2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题06 双曲线与方程12大题型（原卷版）

专题06双曲线与方程12大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形：①若点P满足,则点P在左支上,如图（1）②若点P满足,则点P在右支上,如图（2）（2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线．②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线．知识点2：双曲线的标准方程标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的关系知识点3：双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率知识点4：直线与双曲线1．直线与双曲线的位置关系一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得.①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点；②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点；判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离,没有公共点．2．弦长问题设直线交双曲线于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：4.中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率【题型01双曲线的定义及其应用】1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（

）A．10 B．2 C．2或10 D．142．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（

）A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（）A．双曲线左支 B．双曲线右支C．双曲线上支 D．双曲线下支4．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（）A．1 B．13 C．1或9 D．1或13【题型02求双曲线的标准方程】5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（

）．A． B．C． D．6．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（

）A． B． C． D．7．焦点为且经过点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为.9．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为.10．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为．11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点，焦点在轴上；(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；(3)过点，且焦点在坐标轴上．【题型03二元二次方程与椭圆、双曲线、圆】12．若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或13．“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（

）A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则15．（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（

）A．若，则为椭圆B．若或，则表示双曲线C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距16．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（

）A．可能表示圆B．可能表示焦点在轴上的双曲线C．若表示双曲线，则D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为【题型04双曲线的焦点三角形】17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．519．已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（

）A．2 B．3 C．4 D．520．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（

）A． B． C． D．21．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为．22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则.【题型05双曲线的几何性质】23．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（

）A．1 B．2 C． D．324．双曲线的焦点在上，渐近线方程是（

）A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴，25．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（

）A． B．C． D．26．已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（

）A． B． C． D．27．（多选）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（

）A．当时，双曲线的实轴长为4B．当时，C．无论取何值，双曲线的焦距都为D．当时，双曲线的渐近线方程为【题型06求双曲线的离心率】28．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（

）A． B． C．2或 D．29．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．30．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为.31．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．332．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2【题型07求双曲线的渐近线】33．已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．34．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（）A． B． C． D．35．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．36．已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为．37．已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为.38．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为．【题型08与双曲线有关的轨迹方程问题】39．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．40．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．41．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．42．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．43．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为.44．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为．【题型09双曲线的实际问题】45．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（

）A．米 B．米 C．米 D．米46．如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．47．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为．

48．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．

49．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角．50．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（

）

A．1 B．2 C．3 D．【题型10双曲线的弦长问题】51．已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为．52．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.(1)求的标准方程；(2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为(1)求C的方程;(2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程.54．已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.55．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值.【题型11双曲线的中点弦问题】56．已知直线与椭圆在第一第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（

）A． B．C． D．57．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（

）A． B． C． D．58．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线的方程是．59．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为．(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．60．已知双曲线经过点，离心率为．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程．61．已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为.(1)求的离心率；(2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.【题型12双曲线的综合问题】62．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为．63．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为．64．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程；(2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得.65．已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点.(1)求双曲线的方程.(2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由.66．在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是.(1)求动点P的轨迹曲线C的方程；(2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值.67．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.(1)求双曲线离心率；(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.一、单选题1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B点且位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率