2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第01讲 条件概率、全概率公式及相互独立事件（4知识点+8大题型）（解析版）

第01讲条件概率、全概率公式及相互独立事件

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

【题型01条件概率的计算】

【题型02条件概率的性质及应用】

【题型03乘法公式的应用】

【题型04全概率公式的应用】

【题型05贝叶斯公式的应用】

【题型06相互独立事件的判断】

【题型07相互独立事件的概率问题】

【题型08利用事件之间的关系求概率】

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：条件概率

P(AB)

①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)为在事件A发

P(A)

生的条件下，事件B发生的条件概率．

②条件概率的解法

方法公式或步骤

定义法P(AB)

P(B|A)

P(A)

基本事件法n(AB)

P(B|A)

n(A)

缩小样本空间法去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解

③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则PAB＝PAPB|A

④相互独立事件

（1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件；

（2）公式：PAB＝PAPB，此时PB|APB

知识点2：全概率公式

一般地，设A1,A2,,An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0,i1,2,,n，则

n

对任意的事件，有()()(|)

BPBPAiPBAi

i1

图示：

知识点3：贝叶斯公式

①概念：设A1,A2,,An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0,i1,2,,n，则

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

P(A|B)iiii,i1,2,,n

对任意的事件，()有i()n

BPB0,PB()(|)

PAkPBAk

k1

②作用：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A)，P(AB)之间的转化关系，即

P(AB)

P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B)P(B|A)P(A)，P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)之间的内在联

P(B)

系．

知识点4：相互独立事件

1、相互独立事件的概念：对于两个事件A，B，如果P(B|A)P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B

P(AB)

发生的概率．设P(A)0，根据条件概率的计算公式，P(B)P(B|A)，从而P(AB)P(A)P(B)．

P(A)

由此可得：设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

2、判断事件是否相互独立的方法：

（1）定义法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)．

（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．

（3）条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断．

【题型01条件概率的计算】

1．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这

五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件A“乙至少选择了两座城

市旅游”，B“甲只选择了北京旅游”，则PBA（）

3115

A．B．C．D．

84816

【答案】C

C1C1C3C1C2C2

543542

【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为2225，

A2A2

3

再安排给3人，总方法数为25A3150，

C1C1C3C1C2C2

543254212808

其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为2A22C2A280，所以PA，

A2A215015

23101

而事件A与B都发生的所有可能结果有CC10，即PAB，

4415015

PAB1151

所以所求概率为PBA．

PA1588

故选：C．

2．已知PAB0,PA0.8,PBA0.6,PABC0.24，则PCAB（）

A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7

【答案】B

PAB

【详解】根据条件概率公式，先求PAB：由P(B|A)，

PA

得PABP(B|A)PA0.60.80.48.

PABC

再求P(C|AB)：由P(C|AB)，

PAB

0.24

代入PABC0.24，得P(C|AB)0.5.

0.48

故选：B

3．从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白

球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，

取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（）

1123

A．B．C．D．

3234

【答案】B

【详解】设事件A“取出的2个球的编号之和为奇数”，

事件B“取出的2个球为1个黑球和1个白球”，

则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球，

有1,2,1,5,1,3,1,4,2,5,2,3,2,4,5,3,5,4,3,4，共10种情况，

符合事件A的有1,2,1,4,2,5,2,3,5,4,3,4，共6种，

符合事件B的有1,3,1,4,2,3,2,4,5,3,5,4，共6种，

符合事件AB的有1,4,2,3,5,4，共3种，

63

故PAPB,PAB，

1010

3

PAB1

故所求概率为PBA10.

PA62

10

故选：B.

4．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取

出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（）

2611

A．B．C．D．

57710

【答案】B

【详解】6的正因数：1,2,3,6，由12361226，得6是多重完美数；

9的正因数：1,3,9，由13913，13不是9的整数倍，得9不是多重完美数；

12的正因数：1,2,3,4,6,12，由123461228，28不是12的整数倍，得12不是多重完美数；

28的正因数：1,2,4,7,14,28，由1247142856228，得28是多重完美数；

45的正因数：1,3,5,9,15,45，由1359154578，78不是45的整数倍，得45不是多重完美数，

因此6,9,12,28,45中多重完美数有2个，非多重完美数有3个，

22

236

从5个数中取2个，有多重完美数的取法数为C5C37，其中恰有一个不是多重完美数的取法数为，

6

所以取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为.

7

故选：B

5．山城小汤圆是传统小吃的代表之一，以糯米为皮，常用红豆、豆沙、芝麻等馅料，一碗手工制作的

山城小汤圆共有8个，其中红豆、豆沙汤圆各3个，芝麻馅汤圆2个.小胡在碗中随机取出4个汤圆，

在至少选到1个芝麻馅汤圆的条件下，则4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率为.

9

【答案】

11

【详解】设事件A：至少选到1个芝麻馅汤圆，事件B：4个汤圆中恰有3种不同馅料，

44

事件A含有的基本事件数为n(A)C8C655，

11221211

事件AB含有的基本事件数为n(AB)C2(C3C3C3C3)C2C3C345，

n(AB)459

所以4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率P(B|A).

n(A)5511

9

故答案为：

11

6．有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全

部测出为止．

(1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数；

(2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率．

【答案】(1)576；

1

(2).

4

【分析】

【详解】（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品，

且前4次测得3只不合格品、1只合格品，

114

所以不同情形种数为C4C6A4576.

（2）记事件A：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件B：第2次测得合格品，

5762C1A41

P(A)，P(AB)64，

109876105109876210

PAB1

因此P(B|A)，

PA4

1

所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为.

4

【题型02条件概率的性质及应用】

11

7．已知PA,PB,PAB2PAB0，则PBA（）

32

1157

A．B．C．D．

231212

【答案】C

11

【详解】若PA,PB,PAB2PAB0，

32

PABPAB

PABPAB2

则2，所以11，故PAB2PAB，

PBPB

22

112

所以PAPABPAB3PAB，所以PAB,PAB，

399

125

所以PABPBPAB，

2918

5

PAB5

则PBA18.

1

PA112

3

故选：C.

131

8．已知随机事件A，B，若P(A),P(B∣A),P(B∣A)，则P(B)（）

342

1234

A．B．C．D．

2345

【答案】B

123P(BA)3

【详解】因为P(A)，故P(A)，而P(B∣A)，故，

334P(A)4

311

故P(BA)P(A)，同理P(BA)，

426

112

故PBPBAP(BA)，

263

故选：B.

131

9．（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若P(A)，P(B)，P(AB)，则不正确的是

342

（）

13

A．P(AB)B．P(AB)

64

1

C．P(B)P(AB)D．P(A|B)

3

【答案】AD

1331

【详解】对于A，PA,PB,PB1PB1，

3444

111

PABPAPBPABPAB，

342

1

解得PAB，故A错误；

12

111

对于B，PABPABPA，PAB，解得PAB，

1234

13

PAB1PAB1，故B正确；

44

11

对于C，PB,PAB,PBPAB，故C正确；

44

1

PAB112

对于D，PAB4，PAB1PAB1，故D错误.

PB3333

4

故选：AD．

10．已知PA0.6，PA|B0.9，PA|B0.4，则PB的值为

2

【答案】0.4/

5

【详解】设PBx,PABy，

由PA|B0.9，PA|B0.4，

PABy

0.9

PBx

可得，解得x0.4,y0.36，

PABPAPAB0.6y

0.4

PB1PB1x

所以PB的值为0.4.

故答案为：0.4.

123

11．已知随机事件A,B满足PA，PB，PAB．

234

(1)求PAB；

(2)求PAB；

22

(3)证明PABABPABPAPB．

1

【答案】(1)

4

3

(2)

4

(3)证明见解析

【分析】

12311

【详解】（1）因为PA，PB，PAB，所以PA，PB，

23423

1311

PABPAPABPAPABPB．

2434

31111

（2）因为PAB1PAB1，所以PABPABPB，

444312

1113

所以PABPAPBPAB．

23124

（3）因为ABAB，所以ABABAB，

1

PABABPAB121311

所以PABAB，PABPABPB，

PABPAB39434

4

11122111

所以PABABPAB，PAPB，

94364936

22

所以PABABPABPAPB．

12．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这

两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B“抽

252

取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|B)，P(B|A)，PB.求PA和PAB.

363

11

【答案】PA，PAB

36

【详解】根据条件概率计算出结果

25

因为P(A|B)，P(B|A)，

36

1

所以P(A|B)1P(A|B)，

3

1

P(B|A)1P(B|A)，

6

由于P(A|B)P(B)P(B|A)P(A)，

2

解得PA，

3

1

所以PA.

3

P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)，

1

解得PAB.

6

【题型03乘法公式的应用】

1

13．已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明

3

4

已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（）

5

2345

A．B．C．D．

551512

【答案】D

41

【详解】记小明，小红报名围棋兴趣小组分别为事件M,N，则P(N|M),PMN，

53

1

PMN5

故PM3．

P(N|M)412

5

故选：D．

2

14．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第

5

一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为1，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（）

2

1123

A．B．C．D．

10555

【答案】B

21

【详解】记事件A“第一次摸出红球”，事件B“第二次黄球”，则P(A)，P(B|A)，

52

P(AB)121

由条件概率公式得P(B|A)，则P(AB)P(B|A)P(A),

P(A)255

故选：B．

15．已知某种疾病的患病率为0.002，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.99，则患该种疾病且血

检呈阳性的概率为．

【答案】0.00198

【详解】设患该种疾病为事件A，血检呈阳性为事件B，依据题意得PA0.002，PB|A0.99，根据

PAB

条件概率PB|A，

PA

得PABPAPB|A0.0020.990.00198.

故答案为：0.00198

16．电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车

通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受

损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（）

A．0.794B．0.684C．0.714D．0.684

【答案】C

【详解】设Ai表示第i次撞击后该汽车没有受损，i1,2

则由已知可得，PA10.84，PA2|A10.85，

由条件概率公式可得，PA1A2PA1PA2|A10.840.850.714

即该汽车通过质检的概率是0.714

故选：C

【题型04全概率公式的应用】

17．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂产品的次品率

分别为2%，3%，5%.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（）

A．0.0259B．0.0592C．0.0295D．0.0275

【答案】C

【详解】设A1“取到编号为1的工厂的产品”，A2“取到编号为2的工厂的产品”，A3“取到编号为3

的工厂的产品”，

则PA10.45,PA20.35,PA30.20.

设B“取到产品是次品”，则P(B|A1)2%0.02,P(B|A2)3%0.03,P(B|A3)5%0.05.

由全概率公式P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)

0.450.020.350.030.200.050.0090.01050.010.0295.

故选：C.

18．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一

球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【详解】记从“放有两个黑球盒子”，“放有一个黑球一个红球盒子”，

“放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件A1，A2，A3，

1

则事件A，A2，A两两互斥，PAPAPA，

131233

记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为PA3B，

得到PB=PA1BPA2BPA3B

11111

PA1PBA1PA2PBA2PA3PBA301，

33232

1

PA3B32

则PA3B，

PB13

2

2

故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为.

3

故选：D.

19．（辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题）已知某水果超市苹果、香蕉、

猕猴桃三种水果的购进数量之比为5:4:1，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为

95%,90%,90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为.

37

【答案】/0.925

40

【详解】设事件A为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为“选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”，

121

则PA,PB,PC,P(D|A)95%,P(D|B)90%,P(D|C)90%，

2510

根据全概率公式可知PDPAP(D|A)PBP(D|B)PCP(D|C)

12137

95%90%90%.

251040

37

故答案为：

40

20．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列

规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选

择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含

3次）停止摸球的概率为．

43

【答案】

108

【详解】设事件M“3次之内（含3次）停止摸球”，

事件A“第1次摸到红球，第2次摸到红球”；

事件B“第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”；

事件C“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”；

事件Di“在第i次摸球时首次选择甲袋”（i1,2,3），

事件D0“一直没有选择甲袋”．

111121112122

则PAPD1PAD1PD2PAD2PD0PAD0．

233232323239

PBPD1PBD1PD2PBD2PD3PBD3PD0PBD0

112112121121111121211

．

2333232332323238333108

PCPD1PCD1PD2PCD2PD3PCD3PD0PCD0

12111111111121111222

．

233323233232323833327

211243

因此PMPAPBPC．

910827108

43

故答案为：.

108

21．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生40%的人近视，而

该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为50%.

(1)从该校任选一名学生，记事件A“该生每天玩手机超过1小时”，B“该生近视”，试判断A与B是否相

互独立，并说明理由；

(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.

(3)根据上述结果，能得出什么结论？

【答案】(1)A与B不相互独立

(2)0.375

(3)长时间玩手机与近视存在一定的关联.

【分析】

【详解】（1）A与B不相互独立，理由如下：

已知P(A)0.2,P(B)0.4，P(B|A)0.5，

所以P(AB)P(A)P(B|A)0.20.50.1；

因为P(A)P(B)0.20.40.08；

所以P(AB)P(A)P(B)，

所以A与B不相互独立.

（2）设A为“每天玩手机不超过1小时”，则P(A)10.20.8

所以PBPAPB|APAPB|A

即0.40.20.50.8PB|A，所以PB|A0.375.

（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率

37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.

22．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理

论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然

后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本

原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，

其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从

该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到

甲袋或乙袋的概率均为1（先验概率）．

2

(1)求首次试验结束的概率；

(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．

①求选到的袋子为甲袋的概率，

②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中

摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．

11

【答案】(1)

20

1

(2)①；②方案二

9

【分析】

【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结

果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2，

191211

PBPAPB∣APAPB∣A．

111121221021020

11

所以试验一次结果为红球的概率为．

20

9

（2）①因为B,B是对立事件，PB1PB，

122120

11

PABPB∣APA

∣1221110211

所以PA1B2，所以选到的袋子为甲袋的概率为．

PB2PB2999

20

18

②由①得PA∣B1PA∣B1，所以方案一中取到红球的概率为：

221299

19825

PPA∣BPB∣APA∣BPB∣A

11211221291091018

891237

方案二中取到红球的概率为：PPA∣BPB∣APA∣BPB∣A

22211121291091045

375

因为，所以方案二中取到红球的概率更大．

4518

【题型05贝叶斯公式的应用】

1

23．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下

3

午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为1．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球

4

的概率为（）

2311

A．B．C．D．

3432

【答案】A

11

【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知PAPAB，PBA，

34

1211

所以PBPABPABPAPAPBA，

3342

PAB2

所以PAB．

PB3

故选：A．

24．（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有

2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱

并从中摸出一个球，事件Ai表示“取到i号箱(i1,2,3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，

则（）

2

A．PBA2B．PBA1PCA1PA1

5

114

C．PBD．PA1B

1511

【答案】ACD

1412

【详解】由题意可知PA1PA2PA3,PBA1,PCA1,PBA2，A正确，B错误；

3555

11

PBA1,PBPA1PBA1PA2PBA2PA3PBA3，C正确；

315

14

PA1B354

PA1B，D正确；

PB1111

15

故选：ACD.

PAiPBAin

PAiBj1

25．贝叶斯公式：，其中PAiPBAi称为B的全概率．已知Rh阴性血型

PAjPBAji1

n

又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血

型，且这三个地区的人口数量之比为6:7:5，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性

血型，则这个人来自C地区的概率为（结果用分数表示）．

3

【答案】

11

【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件N1，N2，N3分别表示“这个人来自A，B，C地区”，

675

则PN，PN，PN，

118218318

PMN10.002,PMN20.004,PMN30.003，

11

故PMPNPMNPNPMNPNPMN，

11