8.1平方根第1课时平方根的概念（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

8.1平方根（第1课时,平方根的概念)（导学案）（1）理解平方根和算术平方根的定义，明确平方根存在的条件（被开方数为非负数）；掌握平方根和算术平方根的符号表示方法，能正确读写和；能求非负数（含完全平方数、简单分数、小数）的平方根和算术平方根；了解平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根）。（2）通过逆用平方运算探究平方根，培养逆向思维和逻辑推理能力；经历“观察实例→归纳定义→辨析概念→应用巩固”的过程，提升抽象概括能力；借助数轴、表格等直观工具，加深对概念的理解，培养数形结合思想。（3）感受数学知识的连贯性，体会“逆运算”在数学探究中的作用；在概念辨析和问题解决中，培养严谨的思维习惯和实事求是的态度；激发对无理数的探索兴趣，为后续实数学习做好心理铺垫。重点是:平方根和算术平方根的定义；平方根和算术平方根的符号表示与区别；求非负数的平方根和算术平方根。难点是：理解平方根的本质（逆平方运算）；区分平方根与算术平方根（符号、个数、取值范围）；理解“负数没有平方根”和算术平方根的“非负性”。第一环节自主学习温故知新：问题1：装修时要给一个正方形的桌面铺瓷砖，已知桌面的面积是25平方分米，这个正方形桌面的边长是多少分米？问题2：一个数的平方等于9，这个数是多少？等于16呢？等于0呢？追问1：问题1中，边长与面积的关系是什么？（边长的平方=面积）已知面积求边长，是我们学过的哪种运算的逆运算？（平方运算的逆运算）追问2：问题2中，满足“平方等于9”的数有几个？（2个：3和-3）这两个数有什么关系？（互为相反数）追问3：有没有一个数的平方等于-4？（没有）为什么？（任何数的平方都是非负数）【学法指导】自研课本P40-41页内容，探究点1平方根的定义观察思考：，→3和-3是9的平方根；，→2和-2是4的平方根；→0是0的平方根；，→1.5和-1.5是2.25的平方根。展示下列等式，引导学生观察思考：总结归纳：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。探究点2平方根性质探究追问1：一个正数有几个平方根？它们之间有什么关系？（2个，互为相反数）追问2：0的平方根是什么？（0本身）追问3：负数有平方根吗？（没有，因为任何数的平方都不是负数）总结归纳：平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。探究点3平方根的表示方法9的平方根是，其中是9的算术平方根；4的平方根是，算术平方根是2；0的平方根和算术平方根都是0。为了方便表示，我们规定：正数的两个平方根分别记为和，其中叫做的算术平方根.（强调：算术平方根是正数的正平方根，0的算术平方根是0）。符号辨析：追问1：表示什么意思？（的算术平方根，结果非负）追问2：表示什么？（的负平方根，结果非正）追问3：表示什么？（的两个平方根）强调：被开方数必须是非负数（），否则是无意义。探究点4：算术平方根的非负性思考讨论：算术平方根的结果有什么特点？结合实例：（正数），（正数），→归纳：算术平方根具有非负性，即，（）。简单应用：判断下列说法是否正确：是5的算术平方根，结果为正数；；.（正确正确错误，应为3，因为算术平方根非负）【自研自探】自研课本P40-41页内容典型例题例１求下列各数的平方根：(1)64;(2);(3)0.01.【分析】利用平方与开平方的互逆关系求出各数的平方根.在开始阶段，应让学生通过这样的过程求平方根，熟练后再直接写出结果.【详解】（1）因为（±8)²=64，所以64的平方根是士8;（2）因为，所以的平方根是;(3）因为(±0.1)²=0.01，所以0.01的平方根是士0.1.强调：求平方根时需写“”，算术平方根只写非负形式，注意分数、小数的平方根计算方法。例2.下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.(1)0.36;(2)-5;(3）（一4)².【分析】[1]正数有两个平方根，即正数开平方有两个结果。负数没有平方根，即负数不能开平方.【详解】解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，;(2)因为-5是负数、所以-5没有平方根；(3)因为(一4)²=16是正数、所以(一4)²有两个平方根，.例题3：判断下列说法是否正确，若不正确请说明理由：-5是25的平方根；（2）25的平方根是5；（3）；（4）0没有算术平方根。【分析】紧扣定义和性质，重点关注符号、个数、取值范围三个关键点.【详解】（1）正确（∵，负数可以是正数的平方根）；（2）错误（25的平方根是，漏了负根）；（3）错误（表示16的算术平方根，结果为4）；（4）错误（0的算术平方根是0）。第二环节合作探究1.讨论平方根的定义；2.讨论平方根性质；3.讨论平方根的表示方法；4.讨论算术平方根的非负性.拓展提升：1.若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值．【详解】解：根据题意可得：，解得：，课堂练习：课本课堂练习1、2、3.；参考答案：1.(1)错误;(2)错误;(3)正确;(4)正确.2.（1）；（2）；（3）.3.（1）；（2）；（3）.1．（2025.宁波校考）若一个数的平方等于5，则这个数等于．【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：．故答案为．2.（2025.淮南统考）如果的平方根是，那么=．【详解】∵如果的平方根是，∴a=16∴．故答案为：4知识总结：(1)核心概念：平方根（,则）、算术平方根（，非负）；(2)关键性质：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数无平方根；算术平方根恒非负（）；(3)符号意义：（a的平方根）、（a的算术平方根）、（a的负平方根），其中。方法总结：(1)求平方根步骤：先判断被开方数是否为非负，再找平方等于该数的两个数（互为相反数）；(2)概念辨析方法：紧扣定义、性质，从“符号、个数、取值范围”三个维度对比；(3)解题技巧：遇到“求一个算术平方根的平方根”时，先算内层算术平方根，再算外层平方根。易错提醒