法五侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧对于侧面与底面垂直的几何体（如正棱台、某些特殊棱锥），外接球球心位于两个垂直平面的交线或中垂面上，需综合两个平面的外心性质求解。例题7三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例题8如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．方法六二面角与球体综合的应用及解题技巧当几何体与球体结合，且涉及二面角时，往往需要利用二面角的平面角，将立体问题转化为平面几何问题，结合球的性质求解。例题9（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例题10（25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为．方法七数学文化与球体综合的应用及解题技巧核心思路：将古代数学问题、实际应用场景与球体知识结合，通常需要先理解背景，抽象为数学模型，再运用球体相关公式或性质求解。例题11（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（

）A． B． C． D．例题12（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（

）（注：取3，1丈尺）（

）A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺方法八最值与球体综合的应用及解题技巧核心思路：求与球体相关的几何量的最值（如距离、面积、体积），通常需要建立目标函数，然后利用导数、基本不等式或几何性质求解。常见最值问题：距离最值：球面上两点间距离、点到球面的距离。面积/体积最值：球的内接/外切几何体的表面积、体积最值。角度最值：球内或球面上某点对某线段所张角的最大/最小值。解题步骤：明确变量与目标：设出关键变量（如角度、长度），写出目标表达式。建立函数关系：利用几何关系（勾股定理、余弦定理、相似等）建立目标关于变量的函数。选择求最值方法：二次函数：配方法求最值。三角函数：利用有界性。基本不等式：注意等号成立条件。导数法：对复杂函数求导。结合几何意义验证：最值点往往在对称位置或边界取得。例题13（2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（

）A． B． C．3 D．例题14（2025·江苏·模拟预测）已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为.例题15（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为.例题16（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是．方法九球心不确定类型的应用及解题技巧当球心位置不易直接判断时，利用“球心到球面上任意一点距离相等”这一根本性质，通过列方程（或方程组）求解球心坐标和半径。首先，要仔细观察和分析题目给出的图形和条件，明确所求的目标。然后，可以尝试利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为代数问题。在这一过程中，需要巧妙地设定点的坐标，并合理利用向量的数量积、模长等公式。另外，还可以结合立体几何中的性质定理和判定定理，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等，以及等体积法、割补法等技巧，来进一步求解。在解题过程中，要保持清晰的思路，逐步推导，避免陷入思维定势。同时，要注意对题目中的特殊条件进行充分挖掘和利用，这些特殊条件往往能简化解题过程。通过不断练习和总结，可以逐渐掌握这类问题的解题技巧，提高解题效率和准确性。例题17（2024·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．例题18已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例题19已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为．方法十内切球综合应用及解题技巧利用“内切球球心到几何体各面的距离相等（等于球半径）”的性质，常通过体积法（分割几何体）或等面积法建立关系求解。解题步骤：1.确定球心位置：内切球球心I在多面体各个面的角平分面（即二面角的平分面）的交点上。对于正多面体或锥体，球心在特殊位置（如正棱锥的高线上）。2.利用体积法（万能方法）：将多面体分割成以球心I为顶点，各面为底面的若干个小棱锥。整个多面体的体积V等于这些小棱锥体积之和：V=因此，内切球半径r=3.对于正棱锥的特殊公式：设正棱锥高为h,底面边长为a,侧面斜高为l。可利用相似三角形：r=hr关键技巧：体积法r=对于正多面体，有固定公式，如正四面体棱长为a,则r=例题20（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．例题21（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（

）A． B． C． D．例题22（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（

）A． B． C． D．方法十一棱切球综合应用及解题技巧核心思路：棱切球（与多面体所有棱都相切的球）的球心到各棱的距离相等（等于球半径）。常将问题转化为球心到各棱的距离计算，或利用“球与直线相切，球心到直线距离等于半径”的性质。解题步骤：1.确定球心位置：棱切球球心在多面体各二面角的角平分面交线上，且到各棱距离相等。对于正多面体，球心与重心重合。2.求球心到棱的距离：向量法（通用）：建立坐标系，求球心坐标，再用点到直线距离公式。几何法：对于正多面体，常利用对称性，在某个截面中求球心到棱的垂线段长度。3.建立关系求解：以正四面体为例：棱长为a,棱切球半径r等于球心到棱的距离。球心在正四面体的高上，通过构造直角三角形河求得r=以正方体为例：棱长为a,棱切球半径r=关键技巧：正多面体的棱切球半径有固定公式，可记忆。一般多面体的棱切球问题较少见，若出现，通常具有高度对称性，可转化为求球心到某条特定棱的距离。例题23如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是.例题24边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为．例题25已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为．例题26已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（

）A． B． C． D．方法十二球体在解答题中的应用及解题技巧在高考或模拟考的解答题中，球体问题常作为压轴或综合题出现，需串联多个知识点（如空间向量、立体几何、函数最值、解析几何），考查综合分析与计算能力。例题27（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，．(1)求证：平面平面；(2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积．例题28（2025·辽宁大连·一模）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，在棱上有一动点，连接，，.

(1)求证：当平面与平面所成夹角余弦值为时，为棱中点；(2)若时，设三棱锥的外接球球心为，连接.(i)若平面，求外接球的表面积;(ii)若，求此时的长.例题29（2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，G，H.

(1)求证：；(2)试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由.模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。【题型01】特殊几何体外接球（共4题）1．（2025·山东泰安·模拟预测）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·江西·月考）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·宁夏吴忠·月考）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【题型02】墙角问题外接球（共5题）5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．6．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为．7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为.8．已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为A． B． C． D．【题型03】对棱相等问题外接球（共5题）10．（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．11．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．12．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．13．已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为.14．（2025·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【题型04】侧棱垂直底面问题外接球（共6题）15．在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．16．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．17．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（

）A．1 B． C． D．218．在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=10且PA=2BC，则该三棱锥的外接球的体积为.19．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（

）A．10π B．12π C．16π D．20π20．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【题型05】侧面垂直于底面问题外接球（共5题）21．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．22．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．23．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．24．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．25．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（

）A．5π B．10π C．28π D．56π【题型06】二面角与球体综合（共5题）26．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．27．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．28．（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为.29．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（

）A． B． C． D．30．如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为．

【题型07】数学文化与球体综合（共4题）31．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．32．（24-25高三上·湖北武汉·期末）葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（

）（）A． B． C． D．33．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（

）A． B．2 C．3 D．434．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（

）A． B． C． D．【题型08】最值与球体综合（共8题）35．（2025·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是．36．（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．37．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（

）A． B． C． D．38．（24-25高三上·湖北·期末）正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．39．（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（

）A． B． C． D．40．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．41．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．42．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【题型09】球心不确定类型（共6题）43．如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（

）A． B． C． D．45．三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（

）A． B． C． D．46．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（

）.A． B． C． D．47．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．48．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B．π C． D．【题型10】内切球综合应用（共5题）49．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（

）A．48π B．36π C．24π D．12π50．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体不计厚度的体积为（

）A． B． C． D．51．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．1652．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（

）A． B．C． D．的大小不确定53．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【题型11】棱切球综合应用（共5题）54．（24-25高三上·江苏·月考）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．55．已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（

）A． B． C． D．56．已知四面体的每条棱长都为2，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为（

）A． B． C． D．57．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（

）A． B． C． D．58．点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）A． B．C． D．【题型12】球体在解答题中的应用（共5题）59．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面．(1)求证：平面；(2)若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为．①求的最大值；②当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积．60．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．

(1)证明：；(2)设．（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．61．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为的中点，，将沿翻折至，此时．(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥外接球的表面积；(3)若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角