数学八年级《平行四边形》复习资料

几何世界中，平行四边形无疑是一颗璀璨的明星，它不仅自身拥有丰富的性质，更是我们学习后续特殊四边形——矩形、菱形、正方形的基础。掌握好平行四边形的知识，能让我们在复杂的几何图形中洞察联系，轻松解题。这份复习资料将带你系统回顾平行四边形的定义、性质、判定以及相关的解题思路与技巧，希望能助你巩固基础，提升能力。一、平行四边形的定义与性质（一）定义——把握本质特征我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个定义包含了两层含义：首先，它是一个四边形；其次，它必须满足“两组对边分别平行”这一核心条件。在几何符号表示中，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。理解定义是我们研究平行四边形一切性质与判定的出发点。（二）性质——探索图形的“个性”一旦一个四边形被判定为平行四边形，它便拥有了以下一系列稳定的性质，这些性质是解决几何问题的重要依据：1.边的性质：对边平行且相等。这是由平行四边形的定义直接衍生出来的。如果四边形ABCD是平行四边形，那么AB平行于CD，AD平行于BC；同时，AB的长度等于CD的长度，AD的长度等于BC的长度。这意味着在平行四边形中，我们可以通过已知一组对边的长度或位置关系，来推断另一组对边的情况。2.角的性质：对角相等，邻角互补。在平行四边形ABCD中，∠A等于∠C，∠B等于∠D。同时，相邻的两个角，如∠A与∠B，它们的和为180度（因为两直线平行，同旁内角互补）。这个性质在角度计算和角相等的证明中应用广泛。3.对角线的性质：对角线互相平分。平行四边形的两条对角线（如AC和BD）相交于一点，这个交点将每条对角线分成相等的两段。即AO等于OC，BO等于OD（O为对角线交点）。对角线互相平分的性质，常常与三角形全等、中位线等知识结合起来解决问题。4.对称性：中心对称图形。平行四边形是以其两条对角线的交点为对称中心的中心对称图形。这意味着绕着对称中心旋转180度后，平行四边形能够与自身完全重合。理解这一点，有助于我们从图形变换的角度认识平行四边形。二、平行四边形的判定——如何“验明正身”仅仅知道性质是不够的，我们还需要掌握如何根据一些已知条件来判断一个四边形是不是平行四边形。以下是几种常用的判定方法：1.定义判定法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。这是最基本、最直接的判定方法，即如果能证明一个四边形的两组对边分别平行，那么它就是平行四边形。2.边的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如果一个四边形的AB等于CD，且AD等于BC，那么这个四边形是平行四边形。3.边的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。“平行且相等”是指一组对边不仅方向相同（平行），长度也一样。若AB平行且等于CD，那么四边形ABCD是平行四边形。这里要注意，必须是“平行”和“相等”同时满足，缺一不可。4.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。若∠A等于∠C，且∠B等于∠D，那么四边形ABCD是平行四边形。5.对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。如果四边形的两条对角线AC和BD相交于点O，且AO等于OC，BO等于OD，那么这个四边形是平行四边形。在具体解题时，我们需要根据题目给出的条件，灵活选择最合适的判定方法。有时，可能需要综合运用多种方法进行证明。三、特殊的平行四边形——矩形、菱形与正方形平行四边形家族中还有几位特殊的成员，它们在平行四边形的基础上，又具备了一些独特的性质。（一）矩形——特殊在“角”1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.性质：*具有平行四边形的所有性质。*四个角都是直角。*对角线相等。*既是中心对称图形，也是轴对称图形（有两条对称轴）。3.判定：*定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。*对角线相等的平行四边形是矩形。*有三个角是直角的四边形是矩形。（二）菱形——特殊在“边”1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.性质：*具有平行四边形的所有性质。*四条边都相等。*对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。*既是中心对称图形，也是轴对称图形（有两条对称轴，为对角线所在直线）。3.判定：*定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。*对角线互相垂直的平行四边形是菱形。*四条边都相等的四边形是菱形。（三）正方形——“完美”的平行四边形1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。2.性质：*同时具有矩形和菱形的所有性质。即：四条边都相等，四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。*既是中心对称图形，也是轴对称图形（有四条对称轴）。3.判定：*定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。*有一组邻边相等的矩形是正方形。*有一个角是直角的菱形是正方形。理解这些特殊平行四边形与平行四边形之间的关系，以及它们各自的特性，对于解决综合性几何问题至关重要。四、解题思路与技巧——拨开迷雾见本质在解决与平行四边形相关的问题时，以下思路和技巧或许能为你提供帮助：1.紧扣定义与性质：无论是计算还是证明，都要从平行四边形（或特殊平行四边形）的定义和性质出发，将已知条件与图形特征相结合。2.关注对角线：平行四边形及特殊平行四边形的对角线往往是解题的关键。它们的平分、相等、垂直等关系，常常能为我们提供全等三角形、等腰三角形等重要信息。3.转化思想：善于将平行四边形的问题转化为三角形的问题来解决。例如，利用对角线可以将平行四边形分成两个全等的三角形；利用对边平行可以构造同位角、内错角、同旁内角等。4.辅助线添加：*当题目中涉及中点或中线时，常考虑构造中位线。*当需要证明线段相等或角相等时，可尝试连接对角线，构造全等三角形。*对于梯形（虽然不属于平行四边形，但常与平行四边形结合考查），可通过作高、平移一腰或平移对角线等方法转化为平行四边形和三角形。5.特殊与一般的关系：特殊平行四边形具有一般平行四边形的所有性质，同时又有自己的特性。在学习时，要注意它们之间的联系与区别，做到融会贯通。6.多做练习，总结规律：几何学习离不开练习。通过大量的题目练习，你会逐渐熟悉各种图形的性质和判定的应用场景，从而在解题时能够快速找到突破口。五、总结与展望平行四边形这一章节的内容，是平面几何的重要组成部分。从一般的平行四边形到特殊的矩形、菱形、正方形，我们不仅学习了它们的定义、性质和判定，更重要的是培养了观察图形、分析问题和逻辑推理的能力。这些能力的培养，将为我们后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。复习时，建议大家结合具体的图形