苏教版五年级数学上册：除数是整数的小数除法探究之旅

苏教版五年级数学上册：除数是整数的小数除法探究之旅一、教学内容分析  本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数的运算”主题。从知识技能图谱看，它是小数除法运算的起始和奠基课。学生已掌握整数除法、小数的意义和性质等核心概念，本节课需实现从整数除法到小数除法的认知迁移，理解“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一算理，掌握算法。在单元知识链中，它上承小数乘法及小数意义，下启除数是小数的除法及商的近似值，是小数四则运算体系中的关键枢纽。从过程方法路径审视，本课蕴含了深刻的数学建模与转化思想。教学需引导学生将新问题（小数除法）转化为旧知（整数除法），通过具体情境抽象出数学模型，并经历“情境问题算法算理”的完整探究过程。从素养价值渗透维度挖掘，本节课是发展学生运算能力、推理意识的绝佳载体。在探索算理、归纳算法的过程中，学生需要有条理地思考、清晰地表达，理解运算的一致性，这不仅关乎技能掌握，更是培养严谨、理性的科学精神与逻辑思维品质的契机。因此，教学重点在于算理的理解与算法的内化，难点在于理解“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”，特别是当被除数整数部分不够商1或除不尽时，学生易产生认知困惑。  基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判：学生已有基础包括熟练的整数除法笔算技能和对小数意义的理解，生活经验中也有“平均分”涉及小数的模糊感知。可能的认知障碍在于，整数除法中“余数”概念根深蒂固，迁移到小数除法中“添0继续除”时，学生容易思维断层，不理解“余数”如何可以继续细分。此外，计算过程的格式化书写可能掩盖对算理的理解，导致机械模仿。为动态把握学情，教学将设计“前测”问题激活旧知，在新授环节通过关键性提问、板演及小组讨论进行形成性评估，观察学生能否用学具或图示解释算理。针对不同层次学生，教学支持策略包括：为学习基础较弱的学生提供直观学具（如人民币模型、面积模型）和分步指导的“学习脚手架”任务单；为学有余力的学生设计探究被除数与商的变化规律、提前接触除不尽情况等挑战任务，实现差异化支持。二、教学目标  知识目标：学生能理解除数是整数的小数除法的算理，特别是“商的小数点与被除数小数点对齐”的深层原因，掌握其基本笔算方法。能正确计算如“9.6÷3”、“12÷5”、“5.7÷6”等典型例题，并能解决简单的实际问题，构建起小数除法与整数除法之间的知识联结。  能力目标：学生能够通过独立探究、合作交流，经历从具体情境中抽象出数学问题、并用竖式模型进行解释和计算的过程。发展运算能力和初步的推理能力，能够清晰表述自己的计算思路，并对他人的算法进行有理有据的评价。  情感态度与价值观目标：在探究算理的过程中，学生能体会到转化、迁移等数学思想的力量，感受数学逻辑的严谨性与一致性。在小组合作学习中，养成乐于倾听、敢于质疑、互助分享的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与推理意识。引导他们将生活问题抽象为除法算式，并通过操作、类比、说理，将新问题（小数除法）转化为已解决的旧问题（整数除法），构建竖式计算模型，实现逻辑自洽的数学推理。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“说理”来检验自己计算结果的合理性，并能够对照范例或评价量规，反思自己竖式书写和计算过程的规范性。通过课堂小结环节，初步尝试梳理知识脉络，反思学习路径。三、教学重点与难点  教学重点：理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，重点是明确“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理。其确立依据源于课程标准的“数的运算”核心要求——理解算理、掌握算法。此规则是小数除法整个知识体系的基石，后续学习除数是小数的除法（转化为除数是整数）及解决复杂实际问题，均依赖对此核心法则的深刻理解，是体现运算能力与推理意识的关键节点。  教学难点：理解在除法过程中“商的小数点定位”的原理，特别是当被除数的整数部分不够商1时，要在商的个位写“0”再点小数点；以及除到被除数末尾仍有余数时，需要“添0继续除”的原理。预设难点成因在于，学生的认知需从“余数不能再分”的整数思维，跨越到“可以将余数转化为更低计数单位继续除”的小数思维，存在认知跨度。常见错误表现为小数点位置点错或遗漏“添0”操作，这都源于对算理理解不透。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、动态竖式演示）、实物投影仪。1.2学习材料：设计分层学习任务单、人民币学具（元角分卡片或虚拟币）、课堂练习及分层作业纸。2.学生准备2.1知识准备：复习整数除法的笔算方法，回顾小数的意义和数位顺序。2.2学具准备：每人准备草稿本、笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与互学。3.2板书记划：左侧预留板书画图演算区，中部为主体知识推导区，右侧为方法提炼区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，提出问题  同学们，今天咱们不直接翻课本，先来看个生活中常见的小难题。（课件出示：小明用9.6元买了3支同样的铅笔，每支铅笔多少钱？）谁能列出算式？对，9.6÷3。这个算式和我们以前学的除法有什么不同？你发现了什么？“被除数是小数！”没错，这就是我们今天要挑战的新问题——除数是整数的小数除法。（板书课题）1.1唤醒旧知，明晰路径  面对这个新朋友，大家别慌。回想一下，我们学过整数除法，也学过小数的意义。能不能试着用已有的知识来攻克它呢？老师先请大家估一估，9.6元接近几元？平均分成3份，每份大概多少钱？有同学说3元多，很好，这能帮助我们判断最后结果是否合理。那精确的结果到底怎么算出来？这节课，我们就一起化身“数学侦探”，通过“动手分一分”、“动笔试一试”、“动口说一说”三个关卡，揭开小数除法的计算奥秘！第二、新授环节任务一：直观感知，初探算法（9.6÷3）教师活动：首先，我们不急于列竖式。请大家拿出代表9.6元的人民币学具（9个1元，6个1角），或者自己在草稿纸上画一画。我们的挑战是：把这9.6元平均分成3份，可以怎么分？请大家先独立思考一分钟，再在小组内分享你的分法。（巡视，关注学生是先分“元”还是“角”一起分）。好，请一个小组上台展示。他们先分了9元，每份得3元；再把6角平均分，每份得2角。所以合起来是3元2角，也就是3.2元。这个过程太清晰了！那么，谁能把刚才分钱的过程，用一个竖式记录下来呢？请大家在任务单上试一试。（收集有代表性的学生作品投影）学生活动：动手操作学具或画图，尝试将9.6元（9元和6角）平均分成3份。小组内交流不同的分法。尝试将操作过程用竖式表达出来，可能出现先分“9”再分“6”的写法。观察同伴的竖式，思考其与操作过程的对应关系。即时评价标准：1.操作是否有序（先分高级单位，再分低级单位）。2.能否将操作过程与数字、数位建立联系。3.尝试的竖式书写是否能体现“分两次”的过程。形成知识、思维、方法清单：★1.转化思想：把小数除法转化成已经学过的“元角分”这类具体的等分操作，是解决问题的关键策略。★2.计算原理：计算时，可以按照整数除法的方法，先除被除数的整数部分（9÷3），再除小数部分（6÷3）。▲3.竖式雏形：初步体验竖式应能反映出“先分元，再分角”的步骤顺序，为理解小数点对齐做铺垫。任务二：模型建构，理解算理（12÷5）教师活动：第一个挑战成功！但生活中不会总是这么巧，都能除尽。看第二个问题：小红买5本相同的笔记本花了12元，一本多少钱？算式是12÷5。估一估，一本多少钱？2元多。能用学具分吗？12元平均分给5本，每本先分到2元，这时发生了什么？对，还余下2元。这2元不够每本再分1元了，怎么办？别着急，我们请小数的意义来帮忙！这2元，也就是20角，可以继续分！请大家在竖式中体现这个“继续分”的过程。（板书规范竖式：商2后余2，在余数2后面添0变成20个十分之一，继续除得4，商写在十分位）。这里的“20”表示什么？为什么要在2后面添0？这个“4”写在哪一位？为什么？大家看，商的结果是2.4，它的小数点是怎么来的？学生活动：列出算式12÷5。尝试用竖式计算，遇到余数2后产生困惑。在教师引导下理解“将余数2元转化为20角（即20个0.1元）”的思维过程。观察教师板书，理解“添0”操作在竖式中的表示方法，明确商“4”应写在十分位，表示4个0.1。讨论并发现商的小数点与被除数隐藏的小数点（在个位后）对齐。即时评价标准：1.能否理解“余数转化”的必要性（化整为零）。2.能否说出竖式中“添0”的数学含义（计数单位转换）。3.能否正确说出商“2.4”中每一位数字所代表的实际意义。形成知识、思维、方法清单：★1.核心算理—小数点对齐：商的小数点要和被除数的小数点对齐。其本质是数位对齐，保证相同的计数单位相除。★2.关键操作—添0继续除：除到被除数末尾仍有余数时，可以在余数后面添0，转化为更小的计数单位继续除。▲3.隐含知识：整数可以看作小数部分为0的小数（如12=12.0），这统一了整数除法与小数除法的竖式形式。任务三：算法归纳，突破难点（5.7÷6）教师活动：看来“添0”的关窍大家抓住了。第三个挑战升级：王爷爷计划6天跑步5.7公里，平均每天跑多少公里？列式：5.7÷6。先别算，估一估，每天跑的会比1公里多还是少？为什么？对，因为总数5.7比6小，所以平均每天肯定不到1公里。那用竖式该怎么算呢？整数部分5除以6，不够商1，怎么办？（等待学生思考）有同学皱眉头了，这第一步就卡住了。别急，我们想想，5个一不够分，我们可以把它……“变成更小的单位！”太棒了！5个一可以看成50个十分之一，加上原来的7个十分之一，一共是57个十分之一！现在够分了吗？来，请大家独立完成竖式计算。（巡视，重点查看学生如何处理整数部分商的位置）。请完成的同学说说，你的商写在哪？整数部分的“0”不写行不行？为什么？学生活动：先估算，感知商应小于1。尝试列竖式，遭遇“首位不够除”的困境。在教师引导下，理解将被除数5.7看作57个0.1的整体思维。独立计算5.7÷6。思考并辩论“整数部分商0”的必要性（占位作用），深刻体会商的小数点必须点在与被除数小数点对齐的位置。即时评价标准：1.估算意识是否具备，能否用估算判断商的合理范围。2.能否理解并完成“整数部分不够商1，要商0”的步骤。3.竖式书写是否规范（0和小数点的位置）。形成知识、思维、方法清单：★1.难点突破—整数部分不够商1：当被除数整数部分小于除数时，要在商的个位写“0”，然后点上小数点继续除。★2.算法完整性归纳：（1）按整数除法的方法除；（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐；（3）如果除到被除数末尾有余数，添0继续除；（4）如果整数部分不够除，商0，点小数点。▲3.估算应用：计算前先估算，能有效预测结果范围，检验最终计算的合理性。任务四：对比辨析，深化理解教师活动：刚才我们闯过了三道关，解决了三种典型情况。现在请大家把这三个竖式（9.6÷3,12÷5,5.7÷6）放在一起对比观察。（课件并列展示）它们看起来步骤有所不同，但有没有一个贯穿始终、永远不变的规则？对，就是“商的小数点要和被除数的小数点对齐”。无论哪种情况，这个“对齐”就像一条金线，把整个计算过程串起来了。谁能结合我们分钱、分路程的例子，再来说说为什么一定要对齐？学生活动：观察、对比三个完整竖式。小组讨论，寻找共同点。全班交流，反复确认和阐述“小数点对齐”这一核心规则。结合具体情境，从“保证元与元、角与角相除”或“相同数位对齐”的角度深度理解算理。即时评价标准：1.能否从具体算式中抽象出普适性的计算法则。2.能否用情境或数位知识解释法则，而非机械记忆。形成知识、思维、方法清单：★1.运算的一致性：小数除法与整数除法的算理本质一致，都是基于计数单位进行细分操作。“小数点对齐”是数位对齐原则在小数领域的体现。★2.结构化认知：将三种情况（整除、有余数添0、整数部分不够商1）纳入统一的算法框架下理解，形成完整的知识结构。第三、当堂巩固训练  现在到了检验我们侦探成果的时候了！请大家完成“练兵场”任务单。1.基础层（全体必做）：竖式计算：4.2÷3=，14.4÷12=，2.5÷5=。（设计意图：直接应用算法，巩固技能。）“大家做完可以同桌交换，用‘小数点对齐了吗？’‘数位对齐了吗？’这两个问题互相检查一下。”2.综合层（多数学生完成）：（1）纠错题：出示竖式（如计算1.8÷12，错误写成商15）。（设计意图：诊断常见错误，深化算理。）（2）简单应用：一瓶1.5升的果汁，平均倒在3个杯子里，每杯多少升？（设计意图：在情境中应用，理解计算结果的意义。）3.挑战层（学有余力选做）：探究题：计算2÷3，你发现了什么？如果继续除下去，会怎样？这和我们以前学的除法有什么不同？（设计意图：引发对“循环小数”的初步感知，激发探究欲。）反馈机制：基础题采用同伴互评，教师抽查。综合题教师选取典型正确与错误案例进行投影讲评，重点分析错误根源。挑战题请完成的学生简要分享发现，点到为止，为后续学习埋下伏笔。第四、课堂小结  同学们，今天的数学探索之旅即将结束，谁来当小老师，用一句话说说你的最大收获？……看来大家抓住了核心。我们不仅学会了一种新的计算方法，更重要的是，我们体验了如何把新问题转化成旧知识来解决。请大家在课堂总结卡上，用思维导图或关键词的方式，梳理一下今天我们研究小数除法的步骤和要注意的地方。作业布置：  必做题（巩固基础）：课本第XX页“练一练”第1、2、3题。  选做题（提升应用）：生活小调查：记录家里一种商品的总价和数量，计算单价，并尝试用竖式验证。  （结束语）“数学源于生活，又服务于生活。希望大家能用今天学到的‘侦探眼’和‘计算手’，去发现和解决生活中更多的数学问题。下课！”六、作业设计基础性作业：1.完成《补充习题》本节对应基础练习部分，包括直接列竖式计算除数是整数的小数除法（涵盖三种典型情况）。2.完成课本中的基础应用题，如根据总价和数量求单价、根据路程和时间求速度等简单情境问题。拓展性作业：3.“小小会计”情境题：设计一份购物清单（包含23种商品，总价为小数），要求平均分到若干个朋友身上，计算每人应付多少钱。要求列出算式和竖式。4.探究记录：尝试计算几道“除不尽”的题目（如2÷3，5÷6），观察余数和商的特点，把你的发现记录下来。探究性/创造性作业：5.数学小报：以“小数除法的奥秘”为主题，创作一份数学小报。内容可以包括：算法步骤的漫画图解、易错点提醒、自己编的应用题、以及它与整数除法的联系与区别。6.家庭实验：测量一杯水的容量和一定时间内的蒸发量（需成人协助），计算平均每天的蒸发量。将过程、数据、计算和思考记录下来。七、本节知识清单及拓展★1.核心概念：除数是整数的小数除法。指被除数是小数（或可视为小数），除数是整数的除法运算。其算理与整数除法一致。★2.法则：商的小数点与被除数的小数点对齐。这是本节课最核心的规则，是保证相同计数单位相除的关键，务必深刻理解。★3.算法步骤：(1)按整数除法的方法去除；(2)商的小数点要和被除数的小数点对齐；(3)除到被除数末尾有余数，添0继续除；(4)整数部分不够除，商0，点小数点。★4.关键操作：添0继续除。当有余数时，在余数后添0，意味着将余数转化为更低一级的计数单位（如元变角，米变分米），从而可以继续除。★5.难点突破：整数部分不够商1。当被除数整数部分小于除数时，在商的个位写“0”占位，再点小数点继续除小数部分。提示：可联想“不够分整体，就拆开成分散的小部分来分”。▲6.估算先行：计算前先估算商的大致范围，能有效培养数感，并用于检验计算结果的合理性。▲7.与整数除法的联系：本质相同，都是平均分。整数除法是小数除法的特例（小数部分为0）。通过“小数点对齐”和“添0”操作，统一了两者的竖式模型。▲8.易错点警示：(1)忘记点商的小数点；(2)小数点位置点错（不与被除数对齐）；(3)漏写整数部分的“0”；(4)有余数时忘记添0。▲9.生活应用举例：计算单价、求平均速度、分配资源等涉及平均分且结果可能不是整数的情境。▲10.思想方法：转化与迁移。将未知的小数除法问题，通过计数单位转换，转化为已知的整数除法问题来解决。▲11.拓展思考：除不尽的情况。像2÷3，会得到0.666…这样不断重复的商，这叫循环小数，是小数王国里更有趣的成员，我们以后会专门认识它。八、教学反思  本教学设计以“探究之旅”为主线，试图将“导入目标前测参与式学习后测总结”的认知模型结构化地嵌入课堂。回顾假设的教学实况，教学目标基本达成。知识技能层面，通过三个梯次分明的核心任务，大部分学生能掌握算法，从课堂练习反馈看，基础题正确率较高。能力与素养层面，学生在操作学具、解释算理、对比归纳等活动中，展现了积极的探究和推理意识，尤其在解释“为什么小数点要对齐”时，部分学生能用“数位”或“元角分”进行有逻辑的表述，这是运算能力内化的可喜表现。  对各教学环节有效性的评估：导入环节的生活情境快速引发了认知冲突，并成功通过估算激活了旧知与数感，路径清晰。新授环节的三大任务构成了坚实的认知支架。“任务一”的直观操作是理解算理的“锚点”，至关重要；“任务二”的“添0”是思维跨越的关键一跃，需要放慢节奏，确保学生理解其意义而非机械模仿；“任务三”的“商0”是难点突破，结合估算进行预测，有效降低了认知负荷。“对比辨析”任务将前三者串联，促进了知识的结构化，是本环节的点睛之笔。巩固与小结环节的分层练习满足了差异需求，挑战题虽只有少数学生尝试，但激发了全班的好奇心。引导学生自主小结，尝试