精研算法贯通算理-四年级数学“小数退位减法”深度教学

精研算法，贯通算理——四年级数学“小数退位减法”深度教学一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数与运算”主题。在知识技能图谱上，它是在学生已经掌握“小数的意义和性质”、“小数不退位减法”以及“整数退位减法”基础上的关键延伸与深化，是小数加减法运算技能的最后一块拼图，也是后续学习小数混合运算及解决更复杂实际问题的重要基石。其核心认知要求在于“理解”小数退位减法的算理（即“相同计数单位相减”）并能够“应用”算法正确计算。过程方法上，本节课是培养学生“运算能力”和“推理意识”的绝佳载体。教学需引导学生经历从具体情境抽象出算法、并通过推理明晰算理的全过程，渗透“转化”（将新知转化为旧知）与“模型”（竖式计算模型）的数学思想。素养价值渗透方面，通过解决真实问题，引导学生体会数学的严谨性与应用性；在探究算理的过程中，培养言之有据、步步为理的思维品质，实现从“会算”到“懂理”的跨越，为形成理性精神奠定基础。  从学情研判来看，四年级学生已具备较强的整数笔算能力和初步的小数概念。其已有基础是理解小数数位及不退位减法的对位规则。然而，潜在的认知障碍可能在于：一是对“退1当10”的原理在“小数部分”如何迁移存在困惑；二是当被减数小数位数少于减数时，如何补“0”再退位的操作易出错；三是容易受整数减法负迁移影响，忽视小数点对齐这一根本原则。教学对策上，我将通过前测题（如：5.21.78=？）快速诊断学生起点，并在新授环节利用人民币“元角分”模型和计数器等直观学具，搭建从具体到抽象的认知阶梯。对于不同层次的学生，提供差异化的“脚手架”：对基础薄弱者，强化操作感知；对学有余力者，引导其概括算法、解释算理，并挑战连续退位问题。二、教学目标  知识目标：学生能理解小数退位减法的计算原理，即“相同数位对齐，从低位算起，哪一位不够减就从前一位退1作10再减”，并能够正确、规范地书写竖式，解决相关实际问题。  能力目标：学生能够借助人民币、计数器等模型，将抽象的算理直观化，发展数形结合的能力；能在具体情境中提出问题并利用小数退位减法解决问题，提升运算能力和初步的应用意识。  情感态度与价值观目标：在探究算理的合作学习中，学生能乐于分享自己的思路，并认真倾听同伴的见解，体验克服思维难点后获得的成就感，增强学习数学的信心。  科学（学科）思维目标：学生经历从具体情境抽象出数学问题、建立计算模型（竖式）并解释模型合理性的完整过程，发展初步的模型意识和推理能力，实现算法与算理的有机统一。  评价与元认知目标：学生能依据“数位对齐、退位标记、结果化简”等关键步骤，使用简单量规进行自我检查或同伴互评；能在小结环节反思自己的学习路径，明确“退位”这一核心步骤是如何从整数迁移到小数运算的。三、教学重点与难点  教学重点：掌握小数退位减法的计算法则，并能正确进行计算。其确立依据在于，该法则是“数的运算”核心概念下的具体规则，是构成学生运算能力的基础组件。从学业评价角度看，准确进行小数加减运算是四年级下册的核心技能与高频考点，直接关系到学生解决实际问题的能力。  教学难点：理解小数退位减法的算理，特别是“退1”后，计数单位发生的变化（如从“1”退到十分位变成“10个0.1”）。预设难点依据学情分析：此过程涉及对小数位值制的深层理解，抽象程度高，学生易出现“知道怎么做，但说不清为什么”的现象。常见错误如退位后忘记减1、小数点对齐但相同数位未实质对齐等，皆源于算理不清。突破方向在于强化直观模型支撑与语言表述训练。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、动态竖式演示）；可粘贴的小数点、数字卡片教具；实物投影仪。  1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含前测、探究记录、分层练习）；人民币学具（虚拟或卡片）；位值计数器学具（可标识十分位、百分位）。  2.学生准备  复习整数退位减法及小数不退位减法；准备铅笔、直尺。  3.环境布置  黑板划分为情境区、算法探究区（模型操作与竖式对照）、要点总结区。学生按异质小组就坐，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，引发冲突：同学们，生活中处处有数学。看，小华去文具店买了一本笔记本花了6.45元，他付给收银员10元钱。请问，应该找回多少钱呢？来，我们列出算式：106.45。请大家先试着在心里估一估，再用竖式算一算。（留白1分钟）老师巡视，捕捉典型做法。  1.1问题提出：老师发现大家列竖式时都记得小数点要对齐，这是个好习惯！但计算时，不少同学在百分位遇到了麻烦：0减5不够减，怎么办？有同学尝试向十分位借，可十分位上是“0”，又该怎么办？这和我们以前学的整数退位减法，比如1000456，是不是有相似之处？今天，我们就一起来攻克“小数退位减法”这个堡垒！  1.2路径明晰：我们将化身“算术侦探”，首先借助我们的老朋友“元角分”来破案（建立直观），然后抽象成竖式总结规律（提炼算法），最后还要当“小老师”讲清楚背后的道理（明晰算理）。大家准备好了吗？第二、新授环节任务一：模型支撑，初探“退位”  教师活动：首先，我们回到“10元6.45元”的问题。10元，就是10.00元。请大家拿出学习单上的“人民币模型图”，用圈画的方式，思考并演示：怎么把10元，换成可以减去6元4角5分的“零钱”？老师提示：当“角”（十分位）上没钱时，我们该怎么办？（巡视，请用不同方法的学生上台展示）好，请小明来展示，他是怎么“换钱”的。大家听仔细，看明白。  学生活动：学生利用“元角分”模型进行探究和换算。例如：将1元换成10角，这样角位就有钱了；或者理解10元=9元10角0分，再进行逐位相减。学生在小组内交流自己的“换钱”策略，并尝试用语言描述过程。  即时评价标准：1.操作是否有序，能否体现“退1当10”的换算过程。2.语言描述是否清晰，能否将生活语言（元角分）与数学数位（个位、十分位、百分位）初步关联。3.小组成员能否互相倾听并补充不同的策略。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心模型：“元角分”是理解小数位值的绝佳生活模型。1元=10角，1角=10分，直观对应了十进制和“满十进一”、“退一当十”的规则。教学提示：务必让学生动手“换”，亲历“不够”时向高位“借”的过程。  ★认知起点：小数退位的本质与整数退位完全相同，都是“计数单位不够减，向高一级单位借1当10”。认知说明：帮助学生打通整数与小数运算的隔阂，建立知识网络。  ▲策略多样：解决“106.45”这类问题，可以从整体考虑（如看作9.99+0.01去减），也可以逐位退位。鼓励多样化思路，但需导向通用的竖式算法。任务二：数形结合，明晰“连续退位”  教师活动：模型帮我们看懂了原理。现在，请出更数学化的工具——位值计数器。老师在屏幕上演示：在计数器上拨出10.00（个位1颗珠，其余位0）。现在要减去6.45，百分位不够减，怎么办？对，向十分位借！可十分位是0，怎么办？大家回忆整数，比如1000456，百位是0怎么借？对，它要向千位借！所以，我们让“借位”的动作传递下去：十分位向个位借1，这个“1”是多少？没错，是1个一，也就是10个0.1。现在十分位有10了，它再借给百分位1个0.1，即10个0.01。看明白这个“传递”过程了吗？请大家在自己的学习单计数器图上画一画这个传递路径。  学生活动：观看教师演示，理解“连续退位”中计数单位的连锁变化。在自己的学习单上画出退位路线图，并尝试用语言描述：“个位上的1颗珠子，退到十分位变成了10颗（代表0.1）…”  即时评价标准：1.绘制的退位路径是否准确、清晰。2.能否正确说出每一次“退1”后，计数单位发生的变化（如“1个一变成10个0.1”）。3.是否理解“借到的数量”与“借出后剩余的数量”的区别。  形成知识、思维、方法清单：  ★难点突破：“连续退位”的关键在于理解中间有0时，借位动作的传递性。教学提示：用计数器动态演示，比静态讲解有效十倍。务必慢速、分步，让学生看清每一颗“珠子”的旅行。  ★语言固化：引导学生形成规范表述：“某一位不够减，向前一位借1当10，前一位如果是0，就继续向前借。”认知说明：规范的语言是内化思维的框架。  ▲易错警示：退位后，前一位的数字一定要先减掉“1”再判断是否继续外借。这是计算准确的生命线。任务三：竖式抽象，归纳算法  教师活动：原理清楚了，现在我们把刚才计数器上的精彩演出，搬到我们的作业本上——写成竖式。请大家根据刚才的操作，独立尝试完成10.006.45的竖式计算。写完后思考：小数退位减法的竖式步骤，和整数退位减法有哪些异同？我们能不能总结出几句口诀？（学生尝试，教师板书规范过程，重点标注退位点）大家看，老师把退位的点标得清清楚楚，这样就不容易忘了。谁来总结一下步骤？  学生活动：独立完成竖式计算，并对照教师的规范板书进行订正。小组讨论，尝试总结算法步骤。例如：1.小数点对齐（数位对齐）。2.从低位减起。3.哪一位不够减，向前一位借1当10再减。4.得数的小数点要与横线上的小数点对齐。  即时评价标准：1.竖式书写是否规范（数位对齐、退位标记清晰）。2.总结的算法是否完整、简洁。3.能否明确指出与整数减法的核心相同点（退位规则）和不同点（对齐标志是小数点）。  形成知识、思维、方法清单：  ★算法核心：小数减法竖式三要素：对齐（小数点）、逐位减（从右向左）、巧退位（不够减时前一位借1当10）。教学提示：要求学生像对待艺术品一样对待竖式书写，退位点必不可少。  ★关联对比：将小数减法算法与整数减法算法对比，其核心规则“退一当十”完全一致，凸显了数学的统一美。认知说明：这是结构化思维的体现。  ▲规范意识：退位点、划掉的数字、写得稍小的数字，这些书写细节都是严谨思维的体现，能有效避免错误。任务四：难点辨析，强化补“0”  教师活动：刚才我们解决了被减数末尾有0的退位问题。现在挑战升级！（出示：5.21.78）这个竖式，百分位上怎么减？2的百分位上有数字吗？大家有什么好办法？对，根据小数的性质，我们可以先在5.2的百分位上补一个“0”，看成5.20，这样数位就对齐了，也能顺利退位了。请大家算一算。再想一想，如果是83.65呢？整数8的小数点在哪里？  学生活动：计算5.21.78，理解并实践“在被减数小数部分末尾添0”的操作。计算83.65，理解整数化为小数（8.00）再进行计算的必要性和方法。讨论：什么情况下需要补0？  即时评价标准：1.能否自觉、正确地在小数末尾或整数后补“0”以使数位对齐。2.计算过程是否准确，特别是补0后的退位处理。3.能否解释补0的合理性（小数的性质）。  形成知识、思维、方法清单：  ★关键技巧：当被减数的小数位数少于减数时，要根据小数的性质，先在被减数末尾补“0”，使小数位数相同后再计算。教学提示：强调“先补0，再计算”，养成良好习惯。  ★概念贯通：此操作将“小数的性质”与“减法运算”紧密联系起来，是知识应用的典范。认知说明：让学生体会数学知识不是孤立的，而是相互支撑的网。  ▲思维严谨：补0不是随意添加，而是为了保障“相同数位相减”这一根本原则。要追问学生“为什么可以补0”，巩固对小数性质的理解。任务五：算法梳理，内化算理  教师活动：经历了这么多挑战，现在我们都是“小数减法高手”了。谁能当小老师，结合黑板上的例题，完整地讲解一道小数退位减法题？不仅要讲怎么算，还要讲清楚为什么这样算。老师给你提供“元角分”模型图和计数器图当教具。其他同学当评委，听听他的讲解是否清晰、有道理。  学生活动：学生代表上台，选择一道例题（如106.45或5.21.78），利用教具，边操作边讲解计算过程和算理。台下学生倾听、提问或补充。  即时评价标准：1.讲解是否步骤清晰，语言流畅。2.能否将直观模型（操作）与抽象竖式（算法）对应起来解释算理。3.能否回答同学提出的质疑。  形成知识、思维、方法清单：  ★素养体现：从“会计算”到“能说理”，是思维从程序性走向概念性的飞跃，是推理意识发展的标志。教学提示：创造安全的表达环境，鼓励学生不怕说错，敢于表达。  ★学习评估：学生的讲解水平是评估其算理理解程度的最直接证据。语无伦次或只讲算法不讲道理，说明理解仍停留在表层。  ▲同伴学习：“小老师”活动是高效的差异化教学策略，讲解者深化理解，倾听者查漏补缺，各有所获。第三、当堂巩固训练  现在进入实战演练场！学习单上有三组题，请大家量力而行，挑战自我。  基础层（人人过关）：直接应用算法。如：12.58.76；94.37。目标：巩固竖式书写和基本退位技能。“做完的同学，用红笔给自己打勾，检查退位点和小数点。”  综合层（大多数完成）：情境应用与简单变式。1.一支钢笔8.5元，比一本字典便宜12.7元，字典多少钱？2.7.20.98（突出整数部分为0时的退位）。目标：在复杂情境和数字特征中灵活运用法则。“读题要仔细，‘便宜’是什么意思？找准谁比谁多，谁比谁少。”  挑战层（学有余力）：开放探究。1.用数字卡片2、5、7和小数点“.”，组成一个被减数和减数，使它们的差最大/最小。2.判断：6.82.99=6.83+0.01，这样计算简便吗？为什么？目标：发展数感与策略性思维，渗透简便算法思想。“拼数游戏考验你的数感，试试看，有什么规律？”  反馈机制：完成后，通过实物投影展示具有代表性的正确解答与典型错误（如忘退位、小数点没对齐）。开展“我是小医生”活动，集体诊断错误原因。教师针对共性问题精讲，并请做对挑战题的学生分享思路。第四、课堂小结  同学们，这节课的探索之旅即将到站。请大家合上课本，用一分钟时间，在脑海或草稿本上画一个简单的“思维泡泡图”，中心词是“小数退位减法”，看看你能联想到哪些关键词？是“小数点对齐”、“退一当十”，还是“元角分模型”、“补0”？……非常好！看来大家收获满满。今天我们不仅掌握了算法，更追本溯源，弄懂了算理。数学就是这样，既要“知其然”，更要“知其所以然”。106.45=1060.45=...练一练”第1、2、3题（巩固算法）。2.选做题：（1）寻找生活中用到小数减法的问题，编一道应用题并解答。（2）探究：在计算106.45时，除了逐位退位，还可以怎么想？（如：106.45=1060.45=...）哪种方法你更喜欢？下节课我们分享。六、作业设计  基础性作业（必做）：完成教材配套练习册中关于小数退位减法的基本计算题组（约810题），要求列竖式计算，并做到书写工整、标记清晰。旨在自动化基本技能。  拓展性作业（建议完成）：完成一份“家庭消费小调查”微型项目。记录一次家庭购物小票（或模拟数据），选取两样物品，计算它们价格的差值；或者计算总消费金额与支付金额的找零。将问题、算式、竖式计算过程及答案整理在A4纸上。旨在实现数学与生活的链接，培养应用意识。  探究性/创造性作业（选做）：1.算法探源：查阅资料或询问家长，了解竖式减法（包括退位）的历史发展，制作一张简易的“数学史小报”。2.创意表达：用四格漫画、连环画或简短的小故事，生动形象地解释“为什么小数减法中，不够减要向前一位借1当10”。旨在满足学有余力学生的深度学习与个性化表达需求。七、本节知识清单及拓展  ★核心概念：小数退位减法。其本质是相同计数单位上的数字相减，当低位单位上的数字不够减时，向相邻的高位单位借1，化为10个低位单位后再减。这是十进制计数法在运算中的直接体现。  ★算法口诀：一点（对齐小数点）、二减（从低位减起）、三借（哪一位不够减，向前一位借1当10）、四点（点上得数的小数点）。口诀是程序性知识的提炼，有助于规范操作。  ★关键操作：补0。当被减数的小数位数少于减数时，需先在被减数末尾补0，使小数位数相同。依据是小数的性质（小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）。这是保证数位对齐、顺利计算的必要步骤。  ★理解难点：连续退位。当需要退位的前一位是0时，退位动作需连续向前传递。例如，10.00减某数，百分位不够减，需向十分位借，十分位是0，则需向个位借1（=10个0.1），十分位留下9个0.1，再借1个0.1（=10个0.01）给百分位。用计数器演示最直观。  ★易错点警示1：只对齐了小数点，但未注意实际数位是否对齐，特别是整数部分位数不同时。对策：用直尺辅助，确保个位对个位，十分位对十分位。  ★易错点警示2：退位后忘记在借位的数字上点退位点，或忘记把借走的“1”减去，导致高位计算错误。对策：养成“借位必标记，计算前先减1”的检查习惯。  ★易错点警示3：得数的小数点遗漏或点错位置。对策：牢记得数的小数点必须与横线上方被减数和减数的小数点对齐。  ▲思想方法：转化。将未知的小数退位减法转化为已知的整数退位减法（算理相同）和简单的小数减法（通过补0）来求解。这是解决数学问题的通用策略。  ▲思想方法：模型思想。竖式是一种高度概括、程序化的计算模型。“小数点对齐”是模型的核心输入规则，“逐位相减、退一当十”是模型的处理逻辑。理解模型背后的原理比机械操作更重要。  ▲能力延伸：估算。在计算前先估算，能快速检验结果的合理性。如106.45，结果应比3.5略大一点（因为6.45比6.5小），若算出4.55，则明显错误。  ▲知识关联：小数的意义与性质。本课运算深刻依赖于对小数的计数单位、数位顺序以及小数性质的理解。算理不清往往源于概念不牢。  ▲生活链接：货币计算。“元角分”是小数加减法最典型、最高频的应用场景。熟练掌握本课内容，能极大提升解决实际财务问题的能力。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标基本达成，通过巩固练习的准确率（预计85%以上学生能正确完成基础题）和“小老师”环节的表述可见一斑。能力与思维目标方面，学生在模型操作和算理解释环节表现活跃，初步展现了将直观与抽象关联的能力，但将具体方法提炼为一般性策略（模型化）的能力仍有分层，部分学生仍停留在模仿例题阶段。情感目标在合作探究与成功解决问题中得到了较好实现，课堂氛围积极。  （二）核心环节有效性评估：1.导入环节：用“106.45”制造认知冲突，迅速聚焦难点，效果显著。学生“眉头一皱”的表情正是思维启动的信号。2.任务一与任务二（模型探究）：“元角分”和计数器的使用是突破难点的关键。但巡视中发现，有小部分学生仅是机械模仿操作，未能主动建立操作与算理之间的联系。下次可增加“操作记录单”，要求学生用箭头和文字简要记录每一次“换钱”或“拨珠”对应的数学意义。3.任务五（讲解算理）：是本节课的亮点也是重要的评估点。上台学生的讲解水平差异，清晰地反映了理解深度分层。这提示我，需在日常更多设计此类“输出型”任务，并建立伙伴互助机制，让“能讲清