2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第04讲 随机变量的数字特征（3知识点+8大题型）（原卷版）

第04讲随机变量的数字特征内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01离散型随机变量的均值（期望）】【题型02离散型随机变量的方差与标准差】【题型03均值、方差性质的应用】【题型04方差的期望表示】【题型05两点分布的均值与方差】【题型06二项分布的均值与方差】【题型07超几何分布的均值与方差】【题型08利用均值与方差进行决策】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：X……P……（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．方差的变形：知识点2：均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则知识点3：特殊分布的均值与方差（1）两点分布若,则;（2）二项分布若,则;（3）超几何分布若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则【题型01离散型随机变量的均值（期望）】1．已知随机变量X的分布列如表所示（其中）：X012P则随机变量X的数学期望等于（

）A． B． C． D．2．设随机变量的分布列如表所示，且，则（

）0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.43．已知随机变量X的分布列如下图，若，则.x235Pab4．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（

）A． B． C． D．5．定义：表示三个数中最大的数.将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望.6．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴（元）100150记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．【题型02离散型随机变量的方差与标准差】7．已知随机变量的分布列为12450.20.350.3由表可得.8．随机变量的分布列如表所示，且，则．a03Pb9．袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（

）A． B． C． D．10．已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（

）A．B．C．D．11．设为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如下表．若记分别为X，Y的期望，，分别为X，Y的方差，则，．（填“>”“<”或“=”）XYP12．甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差．【题型03均值、方差性质的应用】13．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（

）A．， B．，C．， D．，14．设离散型随机变量的分布列为012340.10.40.20.2若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．15．已知随机变量X的分布列如下：X012Pmn若，则（

）A． B．7 C．21 D．2216．已知随机变量的分布列如表，则.X12Pm0.50.217．已知随机变量的分布列为，又的均值，且．18．已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则，若变量，则．【题型04方差的期望表示】19．已知随机变量的分布列为12450.20.350.150.3下列结论正确的是（

）（多选）A． B．C． D．20．（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（

）X012P0.36A． B．C． D．21．已知随机变量的分布列如下：0120.6若，则；当时，最大．22．为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目.(1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列；(2)求的期望和方差.23．如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置.(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)求和的值.【题型05两点分布的均值与方差】24．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．325．已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（

）．A． B．0 C． D．126．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（

）A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.2127．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，EX，DX分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．28．（多选）已知随机变量服从两点分布，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【题型06二项分布的均值与方差】29．若随机变量，则．30．设随机变量服从二项分布，若，则（

）A． B． C． D．31．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（

）A． B．C． D．32．某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图.

(1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）；(2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差.33．近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：甲款机器人乙款机器人丙款机器人测试次数50100100成功次数206080假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系.34．为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表.分数段人数1228331规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差.【题型07超几何分布的均值与方差】35．已知随机变量，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．536．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（

）A． B． C． D．37．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为.38．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为.39．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为．40．我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．(1)求，；(2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差．【题型08利用均值与方差进行决策】41．第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式：·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；·方式二：直接购买吉祥物，每个30元(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选：方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式：方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？42．甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制（三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜）.在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响.(1)当时，求甲最终获胜的概率；(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.43．已知一道数学多项选择题有4个选项，其中有3个是正确选项，每选对1个得2分，全选对得满分6分，但是有选错的得0分．学生甲对这4个选项都无法判断是否正确，故其只能猜答案．他有3个方案：（1）猜1个选项；（2）猜2个选项；（3）猜3个选项．若甲猜每一个选项都是等可能的，请你根据得分期望的大小帮他确定哪一个方案最好．44．已知某科技公司的某型号芯片分为Ⅰ级品和Ⅱ级品，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，按规定须将该指标大于的产品应用于型手机，小于或等于的产品应用于型手机．若将级品中该指标小于或等于临界值的芯片错误应用于型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将级品中该指标大于临界值的芯片错误应用于型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值时，将2个不作该指标检测的级品芯片直接应用于型手机，求芯片生产商的损失（单位：元）的分布列及期望；(2)设且，现有足够多的芯片级品、级品，分别应用于型手机、型手机各1万部的生产：方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于型手机，Ⅱ级品直接应用于型手机；方案二：重新检测芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元），并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．45．某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案．(1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求；(2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；(3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．一、单选题1．一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．2．已知随机变量的分布列如下表，且．123若，则（

）A． B． C． D．3．已知随机变量服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．4．已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中无理项的个数为，则（

）A． B． C． D．5．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则（

）A． B．C． D．6．为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（

）百元代金券A．12 B．16 C．18 D．20二、多选题7．已知随机变量，则（

）A． B．当取最大值时，C． D．8．某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（）A．一场活动结束总分为8分的概率为B．一场活动结束总分为11分的概率为C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望三、填空题9．为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．，．10．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.．又X的均值，则＝.11．一个箱子里装有大小相同、质地均匀的红球个、白球个，从中随机摸出