福建省2025中考数学专题六二次函数综合高效拆分特训

02二次函数压轴题高效拆分特训专题六二次函数综合高效拆分特训特训30二次函数中的定点问题方法整合利用几何性质、根与系数的关系，将动直线y＝kx＋b的解析式化为y＝k(x－m)＋n的形式，其中m，n为常数．令x＝m，则y＝n，无论k取任何不为0的实数，等式恒成立，这时该动直线恒过定点(m，n)．定点、定线、三点共线的问题将设问对调，可以互相转化.典题训练如图，已知直线y＝kx－2k＋3(k≠0)与抛物线y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)不论k取何值，直线y＝kx－2k＋3必经过定点P，直接写出点P的坐标；(2)已知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，求证：直线AC必经过一定点．

特训31二次函数中的参数范围方法整合1.通过抛物线与x轴的交点问题，求二次函数的系数取值范围．2．通过抛物线与直线的交点问题，求图象上点的坐标取值范围.典题训练1．已知二次函数y＝x2＋2mx－4m，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数m的取值范围．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋eq\f(1,2)(a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A，过点A的直线y＝x＋k与二次函数的图象相交于另一点B，当b≥－1时，求点B的横坐标m的取值范围．

特训32二次函数的区间最值方法整合1.对称轴在自变量取值范围内时，顶点处取得最大(小)值，端点(自变量)处取得最小(大)值．2．自变量取值范围在对称轴的左侧时，利用二次函数的增减性，端点(自变量)处取得最小、最大值．3．自变量取值范围在对称轴的右侧时，利用二次函数的增减性，端点(自变量)处取得最小、最大值.典题训练类型一：定轴定区间1．已知二次函数y＝x2－2x－1.(1)当－2≤x≤0时，y的最大值为________，最小值为________；(2)当2≤x≤5时，y的最大值为______________，最小值为________；(3)当0≤x≤3时，y的最大值为______________，最小值为________．2．已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)在－2≤x≤2时有最小值－2，则m＝________．类型二：定轴动区间3．已知抛物线y＝x2－4x＋3，当m≤x≤m＋2时，函数y的最小值为eq\f(5,4)，则m的值为________．4．已知函数y＝x2－6x＋3，当－2≤x≤k时，y的最小值为________________．(可用含k的代数式表示)类型三：动轴定区间5．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－4(m为常数)．若该二次函数自变量x的值满足－3≤x≤－1时，与其对应的函数值y的最小值为12，则m的值为________．类型四：动轴动区间6．已知关于x的二次函数y＝－x2＋2mx＋n(m，n为常数)，若m－2≤x≤m＋k(k>0)时，函数的最大值为p，最小值为q，且p－q＝3k，求k的值．02二次函数压轴题高效拆分特训专题六二次函数综合高效拆分特训特训30二次函数中的定点问题(1)解：点P的坐标为(2，3)．(2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，直线AC的解析式为y＝mx＋n，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)（x－2）2，,y＝kx－2k＋3，)))得eq\f(1,2)x2－(2＋k)x＋2k－1＝0，∴xA＋xB＝4＋2k，xA·xB＝4k－2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)（x－2）2，,y＝mx＋n，)))得eq\f(1,2)x2－(2＋m)x＋2－n＝0，∴xA＋xC＝4＋2m，xA·xC＝4－2n.∵B，C两点关于抛物线的对称轴x＝2对称，∴xB＋xC＝4.∵xA·xB＋xA·xC＝4k－2＋4－2n＝4k＋2－2n，xA＋xB＋xA＋xC＝4＋2k＋4＋2m＝8＋2k＋2m，即4xA＝4k＋2－2n，2xA＝4＋2k＋2m，∴4k＋2－2n＝8＋4k＋4m，∴n＝－2m－3，∴y＝mx－2m－3＝m(x－2)－3，∵当x＝2时，y＝－3，∴直线AC必经过一定点(2，－3)．特训31二次函数中的参数范围1．解：①∵二次函数y＝x2＋2mx－4m的图象开口向上，∴当二次函数y＝x2＋2mx－4m的图象与x轴没有交点或只有一个交点时，Δ＝(2m)2－4×(－4m)＝4m2＋16m≤0，解得－4≤m≤0；②当二次函数y＝x2＋2mx－4m的图象与x轴有两个交点时，Δ＝(2m)2－4×(－4m)＝4m2＋16m>0，解得m>0或m<－4，设此时两交点为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4m，要使当x取大于或等于1的任意实数时y≥0成立，需x1≤1，x2≤1，即x1－1≤0，x2－1≤0，∴(x1－1)＋(x2－1)≤0且(x1－1)(x2－1)≥0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2m－2≤0，,2m－4m＋1≥0，)))解得－1≤m≤eq\f(1,2)，综上所述，实数m的取值范围为－4≤m≤eq\f(1,2).2．解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋eq\f(1,2)(a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A，∴Δ＝b2－4a×eq\f(1,2)＝b2－2a＝0,∴a＝eq\f(1,2)b2，∴y＝eq\f(1,2)b2x2＋bx＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(bx＋1)2，当y＝0时，x＝－eq\f(1,b)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)，0))，将点A的坐标代入y＝x＋k，得k＝eq\f(1,b)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)b2x2＋bx＋\f(1,2)，,y＝x＋\f(1,b).)))得eq\f(1,2)b2x2＋(b－1)x＋eq\f(1,2)－eq\f(1,b)＝0，解得x1＝－eq\f(1,b)，x2＝eq\f(2－b,b2)，∵点A的横坐标为－eq\f(1,b)，∴点B的横坐标为m＝eq\f(2－b,b2)，∴m＝eq\f(2－b,b2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,2b)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,8)，∵2＞0，∴当eq\f(1,b)<eq\f(1,4)时，m随eq\f(1,b)的增大而减小，∵－1≤b＜0，∴eq\f(1,b)≤－1，∴m≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,8)＝3,即m≥3.特训32二次函数的区间最值1．(1)7；－1(2)14；－1(3)2；－22．4或－eq\f(1,2)3．－eq\f(3,2)或eq\f(7,2)4．k2－6k＋3或－65．－7或36．解：∵y＝－x2＋2mx＋n＝－(x－m)2＋m2＋n，∴抛物线的对称轴为直线x＝m，开口向下，最大值为m2＋n，∴若0<k<2，当x＝m时有最大值m2＋n，即p＝m2＋n；当x＝m－2时有最小值，q＝－(m－2)2＋2m(m－2)＋n＝m2＋n－4，∵p－q＝