新高考数学专题复习专题42圆锥曲线中的向量问题专题练习(学生版+解析)

专题42圆锥曲线中的向量问题

一、题型选讲

题型一、有向量关系求圆锥曲线的离心率

y1

例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆「十=1（a>〃>0）的内接AABC的顶点B

aF

为短轴的一个端点，右焦点/，线段48中点为K，且#=2FK，则椭圆离心率的取值范围是.

例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线

C:三一六二1（。>〃>0）的右焦点为尸，过尸且斜率为6的直线交C于4、A两点，若而=4而,

则C的离心率为.

例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆。:马+4=l（a>b>0）的右焦点为F（c,0）,直

线x-2或y=0与。相交于力、B两点.若万•丽^O,则椭圆C的离心率为.

题型二、求向量数量积的范围

22

例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:力+.=1的左、右焦点分别为F】，F?,

点人在椭圆E上且在第一象限内，AF2LF1F2,直线AFi与椭圆E相交于另一点8.

（1）求鸟的周长;

（2）在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q求。户•。户的最小值:

(3)设点M在椭圆E上，记△Q48与△肠记的面枳分别为5i,S2,若S?=3S1,求点M的坐标.

例5、(2018苏州暑假测试)如图，已知椭圆O：\+y2=l的右焦点为F,点B,C分别是椭圆O的上、下

顶点，点P是直线1：y=—2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.

(1)当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积：

(2)①记直线BM,BP的斜率分别为ki，k2,求证：笈咏2为定值；

②求丽•丽的取值范围.

例6、(2019苏州暑假测试)如图，已知椭圆G：£+%=13»>0)的右焦点为F，上顶点为A，尸为椭圆

G上任一点，MN是圆。2：3)2=1的一条直径»在y轴上截距为3一地的直线/与AF平行且与圆

C2用切.

(1)求椭圆G的离•心率；

(2)若椭圆G的短轴长为8、求百讥丽的最大值.

题型二、由向量关系求参数的范围

例7、(2019扬州期末)在平面直角坐标系中，椭圆M：M+W=l(a>b>0)的离心率为今左、右顶点分别

dUN

为A,B,线段AB的长为4.P在隔圆M上且位于第一象限，过点A,B分别作h_LPA,b_LPB,直线h，

12交于点C.

(1)若点C的横坐标为-1,求点P的坐标；

(2)若直线h与椭圆M的另一交点为Q,且公=7/页，求A的取值范围.

例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：V=2px经过点?(1,2).过点Q(0,1)的直线/与抛

物线C有两个不同的交点4B,且直线P4交y轴于M.直线P8交y轴于M

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM.=AQ0,QN=/JQ(jf求证：,为定值.

题型三、与向量有关的其它应用

1、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系X。），中，己知双曲线C：

二一二二］（〃>0/>0）的左，右焦点分别为匕，F2,设过右焦点鸟且与x轴垂直的直线/与双曲线。的

a~b~

两条渐近线分别交于4，B两点、,若是正三角形，则双曲线。的离心率为.

22

2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线C：£._£.=|（a>0,。:>0）的左右焦

CTD

点分别为耳、鸟，过£的直线与。的两条渐近线分别交于A、8两点，若3M,=2A*，耶•辜=0，

则C的离心率为.

3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线C：）J=8x的焦点为产，准线/,P是/上一点，。是

直线P/与。的一个交点，若户户=3Q"，贝HQ尸1=.

22

4、（2019•山东高三月考）已知椭圆。：三+与=1（4>/;>0）的左、右焦点分别为"，尸2，1661=2,过

crb~

点6的直线与椭圆。交于A8两点，延长8人交椭圆C于点M，A48用的周长为&

（1）求C的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点P（x0,0）,使得丽・丽为定值？若存在，求与；若不存在，请说明理由.

5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为F的

抛物线V=4y上有两个动点A、4,且满足Ab=义尸8,过A、4两点分别作抛物线的切线，设两切线

的交点为M.

（1）求：方•砺的值；

（2）证明：Rl7.A后为定值.

6、（2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系皿，中，焦点在x轴上的椭圆C：f+^=1经过点S，2e）,

其中e为椭圆。的离心率.过点R1O）作斜率为内k>0）的直线/交椭圆C于A,8两点（A在x轴下方）.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）过点O且平行于I的直线交椭圆C于M,N两点，求笔患的值;

（3）记直线/与y轴的交点为P,若能=|海求直线/的斜率

7、【2020年高考全国闭卷理数】已知48分别为椭圆E：=+/=1（a>l）的左、右顶点，G为E的上顶

a-'

点，AGG月=8,P为直线x=6上的动点，力与E的另一交点为C,P8与E的另一交点为D.

（1）求£的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

专题42圆锥曲线中的向量问题

一、题型选讲

题型一、有向量关系求圆锥曲线的离心率

0

)广

例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆三十=1(4>>0）的内接AABC的顶点B

为短轴的一个端点，右焦点/，线段A3中点为K,且5=2FK，则椭圆离心率的取值范围是.

由趣意可设8（°/），/（G°），线段A8中点为K，口次=2所，

可得?为AA3C的重心，设A（x,y）,。（生%），

由重心坐标公式可得，X）4-x2+0=3c,X+%+/2=0，

即有AC的中点"（x,y），可得、二七卫二,，y="±=_g,

9（?1

由遮意可得点M在椭圆内，可得二T+

4a24

例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线

22

C：3■-点■=的右焦点为过产且斜率为G的直线交C于A、B两点,若而=4而，

则。的离心率为.

【答案】|

【解析】因为直线A8过点/9,0）,且斜率为石

所以直线A区的方程为：y=y/3[x-c）

与双曲线=1联立消去x，得

/一中

2x/3

24

卜亍bcy+Z?=0

设,4（不乂）,5（孙必）

2yf3b2c-3b4

所以M+M=

彳彳'X%3u2-b2

因为A尸=4%，可得）1=-4%

2屉2c

代人上式得-3%=

3a2-b2

4，3,,

消去乃并化简整理得：-c2=^[3a2-b2）

将从二02一〃代入化简得：。2=||/

解之得c=£a

c6

因此，该双曲线的离心率6=一=一

a5

故答案为：—

例3、（2019屈全国1（）0所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C：m+[=l（a>b>0）的右焦点为尸（c,0）,直

线x-2&y=0与C相交于A、B两点.若而•而=0，则椭圆C的离心率为.

【答案】叵

2

【解析】设力（2ey0,yo）,•.・而.旃=0，即而_L而，二|而|二|赤|，则8诏+诏=。2,即9诏=c?①,

又萼+整=1,,羽=卧②，

a2b2zuSb2+a2

由①@得8c4-18612c2+9。4=0,gp8e4-18e2+9=0,，=和疗=:（舍去），解得。=奈

故答案为：y.

题型二、求向量数量积的范围

例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆f：?+(=1的左、右焦点分别为F】，F2,

点工在椭圆E上且在第一象限内，AF2LFIF2,直线4FI与椭圆£相交于另一点8.

(1)求的周长；

(2)在x轴上任取一点P,直线4P与椭圆£的右准线相交于点Q,求而的最小值：

(3)设点M在椭圆E上，记△Q48与的面积分别为5i，S2,若S?=3S「求点M的坐标.

22

【解析】(1)椭圆E：上+汇=1的长轴长为2a,短轴长为2〃，焦距为2c,

43

则/=422=3,/=1.

所以△斗£居的周长为为+2c=6.

(2)椭圆E的右准线为x=4.

设PH0),Q(4,y),

则。户=(x,0),QA=(x-4,-y),

OPQP=x(x-4)=(x-2)2-4k-4,

在x=2时取等号.

所以。户・QP•的最小值为T.

⑶因为椭圆脱右?1的左、右焦点分别为它，点"椭圆E上且在第一象限内，皿爪

3

则6（T0）,居（I,O）,A（I，5）.

所以直线A8:3x-4y+3=0.

设M（x,y）,因为邑=35；,所以点M到直线/W距离等于点O到直线相距离的3倍.

由此得13-"+31=3x13x0-4x0+31

55

则标一4），+12=0或次一4），-6=0.

3x-4y+12=0,

由＜丁丁得7/+24丫+32—0,止匕方程无解：

----h--=1

3x-4y-6=0,

7

由,Y$i得7f一⑵-4=0,所以4=2或汇=—.

-----卜—=I7

43

代入直线/:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=一~—.

717

因此点M的坐标为（2,0）或---）.

77

2

例5、（2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆0：、x+y2=l的右焦点为F,点B,C分别是椭圆0的上、下

顶点，点P是直线1：y=-2上的一个动点（与y轴的交点除外），直线PC交椭圆于另一个点M.

（1）当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求AEBM的面积；

（2）①记直线BM,BP的斜率分别为ki，k2,求证：kjkz为定值：

【解析】（1）由题意B（0,1）,C（0,-I）,焦点F（，5,0）,

当直线PM过椭圆的右焦点F时，

则直线PM的方程为京+士=1,即y=^x—1,

连结BF,则直线BF：审+；=1,即x+小y—小=0,

273

|呼+小X尹闾_2_^3

而BF=a=2,点M到直线BF的距离为d==

Jl2+（A/3）22~7­

故SAMBF=1,BF•d=；X2X^=坐.(4分)

—I—（—2）1

（2）解法1（点P为主动点）①设P（m,-2）,且mHO,则直线PM的斜率为k=---------------

U—mrn

则直线PM的方程为丫=一时一1,

y=-5T，

化简得(1+^2)X2+^X=0,

联立，

x2

a+y~=]

口（8m4—nF

解得M卜而，，（分）

nf+46

4—nr

n?+41—2m21

1-(-2)3

所以匕=k2=0-mG(8分)

8m—8m

n?+4

3i3

所以ki-k2=—京・甲》1=一不为定值.（10分）

8m4-m2m3—12mnr+12A

②由①知，

PB=(-m,3),PM=(卜2)=(nf+4'■^旬，

ll,f-，一nf-12mm2+1242、

・m+15m+36

所以PBPM=(-m,3){nf+4'02分)

(t-4)2+15(t-4)+36t2+7t-8Q

令m2+4=t>4,故而•而==t—；+7,(14分)

t

Q

因为y=t-彳+7在t£（%+8）上单调递增,

所以而•而=t—：+7>4-,+7=9,即而•疝1的取值范围为（9,+8）.（16分）

解法2（点M为主动点）①设点M（xo,yo）（xo#O）,则直线PM的方程为y=

舟'—2)(6分)

令y=-2,得

所以k尸吟'k2=]3(yo+1)

，（8分）

yo+1

所以…噌3(yo+1)3(y[—1)3(y*-1)3

=一](定值).(10分)

x(j4(1—y8)

②由①知，PB=，3,

PM=xo4yo+2,(12分)

yo+1'

4(1-yd)(yo+2)

所以PB-Xo++3(yo+2)=+3(yo+2)=卜3(yo+2)

(yo+1)2

产)2分)

令l=yo+l£(O,2),

(8一I)(t+1)

则而・PM==-t+1+7,

因为y=—1+；+7在t£（0,2）上单调递减,

所以而•丽=-t+f+7>-2+,+7=9,即而­血的取值范围为（9,+8）.（16分）

例6、（2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆Ci：5+卓=1（»>°）的右焦点为F，上顶点为A，。为椭圆

C上任一点，MN是圆。2：/+。一3尸=1的一条直径，在），轴上截距为3一g的直线/与A/平行且与圆

C2用切.

（I）求椭圆G的离心率；

（2）若椭圆G的短轴长为8•求丽・丽的最大值.

9

【解析】⑴由题意得F（c,O），40，b），则抬F=一£.（2分）

因为在y轴上截距为3一地的直线/与从户平行•，

所以直线/：y=—gx+3—也,即bx4-cy+（^2—3）c=0.（4分）

/、|即.=1，所以《=平.（6

因为圆5的圆心。2（。,3），半径厂=1，直线/与圆C3相切，所以

分）

（2）因为椭圆Ci的短轴长为8，所以28=8，即b=4.

因为〃2=力2+，，（^=1，所以4=啦。,2/=/+£（8分）

72

所以c=b=4'a=4y[2»所以椭圆方程是考+根=1.（10分）

设P（x，），），则

™W=(/^2+QM)(PC2+GM

=(元2户+丘•(改+前+&励

=(PC2)2+GA/G7V

=r+(v-3)2-l

=32(L苜+G-3)2_]

=-/-6y+40=-(y+3)2+49，

又y£[-4,4],所以当尸一3时，丽丽的最大值是49.(16分)

题型二、由向量关系求参数的范围

例7、(2019扬州期末)在平面直角坐标系中，椭圆M：，+'=l(a>b>0)的离心率为最左、右顶点分别

为A,B,线段AB的长为4.P在稀圆M上且位于第一象限，过点A,B分别作h_LPA,121PB,直线h，

L交于点C.

(I)若点C的横坐标为一I,求点P的坐标；

(2)若直线h与椭圆M的另一交点为Q,且启=)仄0，求A的取值范围.

解得

【解析】由题意得)所以b2=a2—C2=3,

所以椭圆M的方程是，+3=1且A(—2,0).R(2,0)(4分)

解法1(点参数法)⑴设P(xo,yo),kpA=W7，因为h_LPA,所以直线AC的方程为y=一花Wx+2).

同理直线BC的方程为y=一三(x—2).

xp+2

(x+2),

联立方程组尸yo

解得1x8-4.

_xp—2[y=B

(x-2),

yo

又因为点P(xo，yo)在椭圆上，故苧十号=1，所以年'=―三---=一如

所以点C的坐标为(一xo，—1yo)(6分)

3

因为点C的横坐标为一1,所以x()=l.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以yo=.

所以点P的坐标为(I，|)(8分)

(―xo+2=X.(XQ+2),

(2)解法1设Q(XQ,yQ),因为亚=加质，所以｛4解得

［一瓢=胸,

因为点Q在椭圆M上，所以氐一年+2)+氐一枭°)=1.

6

又y8=3(l—9，整理得7x3-36(入一l)xo+72九-100=(),解得xo=2或xo=':一').(14分)

因为P为椭圆M上第一象限内一点所以0/650〈2,解甯|<%瑞,故九的取值范围是儡竽)(16

分)

解法2P为椭圆M上第一象限内由(I)可知直线AC的斜率为k=-^,直线AC的方程为y=k(x=

y=k(x+2),16k2—12

2),联方方程组..c一2s八得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,所以XAXQ=(-2)XQ=RXT，

3xi2+4yz—12=0,4K十3

,八(xo+2)2/3A,、，

6—8k26.8・,6(3_o[_8(xo+2)一一2(25xu+14)

“XQ=4k2+3=：~(xo+2)2=4、3:7xo+5O，

4•--------------+34(xo+2)2+3(3一平。J

、

故,,).=丽AC=-2(2—5xxoo++124)—=7Fxo+~5O.因为。vxo<2,所以九£(2忌5，瓦16).

------------------------+9

7xo+50

解法2(线参数法)(1)设直线AP的斜率为k,P(xo，yo).因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以Ovkv坐,

所以kAP-kRP=-^・T^=T^=—*所以直线BP的斜率为一余.故直线AP,BP的方程分别为

Af)I乙A0乙AQ，'fR

3

y=k(x+2),y=-4f(x-2).

6-8k2

y=k(x+2),X=7，

4k+3'6—81?12kA

联立方程组，解得，即4k：+3'4k2+3)

y="4k(X—2)12k

y=而百

因为h_LPA,所以kAC=—：，则直线AC的方程为y=—：(x+2).

KK

44

因为12_LPB,所以kBc=、k,则直线BC的方程为丫=亦/一2).

JJ

rir8k2—6

y=-k(x+2),卜=记两'

联立言程组《/得〈…

4c-16k

ly=3k(X-2)，卜=际，

f8k2~6~16k、

即MI1Qi记百，瓦时46分)

0^2—61

因为点C的横坐标为一1,所以的三=f解得k=&

因为0<k<坐，所以k=1,所以点P的坐标为(1,1).(8分)

⑵设Q(XQ,yQ),C(xoyc)，又直线AC的方程为y=-*x+2).

y=-g(x+2)

IA—12k2

联立方程组得(3k?+4)x2+16x+16—12k2=0»所以-2-XQ=3k?+4，

x2^

T+3=h1

6k2-8

解得XQ=3i?+4-

8k—

%xc+24k?+316k2（3k2+4）,7、

因为AC='AQ'所以入=焉及=而与1=/7丽而~=l+市干＜14分）

31?+4+2

因为所以人仁倩，¥).(16分)

例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：)，2=2px经过点尸(1,2).过点Q(0.1)的直线/与抛

物线C有两个不同的交点4B,且直线外交y轴于M,宜线P8交y轴于M

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM.=腱。,QN=pQO,求证：,为定值.

【解析】(1)因为抛物线y?=2px经过点P(1,2),

所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为V=4x

由题意可知直线/的斜率存在目.不为0,

设直线/的方程为片kx+1(依0).

由I，=4X得公£+(2〃一4忱+1=0.

y=履+1

依题意/=（2&-4）2—4x公xl>0,解得k<0或0<k<l.

又以,P8与y轴相交，故直线/不过点（1,-2）.从而依3

所以直线/斜率的取值范围是（-8,-3）U（-3,0）U（0.1）.

（2）设A（xi，yi）,B（X2，/2）.

/、“2A:—41

由（1）知X+毛=----j—.=—.

KK

直线外的方程为y-2=、=（工-1）.

占-1

—v+2-kx+1

令x=0,得点M的纵坐标为％=^^"^+2=--'—+2,

%1-1X）-1

—+|

同理得点N的纵坐标为以=-+2.

x2-l

nunLIllUUUUUUU1

由QM=/IQO,QN=〃Q。得2=1—%,4=1-y”

22/1-4

所以_L+_L=，+，=百7+—-I=_L.28与一九+£）=」_*+内=2.

441-yM\-yN（k-l）x（k-\）x2k-\X]X,k-T

k2

所以1为定值.

题型三、与向量有关的其它应用

例9、【2018年高考全国回卷理数】己知斜率为2的直线/与椭圆G三十二=1交于A，8两点，线段相的

43

中点为M（1,〃?）（/〃＞0）.

（1）证明：

2

⑵设尸为C的右焦点，P为C上一息,且丽+丽+丽=0.证明：阀，阀，网成等差数列,

并求该数列的公差.

2222

【解析】（1）设4®,y）,83，%）,则王+支=1,二+2£=i.

■■4343

两式相减，并由近二巴•=%得立三+上士立■•〃二（）.

王一~43

由题设知土卫=1,"&=加，于是攵=

224/w

31

由题设得0＜〃?＜一，故攵＜一-.

22

（2）由题意得尸（1,0）,设2（刍，为），则（入3一1，,’3）+（%一1，凹）+（工2—1，%）=（°，°）・

由（1）及题设得看二3-（丹+工2）=1，）'3=一（,+%）=一2阳＜。.

33—3

又点P在C上，所以〃?二’，从而p（l,——）,\FP\=~.

422

于是|丽=+/=,_/+3（1_?=2-卷,同理I而|=2-5，

所以|可|+|而|=4一;（％+々）=3,故2|方|二|可|+|方1，即|斤4|,尸户万|成等差数列.

设该数列的公差为d,则21d|=||而|一|西||二J|%-%1=+々）2-例7•①

JJ

337

将〃z二一代入攵二一二得2二一1,所以/的方程为了=一天4•一，

44机,4

代入C的方程，并整理得7d-14x+；=0,故%+电=2,芭々=表，

代入①解得|d|=3旦，所以该数列的公差为之亘或-的生.

282828

3

例10.[2019年高考全国团卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为孑的直线/与C的交点为人B,

与X轴的交点为P.

（1）若|4F|+|8F|=4,求/的方程；

（2）若Q=3而，求M8|.

【答案】（1）y=-x—；（2）———.

-283

3

【解析】设直线/:），=；工+八4（%,凹）,3（々,%）・

（1）由题设得产]；,。）故|Ab|+|8?|=%+/+|，由题设可得百+々=|・

3

v=-x+r,,I2（r-1）

rhS2,可得9/+120—1）/+4/=0,则不+/=--------乙.

y2=3x9

HIND5俎,7

从而---9—=/'得z=_g.

37

所以/的方程为），=；入一三.

28

（2）由衣=3而可得X=-3%.

3

由『2,可得y2-2y+2f=0.

），2=3x

所以X+%=2.从而-3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入。的方程得X=3,占=；.

故|A止斗^.

二、达标训练

1\【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线C：

/=l(a>0/>0)的左，右焦点分别为月，F2,设过右焦点工且与X轴垂直的直线/与双曲线c的

两条渐近线分别交于A，B两点,若△"AB是正三角形，则双曲线C的离心率为.

【答案】叵

3

【解析】不妨设点4在x轴上方，

x=c

联立Ib得A(c,如),

y=—xaa

'a

因为是正三角形,所以:=的3。=&.9必:12日

2c3

所以9(c2-f/2)=l2a1,r.e=字.

故答案为：叵

3

22

2、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)已知双曲线C：£--Z.=l(a>0,。:>0)的左右焦

点分别为月、鸟，过写的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若3币=2而，耶•印:0,

则。的离心率为.

4

【答案】一.

3

【解析】：设双曲线的渐近线方程为。4y=--x,08的方程为)，=2天,

aa

设耳(-c,0),宜线耳A的方程为产k(x+c),

联立可得以当，誉

ab-akb-ak

b，/akcbkc

联立y=--x,可得4一；——-一-),

ab+akb+ak

._____________「bkc〜bkcbkc

由3耳A=2AB，可得~-=2(-----~丁)，

b+akb-akb+ak

化为3b=7ak,①

^可得|O8|二g|f；8l=c,

即（黑）+（恶）―化―②

由①②可得3b=J7a，

3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线C:）/=8x的焦点为产，准线/,P是/上一点，。是

直线尸产与C的一个交点，若所=3斤，贝iJIQ/l-.

【答案】g

【解析】根据题意画出图形，设/与X轴的交点为M，过Q向准线/作垂线，垂足是N，

•・•抛物线C：V=8x,•••焦点为“（2,0）,准线方程为x=—2,

・••*西・糊=.缸例=*4•,3=例咚

4、（2019•山东高三月考）已知椭圆c：=+与=im〉A〉0）的左、右焦点分别为耳，工，|耳£|=2,过

CTb~

点耳的直线与椭圆。交于A3两点，延长交椭圆c于点M，A43乙的周长为8.

（2）试问：是否存在定点尸（七,0）,使得两.而为定值？若存在，求与；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题意可知,|式玛|=2c=2,则c=l,

又MB鸟的周长为8,所以4。=8,即。=2,

则c=£=1,b2=a2-c2=3

a2

22

故C的方程为工+工=1.

43

（2）假设存在点使得丽.而为定值.

若直线3"的斜率不存在，直线的方程为x=l,«1,|}“（一■|

贝iJPM/8=（x。-I）--7

若直线8W的斜率存在，设6M的方程为），二女（X一1），

，0

工+汇=1

设点8（%，x）,"（七,％），联立J43得（4公+3）f—8/x+4公-12=0,

y=^（x-1）

4-一12

根据韦达定理可得：%+々二一1，

1-4炉+3

由于丽=（/_/，%），丽=（5一/，乂），

则PM・P月=%左一（M+工2）尤0+X；+y必

=（k2+1）XE-（%+公）（X|+xj+/+X：=（*12

因为两•而为定值，所以4片-8%5=3片12,

43

解得故存在点夕，且玉=?•

88

5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系xQy中，已知焦点为F的

抛物线/=4》上有两个动点A、B,且满足防=久筋，过A、A两点分别作抛物线的切线，设两切线

的交点为M.

⑴求：历［•丽的值；

（2）证明：可".不万为定值.

2>

（x|（

I解析】（1）设4%,_,Bx、,一,

I4JV4J

・

•••焦点/（0,1）,..而=_玉,1_3-，~FB=\X2^-\

-%)=AX

22

uuuuuf->（Y}（

VAF=AFB，:,l-±=4J消九得x十一i+zi=0,

4

414

化简整理得（为-x2）（竽+1）=0,

）

x}-^x2,/.xxx2--4,,•.［）,=今•今=1.

/.OA-OB=xw+X%=-3（定值）.

1,1

（2）抛物线方程为>=1工~,・•・），'二2X,

，过抛物线4、"两点的切线方程分别为y=1;+手2和y=;1%（工一%）+今2，

即y=g%x『和y=*[

联立解出两切线交点M的坐标为（土产,T

.•.丽・丽=_2）卜2