2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第09讲 倍角公式及三角恒等变换的应用（2知识点+9大题型）（原卷版）

第09讲倍角公式及三角恒等变换的应用内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：二倍角公式的正用】【题型02：二倍角公式的逆用】【题型03：二倍角公式的综合】【题型04：辅助角公式及其应用】【题型05：给值求值问题】【题型06：给值求角问题】【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】【题型08：利用三角恒等变换化简证明】【题型09：三角恒等变换的实际应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：二倍角公式（1）（2）（3）知识点2：公式的常用变形（1）降幂公式：；；（2）辅助角公式：，其中，，【题型01：二倍角公式的正用】1．已知，，则．2．若，，则.3．已知满足，则．4．已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．25．已知，，则（

）A． B． C． D．6．（多选）已知，则的值可能为（

）A． B．0 C． D．7．若，，则（

）A． B． C． D．【题型02：二倍角公式的逆用】8．计算．9．（

）A． B． C． D．10．下列各式的值为的是（

）A． B．C． D．11．已知，则.12．化简.13．若是第三象限角，且，则.14．若，，则（

）A． B． C． D．【题型03：二倍角公式的综合】15．的值为（

）A． B． C． D．16．化简的结果是（

）A． B． C． D．17．已知，，则（

）A． B． C． D．18．已知，，且，则．19．已知，.(1)求的值；(2)求的值.20．若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（

）A．0或2 B．2 C．0或 D．21．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则．【题型04：辅助角公式及其应用】22．的值为（）A．1 B． C． D．223．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件24．已知，，且，则（

）A． B． C． D．25．函数的最大值为．26．已知函数，，，则=．27．已知函数的最大值为3，则实数的值为.【题型05：给值求值问题】28．已知，，则（

）A． B． C． D．29．已知，则的值为（

）A． B． C． D．30．已知，则（

）A． B． C． D．31．已知，则.32．若，则（）A． B． C． D．33．已知，则.34．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【题型06：给值求角问题】35．若，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．36．已知，，且，，求：(1)的值；(2)的值．37．已知(1)求的值；(2)求的值.38．已知、，且，，求.39．已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】40．在中，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形41．在中，若，则的形状不可能是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形42．在中，若，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形43．已知在中，，，则此三角形是三角形．44．在中，内角、满足，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【题型08：利用三角恒等变换化简证明】45．求证：．46．求证：(1).(2).47．化简：．48．已知，求证：．49．求证：（1）；（2）.【题型09：三角恒等变换的实际应用】50．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为.

51．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（

）A． B． C．5 D．52．如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（

）A． B． C． D．53．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）．54．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设．(1)求矩形CDEF的面积关于α的函数；(2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况；(3)求矩形CDEF的最大面积．55．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．(1)写出矩形的面积S与角的函数关系式；(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．一、单选题1．已知，则（

）A．-1 B．1C． D．2．已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A． B．C． D．4．已知，且，，则（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（

）A． B． C． D．7．（多选）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．8．（多选）已知，则（

）A． B．C． D．9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上，则10．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则．11．已知角满足，则的值为．12．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)求在区间上的最小