从“均分”到“建模”：平均数问题的思维跃迁之旅-小学五年级数学思维拓展教学设计

从“均分”到“建模”：平均数问题的思维跃迁之旅——小学五年级数学思维拓展教学设计一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，“平均数”隶属于“统计与概率”领域中的“数据的收集、整理与表达”部分，是学生从具体数据运算迈向数据分析观念形成的关键基石。本讲内容在知识链上，承接了整数四则运算及对“总和”、“份数”的理解，为后续学习更复杂的统计量（如中位数、众数）及概率初步奠定逻辑基础。其认知要求远不止于“总和÷份数”的公式识记与应用，更在于理解其作为“一组数据的集中趋势代表”的统计意义，以及在解决非典型问题时“移多补少”的数学思想与建模能力的初步体验。过程方法上，本课旨在引导学生经历从真实情境中抽象出数学问题、建立“平均数模型”、并运用模型解释与解决问题的完整探究路径，渗透数据处理的基本思想。素养价值层面，平均数教学是培育学生数据意识、模型意识和应用意识的绝佳载体。通过对“公平性”、“代表性”等议题的探讨，能潜移默化地引导学生形成基于数据说话的理性精神，以及在复杂情境中寻找“不变量”与构建等量关系的结构化思维习惯。  对于五年级学生而言，“平均分”的生活经验丰富，但多停留在“等分除法”的算术层面，将平均数视为一个“计算得到的虚拟数”而非“数据集的代表”是其核心认知障碍。思维难点常出现在非标准情境中，如已知平均数反求个别数据、涉及“权”的理解（虽不出现该术语）的加权平均数雏形问题、以及灵活运用“总数=平均数×份数”这一核心关系进行逆向与复合思考。教学中需预设学生易混淆“平均数”与“平均分”得到的具体每份数，以及在解决“移多补少”类问题时，对“总数不变”这一隐含条件的忽视。对策上，将通过创设认知冲突情境、设计直观操作活动（如纸条拼接）、以及构建从具体到抽象的问题链，搭建思维脚手架。同时，利用差异化的探究任务单和即时性评价，动态诊断并支持不同思维速度的学生，确保每位学生都能在“最近发展区”获得思维跃迁。二、教学目标阐述  知识目标：学生能准确阐述平均数的统计意义，理解它是一组数据整体水平的代表值，是一个“虚拟”的数；熟练掌握求算术平均数的基本方法（总和÷份数），并能灵活运用其变式关系“总数=平均数×份数”解决正向与逆向问题；初步感知“移多补少”是求平均数的本质思想，并能在简单情境中应用。  能力目标：学生能够从生活情境中识别出平均数问题，并自主构建数学模型（公式或等量关系）进行求解；在解决稍复杂的平均数应用题时，能够通过画线段图、列表格等策略分析数量关系，清晰表达解题思路；初步具备在小组讨论中，对他人的解题方法进行比较、评价和优化的能力。  情感态度与价值观目标：在探究“如何公平比较”等情境中，体会平均数在促进公平、辅助决策中的价值，增强数据应用的意识；在小组合作解决挑战性任务时，乐于分享自己的思路，并认真倾听、吸纳同伴的见解，感受集体智慧的力量。  数学思维目标：重点发展学生的模型思想与推理能力。通过将多样化的实际问题抽象为统一的平均数模型，强化符号意识与模型建构能力；在分析“移多补少”过程中的变化与不变时，培养初步的变中抓不变的辩证思维和逻辑推理能力。  评价与元认知目标：引导学生尝试使用“思路是否清晰”、“等量关系找得准不准”作为评价解题过程的标准；在课堂小结环节，能够回顾并说出自己本节课思维上最大的突破点是什么，例如“我发现了不能只看公式，关键要找对总数和对应的份数”。三、教学重点与难点  教学重点是理解平均数的统计意义及其作为“数据代表”的本质，并掌握“总数、平均数、份数”三者之间的基本数量关系。确立此为重点，是因为它是整个平均数知识体系的“大概念”，是学生能否超越机械计算、实现思维跨越的核心。从能力立意看，无论是课标要求还是各类思维拓展测评，考察的都是基于此关系的灵活分析与应用能力，而非单纯的计算。  教学难点主要体现在两个方面：一是理解并应用“移多补少”的思想解决非典型问题，特别是当补的“对象”和“来源”不直观时；二是初步理解“权”的影响（如计算混合平均、已知部分平均数求总体平均数等问题）。难点成因在于，学生需要打破对公式的直接依赖，进行更高层次的数学抽象与逻辑构造。这要求学生能洞察问题本质，从“均分”的算术思维转向“平衡”的代数思维，认知跨度较大。预设突破方向是通过直观操作（如磁贴移动）将思维过程可视化，并设计阶梯式问题链，引导学生逐步发现“总量不变”这一恒定关系，从而自主建构解题策略。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含情境动画、梯度练习题）；磁贴或可移动卡片若干（用于演示“移多补少”）；差异化探究任务卡（A/B/C三级）。1.2学习材料：课堂学习任务单（含基础题、探究区与自我评价栏）；板书设计规划（左侧留作核心概念与公式区，中部为主问题与思路分析区，右侧为学生方法展示区）。2.学生准备2.1知识预备：复习乘除法的意义及关系；回忆生活中的“平均”经历。2.2物品准备：直尺、铅笔、草稿本。3.环境布置3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：同学们，学校篮球联赛刚结束，五年级（1）班和（2）班争夺冠军。这是两个班主力队员的身高数据（出示：（1）班：142cm,145cm,148cm,150cm,155cm；（2）班：147cm,148cm,149cm,151cm,155cm）。现在，学校要给冠军队的每位队员订做一套运动服，但经费有限，只能按一个统一的身高来做。你们觉得，用哪个身高来做，对队员们最公平呢？别急着回答，先和同桌讨论一下。1.1核心问题提出：大家提出了用“中间的数”、“出现最多的数”，也有同学说“把所有人的身高加起来再平分”。这个“平分数”就是我们今天要深入研究的——平均数。它到底怎么求？除了公平分东西，它还能告诉我们什么信息？1.2学习路径预览：这节课，我们就一起化身“数据分析师”，首先揭开平均数的“计算面纱”，然后掌握它的核心“关系法则”，最后挑战几个有趣的实际问题，看看谁能成为最会运用平均数的“思维高手”。让我们从最简单的“均分”开始旅程。第二、新授环节任务一：从“均分”操作到概念建立教师活动：首先，让我们回到最熟悉的场景。课件出示：小明有15块糖，平均分给3个好朋友，每人得几块？请学生口答并说说是怎么想的。紧接着，切换情境：如果小明、小红、小刚三人分别有5块、8块、2块糖，老师现在要求他们“最终每人的糖数一样多”，该怎么办？来，拿出你们的任务卡，用准备好的磁贴或画圆片摆一摆，看看有几种方法能达到“一样多”。（巡视，邀请不同方法的学生上台展示）学生活动：动手操作磁贴或画图。预计出现两种主流方法：一是先把所有糖收起来再重新平均分（先合后分）；二是从多的里面拿一些给少的，直到大家一样多（移多补少）。学生上台演示并讲解自己的操作过程。即时评价标准：1.操作过程是否清晰、有序。2.表达时能否说清“把多的移给少的”具体移动了多少。3.能否发现两种方法最终结果相同，且糖的总数没有变化。形成知识、思维、方法清单：★平均数的两种基本求法：“先合后分”（公式法：总数÷份数=平均数）和“移多补少”（直观调整法）。▲核心理解：无论用哪种方法，总数量始终不变。这是解决所有平均数问题的“定海神针”，大家一定要牢牢抓住。任务二：探究“平均数”的特征与关系教师活动：刚才我们通过操作得到了“一样多”的5块糖。现在请大家思考几个关键问题：（1）这个“5块”，是小明、小红、小刚三人中某一个人实际拥有的吗？（2）它比最多的少，比最少的多，是不是总是这样呢？（3）如果我们已经知道平均每人5块糖，并且知道有3个人，你能倒推出什么信息？对，糖的总数就是5×3=15块。来，我们把这个发现写成关系式。学生活动：思考并回答教师提问，认识到平均数是一个“虚拟”的代表值，它介于最大值和最小值之间。在教师引导下，共同推导并默记三个量之间的关系：总数=平均数×份数，平均数=总数÷份数，份数=总数÷平均数。即时评价标准：1.能否用自己语言解释“为什么平均数可能不是实际存在的数”。2.能否根据平均数、份数，快速、准确地反推出总数。形成知识、思维、方法清单：★平均数的三大特征：虚拟性、代表性（集中趋势）、区间性（介于最大最小之间）。★核心数量关系三角：总数、平均数、份数三者知二求一。这是解题的万能钥匙，请大家像记乘法口诀一样熟记于心。任务三：深化理解——“移多补少”中的奥秘教师活动：公式我们清楚了，但有些狡猾的问题，不直接给总数和份数。请看挑战题（板书）：四位同学的平均身高是150厘米，其中三位同学的身高分别是148厘米、150厘米、152厘米，第四位同学多高？大家先别急着算，凭感觉猜猜看。然后，引导思考：能用公式吗？（缺少总数）总数能求吗？怎么求？（150×4=600厘米）现在会算了吗？做完后，再想想，能用“移多补少”的眼光来看吗？比如，把比150多的部分“补给”比150少的部分。学生活动：先猜测，再尝试计算。部分学生能直接利用“平均数是150”，通过移多补少的思路快速判断：148比150少2，152比150多2，150正好持平，所以多出的和缺少的抵消后，第四人必须正好是150厘米。两种方法对比，感受思维差异。即时评价标准：1.能否主动运用“平均数×份数”先求出隐藏的总数。2.能否尝试用“移多补少”的平衡思想进行快速推理或验算。形成知识、思维、方法清单：▲“虚拟补数”法：当知道平均数时，可以将其视为一个基准，分析各数据与基准的差距，利用“超出总量=不足总量”的平衡关系解题。这比单纯计算有时更快捷，是思维进阶的体现。任务四：进阶应用——理解“权”的初步影响教师活动：真实世界的数据往往有“分量”之别。出示新情境：班级第一次口算测试，男生平均分90，女生平均分85，全班平均分一定是（90+85）÷2=87.5分吗？什么情况下才是？如果男生有20人，女生有30人，全班平均分又该怎么算？请大家以小组为单位，用计算或说理的方式探究。我给大家一个小提示：想想“总分数”和“总人数”分别是什么。学生活动：小组展开热烈讨论。通过计算“总分数=90×20+85×30”、“总人数=20+30”，再求平均分，发现结果是87分，而非87.5分。在教师引导下，理解男女生人数不同，意味着这两个“部分平均数”在决定“整体平均数”时的重要性（“权”）不同，不能简单相加再平均。即时评价标准：1.小组讨论时，是否围绕“总分数”和“总人数”展开。2.能否清晰表达“不能简单相加平均”的原因。形成知识、思维、方法清单：★求整体平均数的正确方法：先根据各部分平均数与对应份数求出各部分总数，再相加得总总数，最后除以总份数。▲警惕思维陷阱：部分平均数不能直接进行算术平均，除非各部分“权”（份数）相等。理解这一点，你就击败了90%的同类错误。任务五：综合建模——解决典型复合问题教师活动：现在，我们要综合运用所有武器了。请大家独立审题（学习单）：一个小组同学测体重，平均体重是35千克。已知其中5名同学平均重34千克，剩下3名同学平均重多少千克？请大家先判断这是什么类型的问题？核心要找什么？（找总重和人数）请用你们喜欢的方式（列式、画图）解答，并准备分享。学生活动：独立审题并解答。有的学生分步计算总重量差，有的直接用“总重=平均重×人数”的关系列综合式。完成后，同桌互相讲解思路。即时评价标准：1.解题步骤是否清晰，等量关系使用是否正确。2.能否用两种不同的思路（如先求总重差，或直接设未知数）来解决问题并相互验证。形成知识、思维、方法清单：★复合问题解题通法：1.识别问题：是求整体平均还是部分平均？2.锁定关系：紧扣“总数量=平均数×份数”，将已知条件转化为可计算的部分总数。3.构建桥梁：利用“整体总数=各部分总数之和”这一永恒等量关系搭建方程或算式。这就是数学建模的雏形，大家要细细体会。第三、当堂巩固训练  现在进入“练兵场”，老师设置了三个关卡，看看大家能否灵活运用所学。1.基础巩固关（全体必做）：（1）快速计算：已知5个数的平均数是18，这5个数的总和是多少？（2）判断：小亮班平均身高140厘米，所以他班每个人的身高都是140厘米。（）（3）解决：气象小组测得一周最高气温平均是22℃，已知前六天平均是21℃，第七天气温是多少℃？2.综合应用关（大多数同学挑战）：学校朗诵比赛，评委给一位选手打分：去掉一个最高分98分，去掉一个最低分82分，该选手的平均得分是93分。已知所有评委打分的平均分是92分，请问被去掉的最高分和最低分的平均分是多少？（引导：这里有几组平均数？分别对应哪些数据？）3.思维挑战关（学有余力者选做）：甲、乙、丙三个数的平均数是20，甲、乙两数的平均数是18，乙、丙两数的平均数是23。请问甲、乙、丙三个数各是多少？（提示：你能从条件中分别求出甲、乙、丙两两之和吗？）反馈机制：基础关采取集体核对、手势判断（如判断对错题）；综合关邀请不同解法的学生上台板演并讲解，教师侧重点评思路的多样性；挑战关作为思考题，公布思路提示，鼓励课后继续探究，下节课前请自愿者分享。第四、课堂小结  旅程接近尾声，让我们一起来清点今天的“思维行囊”。知识整合：请大家在笔记本上，用自己喜欢的方式（如气泡图、树状图）梳理本节课关于平均数的核心知识（概念、求法、关系、特征）。方法提炼：回顾一下，今天我们遇到了哪些“狡猾”的问题？我们是用什么“法宝”一一攻克的？（公式、关系式、移多补少、找不变量）作业布置：必做作业是学习单背面的基础练习5道；选做作业有两项，一是寻找生活中一个应用平均数的例子并简要分析，二是尝试解决思维挑战关的题目。下节课，我们将带着平均数的眼光，去探索“行程问题”中的速度秘密。六、作业设计基础性作业（必做）  1.直接写出得数：已知8个数的平均数是25，这8个数的总和是（）。已知总和是360，平均数是9，则共有（）个数。  2.判断对错并说明理由：一组数据中，平均数一定比其中最小的数大。（）  3.计算：小明四次数学测验的平均成绩是89分，第五次测验后，平均分提高到了90分。他第五次考了多少分？  4.简单应用：一个学习小组有6人，在一次公益捐款中，他们平均每人捐款15元。其中5人平均捐款14元，第6人捐款多少元？拓展性作业（建议完成）  设计一个微型调查项目：记录你家连续5天的每日用电量（或阅读时长、步数等），计算这5天的日平均数。并思考：这个平均数能代表你家日常的用电（或阅读、运动）水平吗？为什么？写一份50字左右的简短分析。探究性/创造性作业（选做）  探究“去掉最高分和最低分”规则的意义：假设有7位评委打分，如果不去掉极端分数，选手平均分容易受到什么影响？请你自己设计一组数据（7个分数），分别计算包含全部分数和去掉一个最高、一个最低分后的平均分，比较结果，并写出你的发现和看法。七、本节知识清单及拓展  ★1.平均数的统计意义：平均数是一组数据总体水平的代表值，用来描述数据的“集中趋势”。它代表的是“假设每个人都一样多”时的那个“一样多”的值，具有虚拟性。  ★2.平均数的求法（两种）：（1）公式法（先合后分）：平均数=总数÷份数。这是最通用、最基础的方法。（2）移多补少法：通过将数量多的部分移给数量少的部分，使各部分变得相等。这种方法直观体现了平均数的“平衡”思想。  ★3.核心数量关系三角：总数、平均数、份数三者存在乘除关系：总数=平均数×份数；平均数=总数÷份数；份数=总数÷平均数。这是解决一切平均数问题的基石，必须滚瓜烂熟。  ▲4.平均数的特征：虚拟性（不一定是实际存在的数）；代表性（反映整体水平）；区间性（一定介于这组数据的最大值和最小值之间）。根据区间性可以快速估算或判断计算是否合理。  ★5.解决平均数应用题的通用步骤：一找（找出题目中与总数、平均数、份数相关的信息）；二辨（辨别是求哪一个量，已知哪两个量）；三列（根据核心关系列出算式或方程）；四验（检查结果是否符合平均数的区间特征）。  ▲6.“移多补少”思想的深化应用：在已知平均数的情况下，可以将平均数作为“基准线”，计算每个数据与基准的“差距”（多出或缺少）。所有多出部分的总和等于所有缺少部分的总和。利用这个等量关系可以巧妙解题。  ★7.求“整体平均数”的方法：当已知几个部分的平均数，要求整体的平均数时，绝不能将各部分平均数简单相加再平均。正确步骤是：先利用“部分总数=部分平均数×部分份数”求出各部分的总数；再将所有部分的总数相加得到整体总数；最后用整体总数除以总份数得到整体平均数。  ▲8.“权”的初步概念：在上述第7点中，各部分平均数对整体平均数的影响大小，取决于各部分的“份数”。份数越大，其部分平均数对整体平均数的影响就越大，这个“影响程度”就是“权”的雏形。简单说，就是“人多力量大”（份数多的那组，其平均数更被看重）。  ▲9.涉及“增加或减少数据后平均数变化”的问题：关键抓住“新总数=原总数+新增数据的和”以及“新份数=原份数+新增个数”。再套用关系求新平均数。  ▲10.利用平均数进行估算和预测：在信息不全时，可以利用平均数进行合理推测。例如，知道平均每天销售30件商品，可以预测一周大约销售210件。但要注意，这仅是估算，实际会有波动。  ▲11.平均数在生活中的实际应用与局限：除了公平分配，平均数广泛应用于比较（如平均成绩）、衡量（如平均收入）、预测（如平均增长率）。但要警惕“平均数的陷阱”，它可能会掩盖数据内部的巨大差异。例如，一个亿万富翁和九个穷人在一起，平均资产也很高，但这不代表大家都富有。  ★12.易错点警示：（1）混淆“平均数”与“平均分得到的具体每份数”；（2）求整体平均数时，错误地将部分平均数直接算术平均；（3）解题时找错“总数”所对应的“份数”，特别是题目信息较多时；（4）忽略平均数的区间性，算出离谱的结果而未察觉。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从当堂巩固训练的反馈来看，绝大多数学生能准确运用“总数=平均数×份数”这一核心关系解决基础与中等难度问题，表明知识目标与基础能力目标基本达成。在解决“综合应用关”关于评委打分的问题时，约60%的学生能清晰分析出“两组平均数与对应人数”，体现出初步的建模与分析能力，高阶思维目标部分达成。情感目标在小组讨论“男生女生平均分”任务中表现显著，学生讨论热烈，能倾听并修正彼此“简单相加平均”的错误观点。  （二）核心环节有效性评估：“任务三（深化理解）”与“任务四（进阶应用）”是本节课思维跃迁的关键节点。任务三中，用“猜一猜”引入，有效调动了学生的直觉思维，再通过两种方法对比，让“移多补少”从一种求法升华为一种解题思想，效果较好。任务四中，通过“一定是87.5吗？”这一反问制造认知冲突，驱动了小组深度探究。但巡视中发现，仍有部分小组在计算完全班平均分后，未能主动将“人数不同”这一关键原因清晰表达出来，说明教师在小组汇报后的提炼和概括还需更加强调和明确，比如可以追问：“是什么决定了87.5不对，而87是对的？”  （三）学生表现的差异化剖析：课堂中，思维敏捷的学生（如A类生）在任务五时已能自发用方程或线段图来表征数量关系，并乐于分享多种解法。而部分基础较弱的学生（C类生）在独立完成复合应用题时仍有困难，