探究小数除法在实际问题中的灵活应用-《班级卫生值日优化方案》项目式学习导学案

探究小数除法在实际问题中的灵活应用——《班级卫生值日优化方案》项目式学习导学案一、教学内容分析课标深度解构：本节课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段“数的运算”主题。其知识核心在于“小数除法”运算意义的深化与在真实情境中的复杂应用，具体指向除数是整数的小数除法中，遇到被除数末尾有余数需要添0继续除，以及商中小数点位置的精准定位问题。在单元知识链中，它承接了整数除法意义、小数意义及简单小数除法计算，并为后续学习除数是小数、解决更复杂的实际问题奠定算理与算法基础。过程方法上，本节课是发展学生“运算能力”和“模型意识”的绝佳载体，引导学生从“平均分”的具体情境中抽象出除法算式，通过多元表征（实物、货币、竖式）探索算理，并学习运用估算对计算结果进行合理解释与检验。素养价值渗透方面，旨在通过解决班级生活中的真实问题，培养学生严谨细致的理性精神、学以致用的应用意识，以及在小组协作中制定优化方案的规划能力与合作精神，实现数学育人从知识技能到综合素养的升华。学情诊断与对策：五年级学生已熟练掌握了整数除法的计算方法，理解了小数的意义，并具备了简单小数除以整数的初步经验。然而，本节课的认知障碍点在于：从“分到整数个”过渡到“分到更小的计数单位”（如从“分到元”深入至“分到角、分”），其思维具有抽象性；同时，在竖式计算中何时及如何添“0”继续除，容易因步骤不清晰而产生混淆。部分学生可能受整数除法“余数小于除数”定势影响，对小数除法中“余数”概念的理解存在模糊地带。此外，面对“算出的结果是否合理”这一问题，学生普遍缺乏主动估算验证的意识。基于此，教学调适应采用“脚手架”策略：利用人民币（元、角、分）这一最直观的模型作为认知起点，搭建从具体操作到抽象竖式的思维桥梁；设计关键性提问链，引导学生自主发现“余数末尾添0”的必要性与原理；引入估算活动作为“思维校验器”，让不同思维水平的学生都能找到验证结果的路径，并为学有余力者提供开放式方案设计任务，实现差异发展。二、教学目标知识目标：学生能在“打扫卫生”的具体情境中，深刻理解小数除以整数的运算意义，掌握被除数末尾有余数时，通过添0继续除的计算方法。他们能清晰解释商中小数点对齐的原理，并准确完成相关竖式计算，实现从程序性操作到算理性理解的跨越。能力目标：学生能够灵活运用多种策略（如人民币模型转换、估算）分析和解决小数除法实际问题，并能对计算结果的合理性进行初步判断与解释。在小组合作设计“值日优化方案”的过程中，提升信息提取、数学建模和有条理地表达解决方案的能力。情感态度与价值观目标：学生通过解决身边的数学问题，感受数学与生活的紧密联系，增强参与班级事务的责任感与应用数学的自信。在小组讨论与方案交流中，养成认真倾听、尊重他人观点、理性协商的合作态度。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思维与估算意识。通过将“分配时间/费用”的实际问题抽象为除法模型，强化模型建构能力；通过引导学生在计算前后进行估算，培养其“先估后算、以估验算”的思维习惯，提升思维的批判性与严谨性。评价与元认知目标：引导学生依据清晰的运算步骤标准进行同伴竖式互评；在课堂小结阶段，通过绘制思维导图或结构化列表，反思本课学习的关键节点与策略选择，初步形成对“如何解决一个实际问题”的方法论总结。三、教学重点与难点教学重点：掌握被除数末尾有余数时，在余数后添0继续除的小数除法计算方法，并能正确确定商的小数点位置。确立依据：从课标看，这是对小数除法算理理解深化的关键一步，关乎运算能力的核心——“理解算理、掌握算法”；从知识结构看，此方法是后续学习除数是小数的除法乃至分数除法的逻辑基础，属于承前启后的“枢纽性”知识与技能。教学难点：一是理解“在余数末尾添0继续除”的算理本质（即根据小数的性质，将余数转化为更低级的计数单位继续平均分）；二是在复杂实际问题中，灵活选择估算策略并对商的合理性范围进行有效判断。预设依据：基于学情，从“整数除法余数”到“小数除法可继续分”存在认知跨度，抽象性强；而估算策略的灵活应用需要学生综合调动数感、对情境的理解和近似计算能力，是典型的高阶思维挑战，也是考试中区分能力层次的关键点。突破方向在于强化直观模型支撑与对比辨析。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、分步骤演示的竖式计算过程）、实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制《班级卫生值日优化方案》学习任务单（内含分层探究问题）、人民币学具（虚拟或实物，元、角、分单位卡片）。2.学生准备2.1知识预备：复习整数除法的竖式计算，回顾小数的意义和性质。2.2物品准备：直尺、铅笔、草稿本。3.环境布置3.1座位安排：提前分好46人合作学习小组，便于讨论与方案设计。3.2板书记划：黑板左侧预留核心问题与情境，中部预留竖式计算过程推导区，右侧预留“我们的发现”及“优化方案”展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动1.1（课件出示班级卫生角图片和值日生名单）同学们，新学期我们的班级卫生实行小组承包制。今天，班长遇到了两个“分配难题”，想请大家用数学智慧帮帮忙。1.2难题一：买拖把共花了18.9元，由第一小组6名同学平均分摊，每人应付多少钱？难题二：大扫除时，计划用2.5小时把教室清洁完，如果平均分给5个责任区，每个区域最多能分配多少时间？同学们，这两个问题该怎么列式呢？（预设学生列出：18.9÷6，2.5÷5）大家发现了吗？这都是“小数除以整数”的问题。今天我们就化身“班级事务规划师”，一起探究这类问题的解决方法。1.3路径明晰：我们先从最熟悉的“元角分”模型入手，破解第一个难题的算法奥秘；然后挑战时间分配问题，学会用估算来检验我们的结果是否合理；最后，小组合作设计一份更高效的值日方案。准备好接受挑战了吗？第二、新授环节任务一：破解“分摊费用”——从具体模型到抽象算法教师活动：首先聚焦18.9÷6。“18.9元，如果换成你们手中的‘钱’，是多少元多少角呢？”（引导学生说出18元9角）。接着提问：“第一步，先分什么？怎么分？”引导学生想到先分整元部分：18元÷6=3元，每人分得3元。此时，追问关键问题：“整元分完了，还剩下9角。接下来怎么办？能在竖式中体现出来吗？”请一位学生尝试在黑板上书写竖式至余数3（即1818=0后，落下9）。教师指着余数9（代表9角）问：“这个9表示9角，直接除以6不够每人分1角？那我们能不能把它变得更‘小’一点，方便继续分？”启发联系小数的性质，将9角想成90分，也就是在余数9后面添0，看成90个十分之一。“看，我们把‘9角’变身成了‘90分’，这下就能继续分了！这个过程在竖式上，就是——在余数末尾添0继续除。”教师规范演示添0及后续计算过程，强调商的小数点要与被除数的小数点对齐，并解释“3.15元”即3元1角5分。学生活动：学生利用人民币学具进行想象操作（或画图），理解先分元、再分角、最后分分的步骤。尝试书写竖式，在教师引导下发现余数9（角）无法直接整除时遇到的困难，并理解“添0”操作的实际意义是转换单位。跟随教师演示，完成完整竖式，并口述计算过程。即时评价标准：1.操作与表达的关联性：是否能清晰地将人民币“元、角、分”的分法与竖式计算的每一步对应起来。2.算理表述的准确性：在解释“为什么要在余数后添0”时，能否说出“转换计数单位”或类似本质理解。3.竖式书写的规范性：商的小数点是否对齐被除数的小数点，数位对齐是否工整。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：小数除以整数，当除到被除数末尾仍有剩余时，可以根据小数的基本性质，在余数末尾添“0”继续除。▲易错点提醒：所添的“0”是在余数后面，而不是在被除数末尾随意添加。★算法关键：商的小数点一定要和被除数的小数点对齐，这是保证数位对齐、结果正确的关键。▲思想方法：利用熟悉的实物模型（如人民币）理解和验证算理，是解决抽象计算问题的好方法。“别小看这个‘元’和‘角’的转换，它可是打通整数除法和小数除法的关键桥梁。”任务二：探究“时间分配”——估算先行，验证结果教师活动：转向问题二：2.5÷5。“这次分的是时间，没有‘元角分’那么直观了。先别急计算，大家估一估，每个区域分到的时间会比0.5小时多还是少？为什么？”引导学生思考：2.5小时平均分给5个区域，每个区域肯定不到0.5小时吗？不一定。因为2.5÷5，可以将2.5看作2.5个“1”，平均分成5份，每份是0.5，所以结果大约是0.5小时。“有了估算这个‘指南针’，我们心里就有个大概范围了。现在请大家独立尝试用竖式计算2.5÷5，看看结果是不是在我们预估的范围内。”巡视指导，重点关注学生如何处理“2除以5不够商1”的情况，以及是否记得在商的位置上“先点小数点，再用0占位”。学生活动：先进行口头估算，表达自己的推理（如：2.5的一半是1.25，除以5相当于再平均分，所以比0.5小；或直接想2.5÷5=0.5）。然后独立完成竖式计算，体验“个位不够商1，要商0”的步骤。计算完成后，将结果0.5小时与估算范围进行比对，自我验证。即时评价标准：1.估算策略的合理性：是否能运用“将小数看作整数”或“参照已知事实（如一半）”等方法进行合理估算。2.计算步骤的完整性：竖式中是否体现了“个位不够商1，用0占位并点上小数点”这一关键步骤。3.验证意识的自觉性：计算后是否主动将结果与估算值进行比较，并判断其合理性。形成知识、思维、方法清单：★核心技能：当被除数的整数部分比除数小时，要在商的个位上写“0”，然后点上小数点继续除。★思维习惯：“先估后算，算后再验”。估算不仅帮助预测结果，更是检验计算是否离谱的“安全网”。▲实际应用：时间、长度、质量等任何可以度量的量，其平均分配问题都可以抽象为小数除法模型。“养成估算的习惯，就像给计算上了一道‘保险’，能让你的答案更可靠。”任务三：对比归纳，构建算法结构教师活动：组织学生回顾刚才完成的两道例题：18.9÷6和2.5÷5。“请大家对比一下，在计算小数除以整数时，我们一般会经历哪几个步骤？遇到了哪几种特殊情况？小组内讨论一下，试着用流程图或关键词来总结。”教师巡视，收集各组的总结要点。然后请小组代表分享，教师板书核心步骤：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③如果整数部分不够除，商0，点上小数点；④如果除到被除数末尾有余数，添0继续除。学生活动：以小组为单位，对比两道算式的计算过程，讨论共同点和不同点。合作梳理计算步骤和注意事项，并尝试用自己喜欢的方式（如步骤图、口诀）进行归纳。派代表向全班展示并解释本组的归纳成果。即时评价标准：1.归纳的全面性：是否涵盖了两种特殊情况（整数部分不够商1、末尾有余数）。2.表达的条理性：总结的步骤是否清晰、有逻辑。3.小组协作的有效性：组内是否每位成员都参与了讨论，贡献了想法。形成知识、思维、方法清单：★算法结构化总结：小数除以整数的通用步骤（如上教师板书）。▲认知整合：将新学习的“添0继续除”和“整数部分商0”两种特殊情况，整合到原有的整数除法算法框架中，形成完整知识结构。★学习方法：通过对比、归纳，将具体例题的解法上升为一般性算法，是深度学习的重要方式。第三、当堂巩固训练设计核心：构建分层、变式的训练体系，嵌入于“值日方案”的情境链中。基础层（全员必做）：学习任务单第一部分“快速计算，夯实基础”。包含直接应用算法的小数除法竖式计算，如12.6÷4，5.4÷6等。“请大家先独立完成，完成后同桌交换，按照我们刚总结的步骤当一回‘小老师’，互相检查。”综合层（多数学生挑战）：学习任务单第二部分“情境应用，灵活解决”。1.买6把扫帚共花了24.6元，每把多少钱？2.一瓶1.5升的清洁液，平均分装到3个小喷壶里，每个小喷壶装多少升？“这两道题，除了计算，更要想想你的答案在现实中意味着什么？合理吗？”挑战层（学有余力选做）：学习任务单第三部分“方案初探，开放思考”。提供更复杂信息：教室打扫大致分为“扫地、拖地、擦窗、摆桌椅、清洁讲台”5个项目。现有总时间2小时（即2.0小时）。请你设计一个时间分配方案，让每个项目的时间尽可能合理。你能提出几种不同的分配思路？（不要求精确到无法用有限小数表示的结果）。“这是个开放题，没有唯一答案，关键是你的分配理由和数学思考。”反馈机制：基础层练习采用同伴互评，教师抽查共性错误进行集中点评。综合层练习由教师选取不同解法的学生作品进行投影展示与对比讲评，重点分析估算与精确计算的关系。挑战层任务邀请有想法的学生简要分享思路，重在鼓励创新思维，不作为统一要求。第四、课堂小结设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“回顾今天这趟‘值日规划’之旅，我们在数学上主要收获了哪些‘工具’和‘智慧’？”鼓励学生用思维导图或列表格的方式，从“算法”（怎么算）、“算理”（为什么这样算）、“应用”（能解决什么问题）三个维度进行梳理。教师完善板书结构图。方法提炼：“在解决问题的过程中，我们用到了哪些特别好的策略或思想方法？”引导学生回顾“模型转化”（人民币）、“估算验证”、“归纳总结”等方法，强调其重要性。作业布置：公布分层作业（详见第六部分），并建立联系：“今天我们是规划师，解决了分配问题。下节课，我们将成为‘采购顾问’，看看在小数除法中，如果除数也变成小数，我们又该如何应对这个新的挑战？大家可以提前想一想。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成课本练习中关于小数除以整数（涉及添0继续除及整数部分商0）的基础计算题共5道，要求书写规范，并口头说出每道题的关键计算步骤。2.解决一个简单实际问题：一袋重4.8千克的水果，平均分给8个小朋友，每人分得多少千克？拓展性作业（建议完成）：1.数学日记：请你记录一个生活中遇到或可能遇到的、需要用“小数除以整数”来解决的问题情境，并写出解答过程。2.错题分析：教师提供一道典型错误竖式（如商的小数点位置点错或忘添0），请你诊断错误原因并改正。探究性/创造性作业（选做）：1.项目延伸：进一步完善课堂上的“值日时间优化方案”。你可以调查每个项目实际所需的大致时间，尝试设计一个总时间在1.52小时之间的、更精细的时间分配表，并说明你的设计理由。2.数学探究：研究一下，像1÷3这样的算式，用今天学习的小数除以整数的方法去计算，会出现什么情况？你有什么发现？七、本节知识清单及拓展★1.小数除以整数的运算意义：与整数除法意义相同，即已知两个因数的积（被除数）与其中一个因数（除数，整数），求另一个因数（商）的运算。在实际情境中常表示“平均分”。▲2.算法的核心步骤：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐（这是确保结果正确的关键定位点）；③如果整数部分不够除，在商的个位写0，然后点上小数点继续除；④除到被除数末尾仍有余数，根据小数性质在余数右边添0继续除。★3.“添0继续除”的算理本质：其核心是“计数单位的转换”。当余数表示高级单位（如“元”）无法被整除时，可以将其转化为低级单位（如“角”或“分”，即十分之几元或百分之几元）继续平均分。竖式中的“添0”正是这一转换过程的符号化表达。▲4.易错点警示：(1)忘记点商的小数点，或点错位置（未与被除数小数点对齐）。(2)遇到被除数整数部分不够除时，漏掉商“0”并点小数点这一步，直接开始除小数部分。(3)有余数时不知道该不该添0、何时添0，或添0的位置错误。★5.估算的先行与验证作用：在笔算前对结果进行大致范围的估算，可以预判答案合理性；计算后用估算进行验证，能有效发现计算中的明显错误。例如，计算2.5÷5前，可估得结果约为0.5。▲6.人民币模型的桥梁作用：利用“元、角、分”的十进制关系，为理解小数除以整数的每一步计算（特别是添0继续除）提供了极为直观和有力的现实模型支撑，是化解算理抽象性的有效工具。★7.结果的表示与解释：计算得到的小数商，要根据具体情境赋予其实际意义。如3.15元即是3元1角5分；0.5小时即是30分钟。要养成结合情境解释答案的习惯。▲8.与整数除法的联系与区别：联系在于基本计算法则（从高位除起）相同。核心区别在于对“余数”的处理和“小数点”的管理。整数除法强调“余数小于除数”作为结束标志，而小数除法通过添0将余数转化后，可以继续除至更精确的位数。八、教学反思（一）教学目标达成度分析从假设的课堂实施来看，知识技能目标达成度较高。通过人民币模型与竖式的紧密结合，绝大多数学生能够理解“添0继续除”的原理并规范计算。能力目标中，估算意识的渗透在“任务二”中效果显著，学生能主动进行估测，但将估算灵活应用于方案设计的“挑战层”时，部分学生仍显吃力，说明估算策略的迁移应用需长期培养。情感与价值观目标在小组合作设计方案环节得到较好体现，课堂氛围积极。学科思维目标中的模型意识构建扎实，但模型思维的自觉迁移（如将“元角分”模型迁移到其他度量单位）仍需教师进一步点拨。（二）各教学环节有效性评估导入环节的情境创设成功激发了学生的探究兴趣和责任感，驱动性问题明确。新授环节的“任务链”设计体现了认知阶梯：“任务一”的模型支撑扎实有效，关键提问“怎么办？能在竖式中体现吗？”直击思维节点；“任务二”的“估算先行”设计是亮点，扭转了学生“为算而算”的惯性；“估算这个‘指南针’的比喻，孩子们一下子就记住了。”“任务三”的对比归纳，促使学生将零散知识点系统化，完成了从具体到抽象的飞跃。巩固环节的分层设计照顾了差异，但时间安排上略显紧张，挑战层任务的分享不够充分。小结环节的学生自主梳理，有效促进了知识的内化与结构化。（三）对不同层次学生的表现剖析对于基础薄弱的学生，人民币模型和清晰的步骤口诀起到了关键的“脚手架”作用，他们在基础层练习中表现稳固，但在综合应用时对情境的理解仍是难点。对于中等多数学生，他们能顺利掌握算法，并能完成综合应用，是课堂推进的主体，对估算的理解从“知道要做”到“熟练运用”尚有距离。对于学有余力的学生，他们不仅快速掌握了算法，更对“为什么可以添0”、“估算范围的精确度”等问题表现出探究兴趣，在开放性的方案设计任务中展现了丰富的想象力和初步的优化思想。“如何为这群‘吃不饱’的孩子提供更具思维挑战的‘加餐’，是下一步需要精心设计的。”（四）教学策略的得失与