小学工程问题应用题集锦

小学工程问题应用题集锦工程问题是小学数学应用题中的一个重要组成部分，它紧密联系生活实际，能够有效锻炼学生分析问题和解决问题的能力。掌握工程问题的解题方法，不仅对当前的数学学习有益，也能为今后更复杂的数学学习打下坚实基础。本文将系统梳理小学阶段工程问题的常见类型，并通过典型例题的详细解析，帮助同学们理解解题思路，掌握解题技巧。一、工程问题的基本概念与核心关系式在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”（在实际问题中，有时也会给出具体的工作量，如修路多少千米等）。涉及到的三个基本量及其关系如下：1.工作总量：指要完成的全部工作任务的量。2.工作效率：指单位时间内完成的工作量。通常以“单位时间完成工作总量的几分之几”来表示。例如，一项工程甲单独做5天完成，那么甲的工作效率就是每天完成这项工程的1/5。3.工作时间：指完成工作总量所需要的时间。核心关系式：*工作总量=工作效率×工作时间*工作效率=工作总量÷工作时间*工作时间=工作总量÷工作效率在解决工程问题时，若题目中没有给出具体的工作总量，我们通常设工作总量为单位“1”，这是解决此类问题最常用的方法，能使问题简化。二、常见工程问题类型及例题详解（一）基本型：单人单任务此类问题只涉及一个工作者完成一项工作，直接运用核心关系式即可求解。例题1：一项工程，甲单独做需要8天完成，甲平均每天完成这项工程的几分之几？如果甲工作了3天，完成了这项工程的几分之几？还剩下几分之几未完成？分析与解答：*把这项工程的工作总量看作单位“1”。*甲单独做8天完成，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，甲的工作效率为：1÷8=1/8。所以，甲平均每天完成这项工程的1/8。*甲工作了3天，根据“工作总量=工作效率×工作时间”，完成的工作量为：1/8×3=3/8。*剩下未完成的工作量为：1-3/8=5/8。答：甲平均每天完成这项工程的1/8；工作3天完成了3/8；还剩下5/8未完成。（二）合作型：多人协作完成同一任务这是工程问题中最常见的类型，重点在于理解“合作效率”等于各工作者效率之和。例题2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，几天可以完成这项工程？分析与解答：*把这项工程的工作总量看作单位“1”。*甲的工作效率：1÷10=1/10（每天完成1/10）。*乙的工作效率：1÷15=1/15（每天完成1/15）。*甲、乙合作的工作效率为两人效率之和：1/10+1/15。为了计算方便，先通分：1/10=3/30，1/15=2/30，所以合作效率=3/30+2/30=5/30=1/6。*根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，合作完成时间为：1÷(1/6)=6（天）。答：甲、乙两人合作，6天可以完成这项工程。例题3：一条公路，甲工程队单独修需要12天，乙工程队单独修需要18天。如果两队合修3天后，剩下的由乙队单独修，还需要多少天才能修完？分析与解答：*把这条公路的工作总量看作单位“1”。*甲队工作效率：1/12，乙队工作效率：1/18。*两队合修的工作效率：1/12+1/18。通分：3/36+2/36=5/36。*两队合修3天完成的工作量：5/36×3=15/36=5/12。*剩下的工作量：1-5/12=7/12。*剩下的由乙队单独修，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，需要的时间为：7/12÷(1/18)=7/12×18=(7×18)/12=(7×3)/2=21/2=10.5（天）。答：还需要10.5天才能修完。（三）分工合作型：按不同阶段或部分进行合作此类问题中，工作可能分为几个阶段，或者不同的人负责不同的部分，需要分段计算或合并计算。例题4：一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。现在甲先做了若干天后，由乙接着做完，共用了25天。问甲做了多少天？乙做了多少天？分析与解答：*设这项工程的工作总量为单位“1”。甲效率：1/20，乙效率：1/30。*设甲做了x天，则乙做了(25-x)天。*根据题意，甲完成的工作量加上乙完成的工作量等于总工作量“1”，可列方程：(1/20)x+(1/30)(25-x)=1*解方程：两边同时乘以60（20和30的最小公倍数）去分母：3x+2(25-x)=603x+50-2x=60x+50=60x=10*所以甲做了10天，乙做了25-10=15天。答：甲做了10天，乙做了15天。（四）“中途退出”或“中途加入”型这类问题是合作问题的变式，关键在于明确每个人实际工作的时间。例题5：一项工程，甲、乙合作需要12天完成。如果甲先做3天，然后乙加入一起做，又用了10天完成了这项工程。如果由甲单独完成这项工程，需要多少天？分析与解答：*设这项工程的工作总量为单位“1”。*甲、乙合作的工作效率为：1/12（因为合作12天完成）。*题目中，甲先做3天，然后甲乙合作10天完成。可以理解为：甲一共工作了3+10=13天，乙一共工作了10天。*甲乙合作10天完成的工作量为：(1/12)×10=10/12=5/6。*那么甲单独做3天完成的工作量为：1-5/6=1/6。*所以甲的工作效率为：(1/6)÷3=1/18。*因此，甲单独完成这项工程需要的时间为：1÷(1/18)=18（天）。答：由甲单独完成这项工程，需要18天。三、工程问题的解题方法与技巧总结1.明确基本量，牢记关系式：无论问题如何变化，工作总量、工作效率、工作时间三者的关系是核心。2.巧设工作总量：当题目没有给出具体工作量时，通常设工作总量为“1”，这样每个人的工作效率就是工作时间的倒数。3.抓住“合作效率”：对于合作问题，关键是求出合作的工作效率，即各参与工作者的效率之和。4.善于运用方程：对于一些较复杂的问题，如涉及“多少天”、“几分之几”的未知量时，设未知数，根据工作量之间的关系列方程求解，往往能使思路更清晰。5.画线段图辅助理解：对于某些阶段性工作或分工明确的问题，画线段图可以直观地表示出工作总量、已完成量、剩余量之间的关系，帮助理解题意。6.注意统一单位“1”：如果题目中出现多个不同的工作量描述，要注意将它们统一到同一个单位“1”下进行计算。四、拓展与思考工程问题的思想不仅局限于“做工程”，还可以延伸到其他类似的问题，如：*行程问题中的相遇问题（路程看作工作总量，速度看作工作效率）。*水管注水/排水问题（注水量或排水量看作工作量，注水/排水效率看作工作效率）。例如：一个水池，有一个进水管和一个出水管。单开进水管，5小时可注满空池；单开出水管，8小时可排空满池水。现在两管齐开，多少小时可以注满空池？这个问题的思路与“甲乙合作完成工程”类似，只是出水管的效率是“负”的。五、巩固练习（请尝试解答下列各题）1.一项工作，单独做，甲要8天完成，乙要12天完成。甲乙合作，几天可以完成这项工作的3/4？2.一项工程，甲队单独做需15天完成，乙队单独做需10天完成。两队合做若干天后，甲队因另有任务调走，剩下的工程由乙队单独做了5天才完成。问两队合做了多少天？3.修一条路