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1/5证明不等式的基本方法【典型例题】例1证明下列不等式(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)(2)若x，y，z∈R+，且，则 【考点解析】本题主要考查了证明不等式的三种基本方法：比较、分析、综合。这种题目在高考试卷的选做题里出现过，一般难度不大。【答案】证法1：且，证法2：且，【方法技巧】(1)除了作差后再配方的方法以外，还可以用综合法把右边的每一项拆开，然后直接用均值不等式。（2）注意到不等式的两边一边是分式，一边不含分式，所以用已知的进行调节。例2已知x,y∈R+,且x+y>2,求证:中至少有一个小于2证明:(反证法):假设均不小于2,即≥2,≥2,∴1+x≥2y,1+y≥2x将两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾,故中至少有一个小于2例3等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立【考点解析】本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用放缩法证明不等式。数列与不等式的交汇题目是高考常考的题型。【答案】（1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则,所以【方法技巧】注意到等式的右边有根式，所以把左边也写成根式的形式，之后为了能够乘法相销把左边的通项放缩为了。变式训练3证明不等式(n∈N*)例4设a，b，c为正实数，求证：．证明：因为为正实数，由平均不等式可得即所以，而所以例5选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。[解析]本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。（方法一）证明：因为实数a、b≥0，所以上式≥0。即有。（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。例6（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。证明：（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故.又③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以①同理②故③所以原不等式成立

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