统计知识试题及答案

统计知识试题及答案1.单选题1.1某市调查1200名成年人的每日步数，得到样本均值x¯=8420A.0.185  B.0.195  C.0.205  D.0.215答案：B解析：变异系数CV=。线性变换y=后，新均值y¯=1.2设随机变量X~N(A.  B.  C.  D.答案：A解析：E(1.3在简单随机抽样下，样本容量从100增加到400，则样本均值的标准误将A.减半  B.变为原来1/4  C.变为原来1/√4  D.不变答案：C解析：标准误，n变为4倍，标准误变为=倍。1.4对同一组数据分别建立线性回归y=+x+εA.二次模型一定更大  B.线性模型一定更大  C.二者相等  D.无法确定答案：A解析：调整惩罚复杂度，但二次模型因新增显著解释变量，其增加的解释力足以抵消惩罚，故调整必上升。1.5设,…,为来自U(0,θ)A.无偏估计  B.最大似然估计  C.矩估计  D.贝叶斯估计答案：A解析：E()=1.6在双因素方差分析中，若交互作用显著，则A.主效应检验失去意义  B.主效应检验仍可进行但需解释交互  C.误差项自由度增加  D.总平方和减少答案：B解析：交互显著说明因素效应依赖彼此水平，主效应仍可在边际均值层面解释，但需结合交互图。1.7对0–1变量序列,…,，样本比例p^A.  B.  C.  D.答案：A解析：伯努利总体方差p(1−p)1.8若X~Poisson(A.λ  B.  C.λ+  D.−答案：C解析：Var(1.9在Bootstrap置信区间构造中，若原始样本存在极端异常值，则A.百分位区间仍稳健  B.BCa区间可自动校正偏态  C.样本量足够大则无关  D.必须删除异常值答案：B解析：BCa（偏差校正加速）区间通过估计偏态与加速系数，对异常值导致的分布偏斜进行修正。1.10对同一总体，采用不放回简单随机抽样抽取10%个体，与放回抽样相比，估计量的方差A.更大  B.更小  C.相等  D.取决于总体大小答案：B解析：不放回抽样利用有限总体校正因子1−2.多选题2.1下列哪些统计量对尺度变换具有不变性A.皮尔逊相关系数  B.斯皮尔曼等级相关系数  C.变异系数  D.偏度系数答案：A、B解析：尺度变换即线性变换a+bX2.2关于逻辑回归，正确的有A.参数估计可用Newton-Raphson  B.因变量可为多分类  C.系数符号表示边际效应方向  D.似然比检验比较嵌套模型答案：A、B、D解析：逻辑回归系数符号仅说明自变量增加时logit增减方向，边际效应还依赖当前概率值，故C错。2.3下列哪些方法可用于检验正态性A.Jarque-Bera  B.Shapiro-Wilk  C.Kolmogorov-Smirnov  D.Q-Q图答案：A、B、C、D解析：四者均为经典正态性诊断工具。2.4在时间序列中，若ACF拖尾、PACF截尾，则可能模型包括A.AR(1)  B.AR(2)  C.MA(1)  D.ARMA(1,1)答案：A、B解析：PACF截尾提示纯AR模型，阶数由截尾点确定。2.5关于主成分分析，正确的有A.主成分方向使投影方差最大  B.各主成分正交  C.第一主成分对应最小特征值  D.可用于降维去噪答案：A、B、D解析：第一主成分对应最大特征值，C错。3.填空题3.1设X~t(答案：0.025解析：查t分布表，双侧0.05对应单尾0.025。3.2若样本偏度==答案：=解析：正态假设下偏度标准误。3.3对2×答案：0.5解析：Yates校正每项减0.5后取绝对值。3.4若随机变量X的矩母函数(t)=答案：2解析：对应卡方分布(k)，方差3.5在控制图应用中，若过程均值发生1.5倍标准差偏移，则CUSUM图相对于常规Shewhart图平均运行长度ARL的减少比例约为________%（取整）。答案：73解析：查CUSUM表，ARL由370降至100，减少73%。4.计算题4.1某生产线袋装食品标称500g，标准差未知。随机抽取16袋，测得平均495g，样本标准差8g。（1）求均值95%置信区间；（2）若要求估计误差不超过2g，在同样标准差下至少需抽取多少袋？答案：（1）n=16，(15（2）n≥4.2设(X,Y)服从二元正态，=1，=2，（1）求E(（2）求Var(答案：（1）回归线E(（2）条件方差(14.3某电商平台测试两种页面设计，随机分配1000名用户，A组600人，转化84人；B组400人，转化48人。（1）构建转化率差异的90%置信区间；（2）在显著性水平0.1下，能否认为两种设计转化率不同？答案：（1）=0.14，=0.12，差异p90%区间0.02±（2）区间含0，故不拒绝原假设，无显著差异。4.4设,…,来自密度（1）求θ的最大似然估计θ^（2）计算E(答案：（1）似然函数L=ℓ令导数为零得θ^（2）令=−ln，则~ExpE存在偏差，非无偏。4.5某城市连续30天记录PM2.5浓度，得序列。经检验样本ACF在滞后1处显著，其余衰减，PACF在滞后1后截尾。（1）写出可能的ARIMA模型；（2）若拟合AR(1)得ϕ^答案：（1）PACF截尾提示AR(1)，ACF拖尾与之一致，模型(1（2）p值0.32>0.05，不拒绝残差白假设，模型充分。5.综合应用题5.1医疗研究追踪200名高血压患者，随机分为两组，各100人。A组采用新药，B组用安慰剂。一年后，A组12人发生心血管事件，B组28人。（1）给出事件发生率差异及相对风险；（2）构建相对风险的95%置信区间；（3）若用Logistic回归调整年龄（连续变量）与性别（二分类），写出模型方程并解释系数意义；（4）假设年龄每增加1岁，事件odds增加3%，求60岁男性相对于50岁女性的odds比（设男性性别编码1）。答案：（1）差异−=0.12−（2）对数变换法：lnRS区间ln0.429±1.96（3）模型log为药物组log-odds差异，调整年龄性别后因果解释。（4）年龄差10岁，odds比=1.34，性别odds比，设=0.5，则总odds比1.345.2某零售公司收集50家门店2023年月度销售额（万元）与周边人口密度（人/平方公里）、竞争对手数量、营业面积（㎡）数据，建立多元线性回归。（1）写出总体回归模型；（2）若VIF显示人口密度VIF=8.5，竞争对手VIF=1.2，营业面积VIF=9.1，请诊断并给出后续处理建议；（3）经Box-Cox变换估计最优λ=（4）若残差呈现轻微漏斗形，应采取何种措施？答案：（1）=++++，其中人口密度，竞争对手数，（2）VIF>5提示人口密度与营业面积存在多重共线，可剔除其一或做主成分/Ridge回归。（3）λ=0.3表明对销售额做（4）漏斗形暗示方差随均值增大，可采用加权最小二乘或对数变换。5.3某质检部门对电子元件寿命（小时）进行抽检，历史数据服从指数分布。现抽取25件，平均寿命850h。（1）在显著性水平0.05下，检验是否低于标准1000h；（2）若真实均值为900h，求检验功效；（3）若改用Gamma分布Gamma(（4）解释为何指数分布常用于寿命建模。答案：（1）指数分布:μ=1000，检验统计量T=2（2）功效P(T<（3）令样本均值X¯=kθ，样本方差（4）指数分布无记忆性，故障率恒定，数学处理简单，适合描述随机失效机制。6.证明题6.1设,…,独立同分布，E()=μ，证明：记∑(E相减得E(∑(6.2对简单线性回归=++，~N(0证明：可写成∑其中=，则∑=0，故Cov7.案例分析简答7.1某社交App进行A/B测试，比较两种推荐算法对用户次日留存率的影响。实验持续7天，每日新增用户10万，随机分流。结果算法A留存率42.1%，算法B41.9%，p值0.018。问题：（1）p值含义；（2）业务是否应全量上线A；（3）若实验仅持续1天，结论是否可靠；（4）如何解释效应量仅0.2个百分点却显著。答案：（1）p值0.018表示若两算法真实留存相同，观察到差异≥0.2百分点的概率为1.8%。（2）需权衡效应量与成本，0.2百分点提升若每日新增10万，则多留存200人，长期价值需折算，若收益高于部署成本可上线。（3）1天数据易受周末效应、外部事件干扰，且新用户留存曲线尚未稳定，结论不可靠。（4）大样本下标准误极小，微小差异也能被检测到，需结合业务意义与置信区间下限判断是否值得。7.2政府统计部门发布季度GDP