专题20.4 勾股定理（二十六压轴题题型训练 共52题）原卷版 初中数学人教版（2024）八年级下册

专题20.4勾股定理（高频易错题题型训练）【原卷版】题型一用勾股定理解三角形1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，．建立适当的平面直角坐标系，把的各个顶点的坐标写出来，并求出的面积．2．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理．(2)如图2，在中，，垂足为H，求的长．题型二勾股树（数）问题3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．题型三以直角三角形三边为边长的图形面积5．如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为．6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为，，．其中，，则（）A．86 B．64 C．54 D．48题型四勾股定理与网格问题7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：(1)如图1，作的高线；(2)直接写出的值___________；(3)如图2，在（1）的条件下，在边上取一点P，使的值最小．8．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．(1)在图1中画一条线段，使，线段的端点在格点上；(2)在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形，其中，三角形的顶点在格点上，并求的面积．题型五勾股定理与折叠问题9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为．10．如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）．(1)求的长；(2)求的长.题型六利用勾股定理求两条线段的平方和（差）11．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：(1)如图，在中，若，，则有；证明：∵，，∴（依据：①）∴（依据：②）(2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．小军小民证明：分别延长，至，两点，使得……证明：∵，∴与均为直角三角形根据勾股定理，得……请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则．题型七利用勾股定理证明线段平方关系13．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，．当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的．(1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系．(2)证明你猜想的结论是否正确．14．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接．（1）的度数为______；（2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；【类比探究】如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变，（3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由．题型八勾股定理的证明方法15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然．(1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)如图3，网格中小正方形边长为1，①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______．②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______．如图4，在中，是边上的高，，，，求的长．题型九以弦图为背景的计算题17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1118．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（）A． B． C． D．题型十用勾股定理构造图形解决问题19．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？20．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为．(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？题型十一勾股定理与无理数21．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带．(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．(2)应用场景2：解决实际问题．如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长．22．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点甲说：点D表示的数为；乙说：点D表示的数在1和2之间．则下列判断正确的是（）A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对题型十二求梯子滑落高度（勾股定理的应用）23．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用）25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题．课题在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度模型抽象测绘数据①测得水平距离的长为15米②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米说明点，，，在同一平面内(1)求线段的长；(2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？26．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，(1)求绳索的长度．(2)如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度．题型十四求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？28．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．(1)求出的长度；(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．题型十五求大树折断前的高度（勾股定理的应用）29．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，(1)如图1，求木杆折断之前的高度；(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长．30．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？题型十六解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）31．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为．32．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．题型十七解决航海问题（勾股定理的应用）33．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上．(1)求的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？34．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点D的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)题型十八求河宽（勾股定理的应用）35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则．(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米题型十九求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．38．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米．题型二十判断汽车是否超速（勾股定理的应用）39．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米．(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．40．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．(1)求的长；(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）题型二十一判断是否受台风影响（沟股定理的应用）41．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港受台风影响吗?为什么?(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长?42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一栋居民楼，．假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．(2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？题型二十一选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践（1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）；（2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离；（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________．题型二十三求最短路径（勾股定理的应用）45．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为cm．（结果保留根号）46．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程．【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________．【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）题型二十四利用勾股定理的逆定理求解47．（25-26八年级