经典多属性决策算法对比分析

算法分析

1.TOPSIS（逼近理想解法）：（TOPSIS方法属于经典的多属性决策方

法之一，由H.wang.C.L和Yoon,K.S.1981提出）.

基本原理:根据评价指标的标准化值与指标的权重共同构成规范

化矩阵来确定评价指标的正、负理想解。然后，建立评价指标综合向

量与正、负理想解之间距离的二维数据空间。在此基础上对评价方案

与最优理想参照点之间的距离进行模糊评判。最后，依据该距离的大

小对评价方案进行优劣排序.若某方案为最优方案则此方案最接近最

优解，同时又远离最劣解.

TOPSIS法最大的优点是:无严格限制数据分布及样本含量指标

的多少，小样本资料、多评价单元、多指标的大系统资料都同样适用，

同时也不受参考序列选择的干扰。既可用于多单位之间进行对比，也

可用于不同年度之间对比分析，该法运用灵活，计算简便同时结果量

化也客观［1］。

缺点：（1）规范决策矩阵的求解比较复杂，故不易求出理想解和

负理想解；（2）评价缺少稳定性，当评判的环境及自身条件发生变化

时，指标值也相应会发生变化，就有可能引起理想解和负理想解向量

的改变，使排出的顺序随之变化，评判结果就不具有唯一性；（3）属

性权重是事先确定的，其主观性较强。［2］

基本步骤：

①建立多属性决策问题的决策矩阵

设有一多属性决策问题，该问题有m个备选方案，每个方案具有〃个指标，则,

该多属性决策问题的决策犯阵为：

为M2必”

%82

其中,为表示第/个方案的第J个属性的原始指标值。

②决策矩阵的规范化处理

由广各属性的衡量标准不一致，因此需要苜先进行规范化处理，向量变换法是

TOPSIS法（双基点法）提出的一种属性指标规范化方法.

设规范化决策矩阵为：

其中，均表示规范化后的值，有,

常见的标准化处理方法有:模糊数学法、标准差标准化法、极差

标准化法、极大值标准化法和百分比标准法等.

®构建加权规范化矩阵

其中，得=〜,也为各属性的权重。

确定权重的方法有主观赋权法和客观赋权法。主观赋权法包括层

次分析法、Delphi法等。主观权重法土要根据专家判断打分,主观性

太强,其结果对多因素非线性定量关系的反映有一定影响:客观权重

法人为因素干扰较小,可以较为客观地确定权重,但该方法也受样本

数据数量和质量的制约。权重确定的方法：主成分分析法、变异系数

法。

④确定正理想点和负理想点

理想点的确定方法是根据各个方案指标值的分布获得的，理想点都具有如下特

八占、、•

时于正理想点：

x；>maxxv,（/为效益型属性）公式（5-2）

X.<minxy,（/为成本型属性）公式（5・3）

对于负理想点：

）

Xj<minxr>,（./为效益型属性）公式（5-4

X；N呼X”，</为成本型属性）公式（5-5）

其中，丫；,乙分别表示正、负理想点的笫/个属性指标值。上述公式中一般均取等式。

所谓正理想点是设想得到的最好的解，它的各个指标值都达到各

候选方案中最好的值。而负理想点是另一设想的最坏的解.，它的各个

指标都达到各候选方案中最坏的值。

⑤计算各方案到正负理想点的距离

各方案到正、负理想点法的距离计管公式分别为：

公式(5-6)

公式(5-7)

6计算各方案与理想点的相对贴近度，相对贴近度的取值越大则表

示该方案越优。贴近度的计算公式为：[3]

TOPSIS方法对属性、数据没有严格要求，能充分运用原始数据，且

过程简单，但该方法涉及到的理想解、负理想解是跟方案的原始数据

相关的，一旦方案的原始数据或者是方案的数目发生变化，则理想解、

负理想解也会发生变化，最终导致排序的不稳定[4]。

2.PROMETHEE(偏好顺序结构评估法)：Brans>Vincke(1984)提出了

PROMETHEE(PreferenceRankingOrganizationMethodforEnrichment

Evaluations)的方法。

其中PROMETHEE比ELECTRE更具有优势：(l)PROMETHEE

它能够更好的运用函数来解释和描述每项准则的特点；(2)相对于

ELECTRE,PROMETHEE的结果更具有稳定性，并且在新加入供应商

时，出现倒序的几率较小。但是这两种重要的排序方法都不能对指标

的权重进行计算。PROMETHEE是基于方案的两两比较的一种多目

标决策方法，它是建立在级别高于关系上的排序方法。该方法不需要

对指标进行无量纲化和规范处理，从而避免了处理过程中的信息偏差,

但是对问题的结构化分析上不及AHPO该方法为决策者提供一组可

行方案的部分优先关系((PROMETHEEI)和完全优先关系

(PROMETHEEII)[4]o

PROMETHEE没有具体给出如何确定权重的方法，需要决策者

根据实际问题自己确定产生权重的方法。这对于缺乏相关经验的决策

者来说是一项比较困是的工作。

该方法的应用步骤：

①确定每个指标的优先函数，优先函数的概念就是在某一指标下,

对象Ai优于另一个对象A「的程度。这里分为效益性指标和成本型指

标。

效益型指标：

3吸…)e[O.l]

(F(d.r)I」

成本型指标：

P,力\一J°if(-d'r<0)1

，r)=[F(dr)if(-d“ZO)”r」

其中dir=xl/-Xrj(i、r=1,2,m\j=1,2........n)

在实际的应用中，一般使用推荐的6种类型的一般性准则来构造优先

函数，决策者可以根据自身的偏好结合实际要求为每个指标选择优先

函数。

②确定指标或者准则的相对重要性Wj(权重)。

③确定优先指数，多准则优先指数定义为：

万(4,4)=Z

j(Kr=U......m;/=L2.........n)

其中助=兽

/=l

加4,4)是决策者同时考虑所有指标时，对方案4与Ar的优先强度的描述。

④确定每个对象的流出。定义为：

1rn

34)=-

]nm

=£w/,p)

1w、

with=—7ZP/(X“-M)

①X4)表示对象4的流出，即表示4级别优于其他对象的可能性。一般而言，

其值越大，此对象越好。

⑤确定每个对象的流入，定义为：

16

6(4)=wZ%(4/)

6―1r-1

==Z2w/.p"〃)

加*j=lr=l

=Zw/,P\

J-l

①飞力，)表示方案4的流入，即表示其他对象级别优于4的可能性。一般而

言，其值越小，此对象越好。

通过计算我们可以得到方案的流出量、流入量，根据流出量越大

越优、流入量越小越优我们可以得到方案的排序，但此时得到只是方

案的部分优先关系，运用PROMETHEEH则可以得到方案的完全优

先关系。

确定完全序(completeorder)o定义：

<D(4)=6(4)-(D-(4)

Jmn|mn

吗.Pj(d")-------ZZw/.p,⑷

m1

-i/-im—\/a1

1iw

=£w,(―;2p/d，)-P/(d〃)(3-14)

m-]“I

]m

其中P"=-----7yP,-初)-pt(Xo-xv)

加-1r-1

①(4)表示对象4的净流量(netflow),根据各方案的净流量的大小确定级

别高于关系。这时我们可以得到优先关系：

A.PwAr(4级别高于4)①(4)><D(4)

AJuAr(4与4无差异)①(4)=6(4)

L4J.

3.ELECTRE:是法国人ROY(1971)年首先提出的，该方法构建的

是一种较弱的次序关系，叫级别高于关系。

定义3.4.1(级别局于关系)给定方案集A,4,A/W4,给定决策人的偏

好次序和属性矩阵殉为x〃，当人们有理由相信424,则称4的

级别高于A/[4]。

算法应用步骤：

①用向量规范化的方法构造规范化矩阵：

R=SKS=M/JEJ)i=(1，2,…m),/=(1,2,…n)

②构造加权规范化矩阵丫=(⑹〃…

设由决策人给定各个属性的权重%=(w],w2,…,则得到

③确定属性的优势集和劣势集

优势集(C”)表示4方案的各目标属性优于A,方案相应目标属性标号集o

劣势集3)为优势集的补集，则

Cki={k\Vkj>Vij}

J={/|J=1,2…"

④计算优势矩阵

在计算优势矩阵时，首先需要定义一个优势指数,亦称和谐

指数。这里反映了决策者接受方案4的满意度的测试。

优势指数的定义为：所有的优势集中的标号对应的目标属性权重之和。

C'H=Z助

jeCkl

确定了优势指数后，就可以确定优势指数矩阵了：

-C2•…Cim

优势指数矩阵：C'_..…C2H，

⑸计算劣势矩阵

首先定义一个劣势指数以’,亦称不和谐指数。可与4方案相比，选

择4的不满意度测试。

max|%-以|

,jeDkt

dki=----------

max\Vkj-Vii\

jwT

确定了劣势指数后，就可以确定了劣势指数矩阵了

一d\2....d\m

劣势指数矩阵：力।一一

••••••••••••••・•••

dm\dm2.一

⑥确定优势判定矩阵

确定优势判定矩阵即为确定满意测度的大小，首先确定阈值c。C的

判定可以由分析人、决策人商定，也可由平均优势指标代之，

_imm

c=---yyc'ki

加（阳-1）高二向A

构造一个0/矩阵，

/1若Cu

[0若CH<C

⑦确定劣势判定矩阵为确定不满意测度的大小，确定阈值d（和谐性检

验，不和谐测定是在某个可允许的最大的不和谐性水平之下）。d的判

定：

d=VVDudu<>d

m（m-l）扁扁

构造一个0・1矩阵

1若du2d

0若dki<d

⑧综合优势判定矩阵

优势矩阵和劣势矩阵都确定了之后，就可以确定综合优势判定矩阵E

了，E={eki}—根据E。即可开始方案的剔除过程。

ekl=%*gkl

⑨剔除方案

满足以下方案，则不被剔除。

eki=\/=1,2,3,.........,mk/l

e>k=0Z=l,2,3,.........,mi*k

注意:在应用上式时较困难，因此在具体应用时，可观察E,从E进

行直观分析，剔除方案即为:若任何一列上只要有一个元素为1,则该

对应方案剔除，因为这意味着该列方案为1的元素，被对应的行方案

“压倒”。

ELECTRE法的优点是决策人易理解掌握，并且可将具体决策计算过

程程序化。但其存在对决策矩阵所提供的信息利用不充分、参数设