一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题

一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题在初中数学的学习旅程中，方程与不等式是代数领域的两大重要支柱。相较于表示相等关系的方程，不等式则刻画了数量之间的不等关系，其应用更为广泛，也更贴近现实生活中的诸多决策场景。本文将系统梳理一元一次不等式与不等式组的核心知识点，并通过典型例题的解析，帮助同学们深化理解，提升应用能力。一、不等式的基本概念与性质（一）不等式的定义用不等号（如“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”）连接起来表示数量大小关系的式子，叫做不等式。例如：`3>2`，`x+1≤5`，`a≠0`等。（二）不等式的基本性质掌握不等式的基本性质，是进行不等式变形和解不等式的理论依据，这与等式的性质既有联系，也有重要区别。1.性质1(对称性与传递性)：*若`a>b`，则`b<a`；若`a<b`，则`b>a`。（对称性）*若`a>b`且`b>c`，则`a>c`；若`a<b`且`b<c`，则`a<c`。（传递性）2.性质2(加减运算)：*若`a>b`，则`a+c>b+c`，`a-c>b-c`。这表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。3.性质3(乘除运算)：*若`a>b`且`c>0`，则`ac>bc`，`a/c>b/c`。*若`a>b`且`c<0`，则`ac<bc`，`a/c<b/c`。这是不等式最为关键的性质，也是极易出错的地方。当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；而当两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。理解并熟练运用这些性质，尤其是性质3，是正确求解不等式的前提。二、一元一次不等式（一）一元一次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。其标准形式可表示为：`ax+b>0`或`ax+b<0`（其中`a`、`b`为常数，且`a≠0`）。这里的“>”也可以是“<”、“≥”或“≤”。（二）解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要特别注意在运用不等式性质3时，不等号方向的变化。1.去分母：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。注意，若最小公倍数为负数，不等号方向要改变。2.去括号：利用去括号法则，将不等式两边的括号去掉。3.移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项时要变号（与方程移项规则相同）。4.合并同类项：将不等式两边的同类项分别合并，化为`ax>b`或`ax<b`（`a≠0`）的形式。5.系数化为1：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都除以未知数的系数`a`，得到不等式的解集。若`a>0`，不等号方向不变；若`a<0`，不等号方向改变。（三）不等式的解集与数轴表示1.解集：使不等式成立的未知数的所有取值的集合，叫做这个不等式的解集。2.数轴表示：为了直观地表示不等式的解集，我们常借助数轴。*定“界点”：解集包含界点，则用实心圆点表示；不包含界点，则用空心圆圈表示。*定“方向”：大于向右画，小于向左画。例如，不等式`x>2`的解集在数轴上表示为：在表示2的点处画空心圆圈，然后向右画线。不等式`x≤-1`的解集在数轴上表示为：在表示-1的点处画实心圆点，然后向左画线。三、一元一次不等式组（一）一元一次不等式组的定义由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式系统，叫做一元一次不等式组。（二）不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。如果这些不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解（或叫空集）。（三）解一元一次不等式组的步骤1.分别求解：求出不等式组中每个不等式的解集。2.确定公共部分：利用数轴或口诀，找出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集。（四）一元一次不等式组解集的四种基本类型（设`a<b`）1.`{x>a,x>b}`的解集为`x>b`(同大取大)2.`{x<a,x<b}`的解集为`x<a`(同小取小)3.`{x>a,x<b}`的解集为`a<x<b`(大小小大中间找)4.`{x<a,x>b}`的解集为无解(大大小小无解了)理解并记忆这四种基本类型的口诀，能快速帮助我们确定不等式组的解集。四、典型例题解析（一）不等式性质的应用例1：若`a>b`，则下列不等式中一定成立的是（）A.`a+3<b+3`B.`a-3<b-3`C.`-3a>-3b`D.`a/3>b/3`分析：根据不等式性质逐项判断。A.两边加3，不等号方向不变，应为`a+3>b+3`，故A错误。B.两边减3，不等号方向不变，应为`a-3>b-3`，故B错误。C.两边乘以-3，不等号方向应改变，应为`-3a<-3b`，故C错误。D.两边除以3（正数），不等号方向不变，`a/3>b/3`，故D正确。答案：D（二）解一元一次不等式并在数轴上表示解集例2：解不等式`(x-1)/2-(x+2)/3≥1`，并把解集在数轴上表示出来。解：去分母，两边同乘6（分母2和3的最小公倍数）：`3(x-1)-2(x+2)≥6`去括号：`3x-3-2x-4≥6`移项：`3x-2x≥6+3+4`合并同类项：`x≥13`数轴表示：在数轴上找到表示13的点，画实心圆点，因为是“≥”，所以从该点向右画一条线。（三）解一元一次不等式组例3：解不等式组`{2x-1>x+1,x+8<4x-1}`，并写出其整数解。解：解第一个不等式`2x-1>x+1`：移项，得`2x-x>1+1`合并同类项，得`x>2`解第二个不等式`x+8<4x-1`：移项，得`x-4x<-1-8`合并同类项，得`-3x<-9`系数化为1（两边同除以-3，不等号方向改变），得`x>3`在数轴上表示两个解集：`x>2`和`x>3`。它们的公共部分是`x>3`。所以，原不等式组的解集是`x>3`。其整数解为所有大于3的整数，即4，5，6，...（若题目有范围限制，则按范围取）。（四）不等式的实际应用例4：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件B商品？分析：（1）此问可通过列二元一次方程组求解。（2）此问涉及不等关系，“不超过1000元”和“A商品数量不少于B商品数量的2倍”，需设未知数，列一元一次不等式组求解。解：（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元。根据题意，得：`{3x+2y=120,5x+4y=220}`解这个方程组：由第一个方程得：`2y=120-3x`，`y=60-1.5x`代入第二个方程：`5x+4(60-1.5x)=220``5x+240-6x=220``-x=-20``x=20`则`y=60-1.5*20=30`答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。（2）设购进B商品m件，则购进A商品至少为2m件。根据总费用不超过1000元，得：`20*(2m)+30*m≤1000``40m+30m≤1000``70m≤1000``m≤1000/70≈14.2857`因为m为商品数量，应为正整数，所以m的最大值为14。答：最多能购进14件B商品。五、总结与提升一元一次不等式与不等式组的学习，关键在于理解其核