2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题06 双曲线与方程12大题型（解析版）

专题06双曲线与方程12大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形：①若点P满足,则点P在左支上,如图（1）②若点P满足,则点P在右支上,如图（2）（2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线．②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线．知识点2：双曲线的标准方程标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的关系知识点3：双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率知识点4：直线与双曲线1．直线与双曲线的位置关系一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得.①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点；②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点；判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离,没有公共点．2．弦长问题设直线交双曲线于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：4.中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率【题型01双曲线的定义及其应用】1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（

）A．10 B．2 C．2或10 D．14【答案】A【详解】因为双曲线，所以，故，即，由双曲线的定义知，，所以或，当时，,不合题意，舍去.故.故选：A2．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（

）A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线【答案】C【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支.故选：C.3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（）A．双曲线左支 B．双曲线右支C．双曲线上支 D．双曲线下支【答案】B【详解】因,由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.故选：B．4．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（）A．1 B．13 C．1或9 D．1或13【答案】B【详解】双曲线，则，，，所以，又，解得或，但是，所以.故选：B【题型02求双曲线的标准方程】5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线，因为，，所以，所以其轨迹方程为.故选：B6．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，．则．．即．，．则该双曲线的方程是：．故选：A7．焦点为且经过点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为，且，由双曲线性质得，即①，双曲线过点，将其代入标准方程得：，化简为②，联立①②，得，解得，，所以双曲线方程为故选：D.8．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为.【答案】【详解】，代入由右焦点得，，代入，故，故双曲线的标准方程为.故答案为：9．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为.【答案】【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点，所以，即，解得或(舍)，所以双曲线的标准方程为，故答案为：.10．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为．【答案】【详解】设等轴双曲线的方程为，将代入方程得，所以双曲线的标准方程为．故答案为：.11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点，焦点在轴上；(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；(3)过点，且焦点在坐标轴上．【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且，则可设双曲线的标准方程为，因双曲线经过点，可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点，故可设所求双曲线方程为．又双曲线过点，则得，解得或（舍去）．故双曲线的标准方程为．（3）设双曲线的方程为，．点，在双曲线上，则有解得，双曲线的标准方程为．【题型03二元二次方程与椭圆、双曲线、圆】12．若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】由题意得，解得．故选：A．13．“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，因为是的真子集，所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件，故选：B．14．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（

）A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则【答案】AD【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线，则，则曲线的方程为，若曲线表示圆，则有，则，A对；对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错；对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错；对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确.故选：AD15．（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（

）A．若，则为椭圆B．若或，则表示双曲线C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距【答案】ACD【详解】对于A，当时，满足，而，即不是椭圆，故A错误；对于B，当，即或时，为双曲线，故B正确；对于C，由为椭圆，则，解得且，当时，，则为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，当时，，则为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，而的焦距为，故C错误；对于D，由B知，当或时，表示双曲线，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，而双曲线的焦距为，故D错误.故选：ACD.16．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（

）A．可能表示圆B．可能表示焦点在轴上的双曲线C．若表示双曲线，则D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为【答案】ACD【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确.由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误.若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确.若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得，所以，，所以的焦距为，故D正确.故选：ACD.【题型04双曲线的焦点三角形】17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，在双曲线上，设①，由，在中，根据余弦定理可得，，故，即②，由①②可得，得到的面积故选：C.18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】已知双曲线，则，因为，即，所以点在双曲线左支上，因为直线为内切圆的一条切线，而也是内切圆的一条切线，所以可设内切圆的圆心为，半径为，设与轴的切点为，由内切圆切线长性质可知，，而，即，解得.故选：C19．已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由可得，，由余弦定理得，，即，所以，，则双曲线的焦距等于4.故选：C.20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，，.如图，设圆与线段，，分别相切于点，，，则，，，所以，所以，从而可知内切圆的圆心在直线上.因为的斜率为，所以倾斜角为，因为是的平分线，所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得，所以，即圆的半径为，得圆的面积为.

故选：C21．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为．【答案】/【详解】不妨设点在双曲线的右支，令，则，得，而，则，令，得而函数在上单调递增，得，故的最小值为．故答案为：22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则.【答案】/0.6【详解】由双曲线，得，，焦点，.根据双曲线定义，.因为是的外角平分线，由角平分线定理得.又平分，在中，由角平分线定理得.设，则，故，即.结合（），解得，.因此.故答案为：.【题型05双曲线的几何性质】23．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为，所以所求距离为.故选：C24．双曲线的焦点在上，渐近线方程是（

）A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴，【答案】C【详解】由得：，故双曲线焦点在y轴上，，对于焦点在y轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线为.故选：C.25．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对双曲线，可得其焦点在轴上，其坐标为.设椭圆方程为，，由题意，，所以.所以椭圆方程为.故选：B26．已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设双曲线的半焦距为，则.故选：A27．（多选）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（

）A．当时，双曲线的实轴长为4B．当时，C．无论取何值，双曲线的焦距都为D．当时，双曲线的渐近线方程为【答案】AB【详解】由双曲线的方程为，依题意，，注意到，故，设双曲线方程为.B选项，由，即，则，解得，B正确；C选项，，，则，所以，所以双曲线的焦距为，C错误；A选项，由，得双曲线的方程为，即，则双曲线的实轴长为4，A正确；D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误.故选：AB【题型06求双曲线的离心率】28．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（

）A． B． C．2或 D．【答案】C【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即，点到直线的距离，在中，所以，则，又因，所以，化简可得，等式两边同时除以，可得，即，解得或，因，所以或，结合选项可得C正确.故选：C.29．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则，

由椭圆与双曲线的定义得，可得，因为，所以，即，则，故，且，则所以，由于函数在上为增函数，所以，则，故的取值范围是.故选：D.30．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为.【答案】2【详解】如图，由圆的性质可知，又，，所以有，又直线OA与OB都是双曲线的渐近线，得，又，得，又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为.故答案为：231．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】由的角平分线交轴于点，得，而，则，，在中，，由余弦定理得，整理得，即，则，所以双曲线的离心率为.故选：B32．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】设，则，所以，则，由，则，故，综上，，所以，则，所以，则，可得，所以.

故选：A【题型07求双曲线的渐近线】33．已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线的焦点在轴上，左右焦点为，（其中，），因为，故，由双曲线的对称性可得，故，故，故，而在第一象限的渐近线上，故，而，故，故，因此最终渐近线方程为：.故选：B.34．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以为锐角，，，，过作直线的垂线，垂足为，由此可得：，，设，由，得，，，，由于，得：，解得：，即得：的渐近线方程为.故选：D35．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，设直线与圆相切于点，且圆心，半径=．因为以为直径的圆过点P，所以，又圆E与直线的切点为M，所以，从而．由，得=，所以===b．又，所以，解得，因此该双曲线的渐近线方程为．故选：C36．已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为．【答案】【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为，所以点在渐近线上，即，所以，所以离心率．故答案为：.37．已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为.【答案】【详解】双曲线的左､右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，又的渐近线方程为，联立方程组，解得，则，直线的方程为，联立方程组，解得，则，，，，，，.故答案为：6.38．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【详解】不妨设在第二象限，，则，设，则，由余弦定理，，解得．由正弦定理有，即，解得，或，由于，所以，故双曲线的渐近线方程为．故答案为：【题型08与双曲线有关的轨迹方程问题】39．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题设，圆的半径为，则，所以，点的轨迹是以，为焦点，所以，的双曲线的左支，又，则，故，动圆圆心的轨迹方程为.故选：C40．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由圆M：，得圆心，半径，由圆N：，得圆心，半径．设圆P的半径为r，则有，．两式相减得，所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，又，所以C的方程为．故选：B．41．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，因为，且，所以，且为中点，所以，且，因此，，所以点在以，为焦点的双曲线上，设的方程为，可知，所以，又，则，所以的方程为，即，又点是圆外一点，所以，即，故所求轨迹方程为.故选：B42．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，由圆O与圆C外切，得，又，，则，因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，所以双曲线方程：．故选：C43．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为.【答案】【详解】设，则，又因为可得.则点的轨迹方程为.故答案为：.44．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为．【答案】【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点，，又，满足双曲线定义且，，，轨迹方程：．故答案为：．【题型09双曲线的实际问题】45．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【详解】以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点，最小直径为米，实半轴，双曲线标准方程为，塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米，点在双曲线上，故，解得，双曲线方程为，塔顶直径为，设塔顶直径上点为，，解得，塔顶位于轴上方，，故，塔高：米，故B正确故选：B．46．如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设炮弹爆炸点P的坐标为，则，所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支．因为，所以．又，所以，故炮弹爆炸点的轨迹方程为．故选：B．47．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为．

【答案】【详解】

根据双曲线的光学性质可知与三点共线，故，不妨设，则，由双曲线的定义可知，两式相加可得，所以，由勾股定理可知，故.故答案为：.48．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．

【答案】【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为，因为最小直径为，可得，即，又因为尊高，上口直径为，底部直径为，设点，所以且，解得，即，可得双曲线的渐近线为，所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.故答案为：.

49．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角．【答案】P在北东方向【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意，∴在以为焦点的双曲线的右支上．其中，其方程为，又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：，由方程组解得，即.由于，可知在北东方向．

50．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（

）

A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【详解】由题意画出轴截面如下图所示：

设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为，则点到圆心的距离的平方，对称轴为，若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则，所以，即清洁钢球的最大半径为.故选：A【题型10双曲线的弦长问题】51．已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为．【答案】12【详解】因为，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以故答案为：1252．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.(1)求的标准方程；(2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为且，所以焦点，即，，所以，根据双曲线的定义有，所以，所以双曲线.（2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为，由，当时，有，设，则由韦达定理有，所以，因为，所以，即点和点到直线的距离相等，则有，解得，所以，53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为(1)求C的方程;(2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程.【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）由题意可知，，在中，由，得，由，解得，又由余弦定理得，，化简得，即，，从而，所以，双曲线方程为.（2）设直线l的方程为，与双曲线相交于，，联立化简可得，由，可得，，，所以，，设点到直线l的距离为d，则，故，解得故l的方程为.54．已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上，所以，所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；（2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：，联立双曲线方程可得：，所以，则.55．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值.【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为，到直线的距离为，∴，解得，，所求双曲线C的方程为.（2）联立，得，

∵直线被双曲线C截得的弦长为，∴，设直线与双曲线交于，，则，，则.【题型11双曲线的中点弦问题】56．已知直线与椭圆在第一第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即.故选：C57．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则的中点，可得，点在双曲线上，则，相减得，则.对于选项A：可得，则，联立方程，消去得，此时，所以直线与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：点在双曲线上，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D，则，联立方程，消去得，此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确.故选：D.58．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线的方程是．【答案】【详解】设，则有，两式相减，可得，为线段的中点，故有，即，若，则，即两点重合，不满足题意，故，因此可得直线的斜率为，又因为直线过，故直线，整理得，故答案为：.59．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为．(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）设，直线，相交于，且它们的斜率之积为，，化简得，则动点的轨迹方程为；（2）由（1）得的轨迹方程为，设点，，则有，，得：，整理得：，为的中点，，，直线的斜率，直线的方程为，即.60．已知双曲线经过点，离心率为．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为．（2）设点、，设点，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，可得，则，即点的轨迹方程为．61．已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为.(1)求的离心率；(2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率.解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率.（2）解法一：由（1）知的方程为.直线的斜率，设平行于的一组直线方程为，与交于点，线段的中点为.由得，即，，所以，因为，所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.解法二：由（1）知的方程为.直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点，线段的中点为.由两式相减得：，显然，所以，所以，即，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.

【题型12双曲线的综合问题】62．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为．【答案】/【详解】因为双曲线的方程为，所以．设，则，直线的斜率，直线的斜率，所以．因为点在双曲线上，所以满足，化简得，所以．联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得．由题意得解得，所以．故答案为：.63．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为．【答案】【详解】由题意可得，，，解得，则，设，与联立得，设，则，则，直线，，则，，则故答案为：64．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程；(2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）由题意得，所以，即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，又，，所以，所以的方程为.（2）假设存在点满足条件.由（1）知，双曲线的右焦点为.设为双曲线右支上的一点，则.①当时，，因为，所以，于是，所以或5.即或都满足条件.②当时，根据①我们猜想定点为或，当点在轴负半轴上时，，.因为，所以.（i）当时，上式化简为：.又即，代入上式得.所以，解得，即.（ii）当时，，即也能满足.当点在轴正半轴上时，，.过程同上，得到不能满足条件.综上所述，在轴上存在定点，使得.65．已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点.(1)求双曲线的方程.(2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)是，.【分析】【详解】（1）因为双曲线的焦距为，所以，又其中一条渐近线方程为，则，解得，.所以双曲线的方程为.（2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在，设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为，所以圆心到切线l的距离为，即，则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得.设直线，，，联立方程，消去y得.由韦达定理得，则，将其代入，得，即得，同理可得，因为，则得.又因为，所以直线BC的方程为，直线BC的方程可化为，，.故直线BC过定点.66．在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是.(1)求动点P的轨迹曲线C的方程；(2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值.【答案】(1)(2)是，定值为3【分析】【详解】（1）设，，因为动点P与，两点连线的斜率之积是，所以，整理得，所以动点P的轨迹曲线C的方程为.（2）易知直线斜率不为0，设直线：，，，联立，得，则且，即且，而，则，为定值.

67．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.(1)求双曲线离心率；(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）对于双曲线，，，，所以双曲线离心率.（2）因为点是的中点，所以点，代入双曲线方程，得，解得，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以直线的斜率为.（3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意；当直线斜率不为时，设直线方程为，设，，则，联立，整理得，（*）且，，，因为，，所以，，所以，即，即，整理得，即，代入（*）中得，又，所以，又因为，即，所以且，综上，的取值范围为.一、单选题1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由双曲线的虚轴长为，得，因为该双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：A2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由双曲线的定义知，，又，所以，.在中，，，由余弦定理得，，即，整理得，即.所以双曲线的离心率为.故选：B.3．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，设双曲线方程为，因为，则，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是，解得，所以双曲线的方程为.故选：A4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题，，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A.5．已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B点且位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则，双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上，代入可得，解得，且，故，所以，设，则，为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且，当单调递减，故,即.故选：C6．双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，，故，即，设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，故，解得.由双曲线得，，，因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3，而轴，得到，即，而，则，可得方程为，整理得，故D正确.故选：D二、多选题7．已知双曲线，则（

）A．渐近线方程为 B．离心率为C．顶点坐标为 D．焦点坐标为【答案】ACD【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，；对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确；对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误；对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确；对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确.故选：.8．已知双曲线的左、右焦点分别