人教版（2024）七年级下册数学第八章 实数 教案（单元教学设计）

第第页人教版（2024）七年级下册数学第八章实数教案（单元教学设计）单元教材分析：本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算.通过本章的学习。学生对数的认识将从有理数范围扩大到实数范围.虽然本章的内容不多，篇幅不大、但是本章的概念教学任务较重。数学知识的抽象性较强.本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础。也为学习初中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。单元教学目标：1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念、会用根号表示数的平方根、立方根。2、了解开方与乘方互为逆运算。会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数的。对应的负整数、的立方根。3、了解无理数和实数的概念。知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。4、了解数的范围由有理数扩大到实数后、概念、运算等的一致性及其发展变化。5、能用有理数估计一个无理数的大致范围。8、了解近似数。在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算、并会按问题的要求对结果取近似值。单元教学重点：算术平方根和平方根的概念和求法，它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础。单元教学难点：平方根和实数的概念，学生对正数开平方有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆、实数的概念是一个构造性的定义。比较抽象，学生真正理解这个概念也有一定的困难。单元课时安排：7课时8.1平方根……………2课时8.2立方根……………2课时8.3实数………………2课时本章小结………………1课时学校：年级：七年级主备教师：课题8.1平方根课型讲授课教学目标1.理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示.2.会用计算器求算术平方根；会估算一些数的算术平方根，了解无限不循环小数的特点.3.会用算术平方根的知识解决实际问题.4.通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义.5.引导学生充分进行交流、讨论与探究等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.教学重点算术平方根的概念和求法，会估算一些数的算术平方根.教学难点算术平方根的求法，认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根.教学准备教师多媒体课件学生练习册课堂教学过程二次备课8.1平方根一、创设情境活动1学校要举行美术作品比赛，拉木很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52=25(板书：因为52=25)，所以这个正方形画布的边长应取5分米(板书：所以边长=5分米).问题实质：已知一个正数的平方等于a，怎样求出这个正数呢？结论：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算.这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.二、探索新知要点归纳：算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为

，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.【微点拨】1.规定也是定义的一部分.2.

与x的关系：

=x(x≥0).探究点：算术平方根的应用例题讲解例1(教材P40例1)根据例题的计算结果，请探究被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系.要点归纳：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.探究点：算术平方根有意义的条件。问题：负数有算术平方根吗？为什么？负数没有算术平方根.因为找不到一个数，使得它的平方为负数.要点归纳：被开方数是非负数.例2

下列各式有意义吗？为什么？(1)：(2)-：(3)解析：(1)无意义，负数没有算术平方根；(2)有意义，表示5的算术平方根的相反数；(3)有意义，表示(-5)“的算术平方根(或表示25的算术平方根).三、检测反馈1.9的算术平方根为

()A.9

B.±9

C.3

D.±32.若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是()A.1

B.0

C.-1

D.0或13.估算的值是

()A.在2和3之间

B.在3和4之间

C.在4和5之间

D.在5和8之间4.若有意义，则a的取值范围是5.a是9的算术平方根，而b的算术平方根是4，则a+b=8.如图，在数轴上表示实数-1的点可能是四、课堂小结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1.一般地说，一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫作a的a的算术平方根记为；0的算术平根是3.一个数越大，这个数的算术平方根就越作业设计必做基础类：教材P47复习巩固1、2、3。选做提高类：教材P48综合运用7、8。板书设计8.1平方根（第一课时）已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为

，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0. 教学反思学校：年级：七年级主备教师：课题8.1平方根课型讲授课教学目标1.会比较两个数的算术平方根的大小；2.会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；3.会用计算器求一个数的算术平方根。4.使学生经历、探索估算一个数的算术平方根的大致范围的过程。5.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。教学重点会比较两个数的算术平方根的大小。教学难点会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识。教学准备教师多媒体课件学生练习册课堂教学过程二次备课8.1平方根一、情境导入请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为

1

的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a²＝2，那么a是多少？这个数是多大呢？二、合作探究【问题】教材P41探究：解析：设大正方形的边长为xdm，则

x²=2，由算术平方根的定义可知，x=.∴大正方形的边长为dm.追问1：有多大呢？

追问2：是无限不循环小数，你以前见过这种数吗？【想一想】介于哪两个整数之间？介于1与2这两个整数之间.探究点一：算术平方根的估算【类型一】

估算算术平方根的大致范围例1：估算－2的值()A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间解析：因为4²<19<5²，所以4<<5，所以

2<－2<3.故选

B.方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．【类型二】

确定算术平方根的整数部分与小数部分例2：已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)³＋(b＋2)²的值．解析：本题综合考查有理数与无理数的关系．因为2<<3，所以的整数部分是2，即a＝2.是无限不循环小数，它的小数部分应是－2，即b＝－2，再将a，b代入代数式求值．解：因为2<<3，a是的整数部分，所以a＝2.因为b是的小数部分，所以b＝－2.所以(－a)³＋(b＋2)²＝(－2)³＋(－2＋2)²＝－8＋8＝0.方法总结：解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．【类型三】

用估算法比较数的大小例3：通过估算比较下列各组数的大小：(1)与1.9；(2)与1.5解析：(1)估算的大小，或求1.9的平方，比较5与1.9²的大小；(2)先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小．解：(1)因为5>4，所以>，即>2，所以>1.9；(2)因为8>4，所以>，所以>2，所以>＝1.5，即>1.5.探究点二：用计算器求算术平方根例4：（书42页例2）用计算器求下列各式的值：(1)；(2)(精确到0.001).探究问题：利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？答案：0.25，

0.791，

2.5，

7.91，

25，

79.1，

250规律：被开方数的小数点向右(或向左)移动2位，其算术平方根的小数点向右(或向左)移动1位.三、随堂练习

教科书P44练习：1、2四、课堂小结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？作业设计必做基础类：教材P47复习巩固4、5。选做提高类：教材P48综合运用9、10。板书设计8.1平方根（第二课时）比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小． 教学反思学校：年级：七年级主备教师：课题8.2立方根课型讲授课教学目标(1)了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.(2)了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.(3)会用计算器求立方根，一些大数立方根的规律.(4)用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同.(5)培养学生树立严谨的数学学习态度、科学的数学学习方法.教学重点立方根的运算.教学难点立方根的概念及其运算.教学准备教师多媒体课件学生练习本课堂教学过程二次备课8.2立方根一、创设情境1.求下列各数的算术平方根：(1)100；（2)198；(3)0.04；（4）；（5）0；（8）2.填空：（1）正数的平方根有（）个，它们互为（）；0的平方根是（）；负数（）平方根。（2）____，____，±____，±____。3.看图填空：（）（）（）（）二、探究新知探究点1：立方根的定义及求法问题1：（教材P49问题）1.正方体的体积与棱长有什么关系吗？2.谁的立方等于27呢？问题2：如何求一个数的立方根？归纳要点：1.一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根（也叫三次方根），即：，那么叫做的立方根。2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。3.一个数的立方根可用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数。探究点2：立方根的性质问题1：（教材P49探究）你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？问题2：阅读教材P50“探究及例题”归纳要点：立方根的性质：1.（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0.2.一般地，探究点3：立方根的应用阅读教材P51，独立完成探究。要点归纳：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，其立方根的小数点向右（或向左）移动1位。例题讲解：例1：求下列各数的立方根：（1）-125；（2）；（3）解析：（1）；（2）；（3）例2：求下列各式的值：（1）；（2）解析：（1）；（2）三、检测反馈1.下列说法中，正确的有（）A.只有正数才有平方根B.27的立方根是±3C.立方根等于-1的数是-1D.1的平方根是12.若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是____。3.一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是____。4.求下列各式中的：（1）（2）5.已知的平方根是±3，的立方根是2，求的平方根。四、课堂小结1.一个数只有一个立方根，且当时，；时，；时，。2.。3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根。作业设计必做基础类：教材P51复习巩固1、2、3。选做提高类：教材P52综合运用5、8。板书设计8.2立方根1.一个数只有一个立方根，且当时，；时，；时，。2.。3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根。 教学反思学校：年级：七年级主备教师：课题8.2立方根课型讲授课教学目标了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。会用立方运算求一个数的立方根了，解开立方与立方互为逆运算。了解立方根的性质。(4)区分立方根与平方根的不同。(5)经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略。（8）在学习了平方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想。教学重点立方根的运算.教学难点立方根的概念及其运算.教学准备教师多媒体课件学生练习本课堂教学过程二次备课8.2立方根一、创设情境问题1：要制作一种容器为27正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？预设：生：设棱长为x米，则x=27，因为3=27，所以x=3，所以棱长为3m。追问：若容器是884.70时，棱长又应该是多少呢？预设：设棱长为x米，则x=70，但不知道x是多少。二、观察感知问题2：上述问题实质上是已知什么，求什么？预设：已知幂和指数，求底数。问题3：根据平方根的概念，你能给立方根下定义吗？预设：学生能自己给出立方根的定义及什么是开立方。探索新知1.教学立方根：（1）因为，所以的立方根是。（2）练习：因为，所以8的立方根是（）。因为，所以-1的立方根是（）。因为，所以0的立方根是（）。（3）提问：正数、负数、0都有立方根吗？它们分别有几个立方根？它们的立方根分别是什么数？（4）比较与的结果，总结规律：。2.巩固提升（1）-8的立方根是____，0.001的立方根是____，的立方根是____，一个数的立方根等于它本身的是____。的立方根是____，的立方根是____。（3）-27的立方根与4的算术平方根的和是____。3.用计算器求立方根：（1）用计算器求，可以按照下面的步骤进行：=，提问：被开方数扩大1000倍（或缩小1000倍），它的立方根又有怎样的变化？（2）比较数3、4、的大小。点拨：先把50开立方，然后再比较。4.开立方求立方根及解方程：（1）（2）（3）（4）（5）5.立方根的应用：一个小正方体的体积是9立方米，一个大正方体的体积是它的3倍，求大正方体的边长是多少？本课小结1.一个数只有一个立方根，且当时，；时，；时，。2.。3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根。作业设计必做基础类：教材P51复习巩固4。选做提高类：教材P52综合运用7、8。板书设计8.2立方根比较与的结果，总结规律：。立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根。 教学反思学校：年级：七年级主备教师：课题8.3实数课型讲授课教学目标（1）了解无理数和实数的概念。（2）知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想。（3）会求实数的相反数与绝对值，会对实数进行简单的运算。（4）经历从有理数扩充到实数集，对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识及集合思想。通过在数轴上表示实数进一步发展数形结合意识。教学重点（1）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系。（2）知道有理数的运算律和运算性质，同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算。教学难点对无理数的认识。（2）认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。教学准备教师多媒体课件学生练习本课堂教学过程二次备课8.3实数一、创设情境1.问题1：有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数形式：，，，。2.问题2：通过解题，你有什么发现？二、新知探究探究点1：无理数的定义及实数的分类问题1：有理数包括整数和分数，把有理数写成小数形式，你发现什么规律了？动手试一试，说说你的发现并与同学交流。结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？（任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。）问题1：我们学过的数都可以化成有限小数或无限循环小数吗？自主完成教材P53探究。要点归纳：无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。实数的定义：有理数和无理数统称实数。实数的分类：按定义分类：探究点2：实数与数轴上的点的对应关系问题1：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？追问1：直径为1个单位长度的元从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的书是多少？追问2：为什么？回顾：能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？小正方形对角线的长为____。问题2：你能在数轴上找到表示和的点吗？追问：以单位长度为边长画一个长方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点表示什么？与负半轴的交点表示什么？要点归纳：事实上，每一个无理数都可以用数轴上的点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的两个点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大。三、检测反馈1.判断题（1）实数不是有理数就是无理数。（）（2）无理数都是无限不循环小数。（）（3）带根号的数都是无理数。（）（4）无理数都是无限小数。（）（5）无理数一定都带根号。（）2.实数，，，，0.5050050005…中，无理数有（）。A.4个B.3个C.2个D.1个四、课堂小结事实上，每一个无理数都可以用数轴上的点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的两个点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大。作业设计必做基础类：教材P57复习巩固1、2、3。选做提高类：教材P52综合运用8。板书设计8.3实数（1）当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的两个点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大。 教学反思学校：年级：七年级主备教师：课题8.3实数课型讲授课教学目标(1)了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(2)了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.(3)通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识.(4)通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识.让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展；利用类比思想得到有理数的运算律及运算法则在实数范围内仍然成立.教学重点会求实数的相反数和绝对值，会进行实数的加减法运算，会进行实数的近似计算.教学难点认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。教学准备教师多媒体课件学生练习本课堂教学过程二次备课8.3实数一、创设情境如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？合作探究探究点一：实数的性质例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1）；（2）；（3）解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果.注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数.解：(1)∵=-4，∴的相反数是4，倒数是-，绝对值是4；∵=15，∴的相反数是-15，倒数是-，绝对值是15；的相反数是-，倒数是-，绝对值是；方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同.探究点二：实数的运算【类型一】

利用运算法则进行计算例2：计算下列各式的值：；解析：按照实数的混合运算顺序进行计算.解：（1）方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律.（2）方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律.【类型二】利用实数的性质结合数轴进行化简例3：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：解析：由于，，所以解题时应先确定，，的符号，再根据绝对值的意义化简.解：由图可知<0，>0，<0.所以，原式=|a|-|b-a|-b+c|=a-(b-a)+(b+c)=—a-b+a+b+c=c.方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：①a（a>0）②0（a=0）③-a（a<0）随堂练习教科书P58练习3、4.四、课堂总结当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的两个点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大。