初二数学一次函数基础练习及常考题和中等题含解析

初二数学一次函数基础练习及常考题和中等题含解析一次函数是初中数学代数部分的重要基石，它不仅承接了小学的简易方程和比例知识，更为后续学习反比例函数、二次函数乃至高中的函数知识打下坚实基础。很多同学在初学一次函数时，会对“数”与“形”的结合感到些许抽象，但若能抓住其本质，掌握其规律，便能化繁为简，游刃有余。本文将从一次函数的基本概念出发，结合基础练习、常见考题及中等难度题目，并附上详细解析，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。一、一次函数的概念与表达式在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。其中，x是自变量，y是因变量。*当b=0时，一次函数就变成了y=kx（k是常数，且k≠0），这时我们把它叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式。*k的名称与意义：我们把k叫做比例系数（或斜率），它决定了直线的倾斜程度和方向。*b的名称与意义：我们把b叫做常数项（或y轴截距），它决定了直线与y轴交点的位置。关键点：1.自变量x的次数必须是1。2.比例系数k不能为0。3.b可以为0，此时即为正比例函数。二、一次函数的图像与性质一次函数的图像：一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线。因此，画一次函数的图像，通常只需描出两点，再过这两点作直线即可，这种方法称为“两点法”。*画一次函数图像的步骤：1.列表：选取适当的x值，并计算出对应的y值，通常选取（0，b）和（-b/k，0）这两个特殊点，即与y轴和x轴的交点。2.描点：在平面直角坐标系中描出表中对应的点。3.连线：用直尺连接所描的点，得到一次函数的图像。一次函数的性质：一次函数的性质主要由比例系数k和常数项b共同决定。1.k的作用：*当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，即y随x的增大而增大。*当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，即y随x的增大而减小。*|k|的值越大，直线与x轴正方向所成的角越大，即直线越“陡”；|k|的值越小，直线越“平缓”。2.b的作用：*当b>0时，直线与y轴交于正半轴（0，b）。*当b=0时，直线经过原点（0，0），即为正比例函数。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴（0，b）。3.直线y=kx+b(k≠0)所经过的象限：*k>0,b>0:第一、二、三象限*k>0,b=0:第一、三象限(正比例函数)*k>0,b<0:第一、三、四象限*k<0,b>0:第一、二、四象限*k<0,b=0:第二、四象限(正比例函数)*k<0,b<0:第二、三、四象限三、基础练习与典型例题解析（一）基础巩固练习练习1：识别一次函数与正比例函数下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=3x-2(2)y=-5x(3)y=x²+1(4)y=6/x(5)y=2(x为自变量)解析：判断一个函数是否为一次函数，需看其是否符合y=kx+b(k≠0)的形式。(1)y=3x-2，符合y=kx+b(k=3≠0,b=-2)，是一次函数。b≠0，不是正比例函数。(2)y=-5x，可看作y=-5x+0(k=-5≠0,b=0)，是一次函数，且是正比例函数。(3)y=x²+1，x的次数是2，不是一次函数。(4)y=6/x，是反比例函数形式，不是一次函数。(5)y=2，可看作y=0x+2，但k=0，不符合k≠0的条件，不是一次函数（它是常函数）。练习2：根据一次函数解析式确定k和b的值，并判断图像经过的象限已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。(1)若它是正比例函数，求m的值。(2)若它的图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围。解析：(1)正比例函数是一次函数的特殊形式，即b=0且k≠0。所以有：m²-1=0且m-1≠0由m²-1=0得m=±1。由m-1≠0得m≠1。综上，m=-1。(2)一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，则需满足：k<0且b>0。即：m-1<0且m²-1>0解m-1<0得m<1。解m²-1>0得m>1或m<-1。综合两个不等式的解集，取交集得m<-1。练习3：根据图像上的点求一次函数解析式已知一次函数的图像经过点A(1,3)和点B(-1,-1)，求这个一次函数的解析式。解析：求一次函数解析式y=kx+b(k≠0)，关键是求出k和b的值。因为函数图像经过A(1,3)和B(-1,-1)两点，所以这两点的坐标满足函数解析式。将A(1,3)代入得：3=k*1+b→k+b=3...(①)将B(-1,-1)代入得：-1=k*(-1)+b→-k+b=-1...(②)联立①②组成方程组：k+b=3-k+b=-1①+②得：2b=2→b=1将b=1代入①得：k+1=3→k=2所以，这个一次函数的解析式为y=2x+1。（二）常见题型题型1：一次函数图像的画法与应用在同一直角坐标系中画出函数y=2x+1和y=-x+4的图像，并求出它们的交点坐标。解析：画一次函数图像用“两点法”。对于y=2x+1：当x=0时，y=1；当y=0时，2x+1=0→x=-0.5。所以图像过点(0,1)和(-0.5,0)。对于y=-x+4：当x=0时，y=4；当y=0时，-x+4=0→x=4。所以图像过点(0,4)和(4,0)。（此处省略画图步骤，同学们可自行在坐标纸上绘制）两条直线的交点坐标，就是联立这两个函数解析式所组成的方程组的解。解方程组：y=2x+1y=-x+4将第一个方程代入第二个方程：2x+1=-x+4移项得：3x=3→x=1将x=1代入y=2x+1得y=3。所以交点坐标为(1,3)。题型2：利用一次函数的增减性比较函数值大小或求自变量取值范围已知一次函数y=(2-k)x+1。(1)若y随x的增大而增大，求k的取值范围。(2)当x₁=-1，x₂=2时，对应的函数值分别为y₁和y₂，若y₁>y₂，求k的取值范围。解析：(1)一次函数y随x的增大而增大，说明k>0（这里的k是指解析式中的比例系数，即2-k）。所以：2-k>0→k<2。(2)方法一：利用增减性。若y₁>y₂，即当x₁=-1<x₂=2时，y₁>y₂，说明y随x的增大而减小。所以比例系数2-k<0→k>2。方法二：代入计算。y₁=(2-k)(-1)+1=-2+k+1=k-1y₂=(2-k)(2)+1=4-2k+1=5-2k因为y₁>y₂，所以k-1>5-2k移项得：3k>6→k>2。（三）中等难度综合题例题1：一次函数与几何图形面积已知一次函数y=-2x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B。(1)求点A、点B的坐标。(2)求△AOB的面积（O为坐标原点）。(3)在x轴上是否存在一点P，使得△PAB的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解析：(1)与x轴交点A，此时y=0。令y=0，则-2x+4=0→x=2。所以A(2,0)。与y轴交点B，此时x=0。令x=0，则y=4。所以B(0,4)。(2)△AOB中，OA是点A到原点的距离，即OA=|2|=2；OB是点B到原点的距离，即OB=|4|=4。且OA⊥OB（x轴与y轴垂直）。所以S△AOB=(OA*OB)/2=(2*4)/2=4。(3)存在性问题。点P在x轴上，设P点坐标为(p,0)。已知A(2,0)，所以线段AP的长度为|p-2|。△PAB的面积可以以AP为底边，以点B到x轴的距离为高。点B到x轴的距离就是点B的纵坐标的绝对值，即4。所以S△PAB=(AP*4)/2=2|p-2|。依题意S△PAB=8，所以2|p-2|=8→|p-2|=4→p-2=±4。解得p=6或p=-2。所以点P的坐标为(6,0)或(-2,0)。例题2：一次函数的实际应用（行程问题或费用问题）小明骑自行车从家出发去图书馆，中途因道路施工推车步行了一段路，到达图书馆后停留了一段时间，然后沿原路骑自行车返回家。下图是小明离家的距离y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）之间的函数关系图像。根据图像信息，回答下列问题：（*此处假设有一个标准的行程图像：从原点出发，第一段线段上升（骑车），第二段线段上升但斜率变小（步行），第三段水平线段（停留），第四段线段下降（返回）*）(1)小明家到图书馆的距离是多少千米？(2)小明步行阶段的速度是多少千米/小时？(3)小明从图书馆返回家的骑车速度是多少千米/小时？解析：这类题目关键在于理解图像横纵坐标的意义，以及图像各段所代表的实际过程。(1)图像的最高点对应的y值就是小明家到图书馆的最远距离。假设图像显示最高点的y值为10千米。答：小明家到图书馆的距离是10千米。(2)步行阶段对应图像中斜率较小的上升线段。需要找出这段线段对应的x（时间）变化量和y（距离）变化量。假设步行开始于x=a小时，结束于x=b小时，此时距离从y=c千米增加到y=10千米。则步行的路程为(10-c)千米，步行时间为(b-a)小时。步行速度=路程/时间=(10-c)/(b-a)千米/小时。（具体数值需根据给定图像读取，例如：若步行从x=0.5小时到x=1.5小时，距离从5千米到10千米，则步行速度为(10-5)/(1.5-0.5)=5/1=5千米/小时。）(3)返回阶段对应图像中下降的线段。同样找出这段线段对应的x变化量和y变化量（此时y是减少的）。假设从图书馆开始返回的时间是x=d小时，到家的时间是x=e小时，距离从10千米减少到0千米。则返回的路程为10千米，返回时间为(e-d)小时。返回骑车速度=路程/时间=10/(e-d)千米/小时。（具体数值需根据给定图像读取，例如：若返回从x=2.5小时到x=3.5小时，则返回时间为1小时，速度为10/1=10千米/小时。）四、总结与学习建议一次函数的学习，首先要深刻理解其概念和表达式中各字母的含义，特别是k和b对函数图像及性质的影响。其次，要熟练掌握一次函数图像的画法，并能根据图像分析函数的性质。再者，要学会利用待定系数