核心素养导向的单元教学：二次函数模型的建构与跨学科应用

核心素养导向的单元教学：二次函数模型的建构与跨学科应用一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课居于“函数”主题的核心应用层。课标要求“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数表达与解决问题的方法”，这为本课提供了明确的素养坐标。在知识技能图谱上，它上承二次函数的图象与性质，下启高中更复杂的函数建模，是学生将形式化的数学知识转化为解决真实世界问题能力的关键枢纽。核心技能在于“数学建模”，即经历“从实际问题情境中抽象出二次函数关系——利用函数性质求解——回归实际解释与检验”的完整过程，认知要求达到“综合应用”层级。其过程方法路径是典型的数学化过程，蕴含了数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理。本节课的育人价值远不止于解题，它旨在培养学生用数学的眼光观察现实（识别变量与关系）、用数学的思维思考现实（建立并优化模型）、用数学的语言表达现实（解释结果意义）的核心素养，体验数学作为强大工具的理性之美与应用之妙。授课对象为九年级学生，他们已系统学习二次函数的图象与性质，具备初步的函数观念，但将知识主动迁移至复杂现实情境的能力尚有不足。常见的认知障碍包括：难以从文字描述中准确抽象出变量间的二次函数关系；忽略自变量在实际情境中的取值范围限制；对求得的数学最值结果缺乏实际意义的检验意识。基于此，教学将采用“低起点、高支架、强反馈”的策略。通过创设序列化的真实情境，搭建从具体到抽象的认知阶梯。在关键节点设计形成性评价任务，如小组讨论中的“建模思路陈述”、板演中的“定义域标注”，动态诊断学情。针对不同层次学生，提供差异化的支持：为建模困难者提供“变量识别卡”作为思维拐杖；为思维敏捷者设置“模型变式与优化”的挑战性问题，确保所有学生都能在最近发展区内获得成长。二、教学目标知识目标上，学生将超越对二次函数解析式与图象的孤立记忆，系统建构解决实际问题的程序性知识体系。他们能清晰阐述建立二次函数模型解决最值或交点问题的四个关键步骤：情境审读与变量识别、等量关系建立与模型表达、利用性质求解数学问题、回归情境验证与解释结果，并能在相似情境中迁移应用。能力目标聚焦于数学建模这一核心能力。学生能够独立或协作完成从一段具体的跨学科情境（如物理运动、经济利润、几何图形）中，剥离无关信息，识别关键变量并确定其主从关系，进而依据几何或数量规律列出二次函数解析式，并通过配方或公式法求出最值，最后结合情境意义对解的合理性做出判断与解释。情感态度与价值观目标在于，通过解决如抛物线形拱桥、商品利润最大化等贴近生活的问题，学生能深刻感受到数学的广泛应用价值，激发学习内驱力。在小组合作建模过程中，培养严谨求实的科学态度和勇于探索、敢于质疑的理性精神，认识到数学是认识世界、改造世界的通用语言。科学（学科）思维目标明确为发展学生的模型建构思想与函数思想。课堂上将引导学生经历“现实问题→数学问题→数学解→现实解”的完整思维链条，通过问题链（如“哪些量在变？”“谁因谁而变？”“变化有什么规律？”“最优解是什么？在何处取得？”）驱动，训练其抽象概括、符号表征和优化决策的高阶思维能力。评价与元认知目标体现在，学生将借助教师提供的“建模过程自评量规”，在小组展示后对自身及同伴的模型假设合理性、求解过程规范性、结论解释完整性进行批判性评价。课后通过反思日志，梳理在建模过程中遇到的思维障碍及突破方法，逐步提升对自身学习策略的监控与调节能力。三、教学重点与难点教学重点确立为“掌握建立二次函数模型解决实际问题的基本思路与方法”。其依据源于课标对本学段“模型观念”素养的培养要求，它构成了函数应用领域的“大概念”。从学业评价角度看，中考中涉及二次函数应用的解答题，其命题核心便是考查学生是否具备完整、规范的建模思维流程，分值占比高，且是区分学生数学应用能力的关键标尺。突破此重点，方能实现知识向素养的有效转化。教学难点预计有两处：一是“从复杂多变的实际情境中，准确抽象出变量间的二次函数关系”。成因在于学生需克服文字信息的干扰，完成从具体到抽象、从常量到变量的思维跨越，这对数学抽象能力要求较高。二是“对求得的最值解，结合自变量实际取值范围进行验证与取舍”。这源于学生容易陷入纯数学计算，忽略模型的前提假设与实际约束，是思维严谨性不足的体现。突破难点需借助大量范例剖析与循序渐进的变式训练，强化“回归情境”这一关键环节的意识。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，内含抛物线形拱桥、喷泉、投篮轨迹等动态演示视频或GIF图；几何画板软件，用于动态展示矩形面积变化等过程；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础、提高、挑战三个梯度的探究任务）；“我的建模历程”课堂反思记录表；当堂分层巩固练习卷。2.学生准备2.1知识预备：复习二次函数的顶点坐标公式、配方法求最值；预习教师下发的“现实生活中的抛物线”阅读材料。2.2物品准备：直尺、铅笔、练习本。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位（46人一组），便于讨论与互评。3.2板书记划：预留主板书区域，规划为“二次函数应用建模四部曲”思维导图框架。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：同学们，大家好！上课前，我们先来看一段视频（播放篮球比赛中空心入网的精彩镜头）。大家思考一下，篮球出手后的运动轨迹，像我们学过的哪种函数图象？对，很像抛物线，也就是二次函数的图象。其实不止在运动场，从这座美丽的拱桥（展示图片）到我们节日看到的喷泉，再到商家如何定价才能获得最大利润，背后都可能藏着二次函数的奥秘。今天，我们就化身“数学建模师”，一起来揭开这些现象背后的数学面纱。1.1提出核心问题：面对一个纷繁的实际问题，我们怎样才能抽丝剥茧，把它转化为一个二次函数模型，并用我们所学的知识去分析和解决它呢？这就是我们今天要攻克的核心任务。1.2明晰学习路径：我们将沿着“识别变量→建立模型→求解模型→解释应用”这条线索展开探索。首先，我们需要唤醒一个老朋友——二次函数最值由什么决定？没错，顶点坐标。这是我们今天解决问题最锋利的“工具”。第二、新授环节任务一：从生活图形中抽象函数关系——拱桥问题探究教师活动：首先，呈现一座抛物线形拱桥的截面图，并标注跨度、拱高等关键数据。“请大家把这座桥放进我们熟悉的平面直角坐标系里，想一想，怎么放最方便我们计算？”引导学生发现以桥面中点为原点，竖直向上为y轴正方向建立坐标系最为对称简洁。接着追问：“假设我们得到了桥拱对应的抛物线解析式为y=1/25x²+4。这个式子中，x和y的实际意义是什么？（水平距离和竖直高度）那么，当一艘货船想要通过，已知船宽和水面以上高度时，我们如何判断它能否安全通过？”我会引导学生将船抽象为一个矩形，将其顶点坐标代入解析式或解方程进行判断。学生活动：学生小组合作，尝试根据教师引导建立合适的坐标系，并理解解析式中系数与拱桥形状的关联。针对“能否通过”的问题，他们将展开讨论：是计算船顶角点的纵坐标与对应拱高比较，还是解方程求对应宽度？他们需要动手计算并得出结论，并派代表分享思路。即时评价标准：1.能否清晰说明坐标系建立方案的优劣。2.能否正确解释解析式中变量与常数的实际意义。3.在判断船能否通过时，思路是否清晰，表述是否逻辑完整（“因为…所以…”）。形成知识、思维、方法清单：★建立数学模型的第一步是“数学化”，包括设立合适的坐标系，将实物关键点转化为坐标点。▲实际问题中，自变量x通常有明确的取值范围（定义域），求解时必须考虑。★判断点是否在抛物线（函数图象）上，可将点的横坐标代入解析式，看所得函数值是否等于点的纵坐标。任务二：从动态过程中寻找数量关系——面积最值问题教师活动：“现在我们换个角度，来看一个‘动’的问题。”展示问题：用一段长为40米的篱笆围成一个矩形菜地，如何设计矩形的长和宽，才能使菜地的面积最大？“大家先别急着算，我们来‘演’一下。请一组同学上台，用这根绳子代表篱笆，围一围，感受一下面积的变化。”在学生直观感受后，引导抽象：“在这个过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？（周长不变，长、宽、面积变化）谁因谁而变？如果我们设其中一边长为x米，那么另一边长如何表示？面积S呢？”板书引导学生写出S=x(20x)。“好，现在我们得到了一个关于面积S和边长x的关系式，它是我们学过的函数吗？是什么函数？它的最值在哪里取得？”学生活动：参与实物模拟，直观感知面积随形状变化。独立设未知数，用含x的代数式表示另一边长，并列出面积S与x的函数关系式。识别其为二次函数，并通过配方或公式法求出其顶点坐标，即面积最大值及对应的边长取值。即时评价标准：1.能否从动态过程中准确识别出常量与变量，并建立变量间的等量关系。2.列出的函数关系式是否规范（注明自变量取值范围）。3.求最值的方法是否正确、熟练。形成知识、思维、方法清单：★在变化过程中建立函数模型的关键是：抓住不变量（如周长），用自变量表示其他因变量，再利用几何或物理公式建立函数关系。★对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当a<0时，函数有最大值，在顶点处取得。▲求顶点坐标的方法：配方成顶点式，或直接使用公式x=b/2a。任务三：从经济现象中构建优化模型——利润最大化问题教师活动：创设商品销售情境：已知某种商品的进价、初始售价与销量关系。“商家想要涨价或降价来调整利润，这听起来是个商业决策，我们能用数学帮忙吗？请大家化身‘小店长’，思考：利润与哪些量有关？（售价、成本、销量）其中，售价的变动如何影响销量？这二者之间通常存在怎样的关系？”引导学生理解“每涨价1元，销量减少若干”这类线性关系是建立二次函数模型的基础。随后，逐步带领学生分析：若设涨价x元，则新的售价、新的销量如何表示？单件利润是多少？总利润y关于x的函数关系式是什么？“大家列出式子后先别忙计算，观察一下，这个二次函数的开口方向如何？这预示着利润有最大值还是最小值？”学生活动：仔细阅读经济情境，理解专业术语。小组合作，尝试设未知数，并逐层表示出：新售价、新销量、单件利润，最终合作推导出总利润y关于调整金额x的二次函数解析式。通过判断二次项系数的正负，预判利润存在最大值，并计算求解。即时评价标准：1.能否清晰梳理出售价、销量、利润之间的连锁关系链。2.在推导函数关系式时，代数式的表达是否准确无误。3.是否具备先通过二次项系数符号判断最值存在性，再进行计算的意识。形成知识、思维、方法清单：★解决“利润最大化”“成本最小化”等优化问题，是二次函数应用的重要领域。★模型构建通常遵循：设定调整量x→表达新售价、新销量→表达单件利润→表达总利润（=单利×销量）。▲务必注意：求得的使利润最大的x值，需要代回检查新的售价、销量是否符合常理（如销量为非负整数）。任务四：模型求解与验证——聚焦顶点与定义域教师活动：汇总前面几个任务中得到的函数模型。“模型建好了，接下来就是‘摘取果实’——求解。但老师要提醒大家，从数学上算出一个漂亮的顶点坐标，并不是终点。比如在利润问题中，如果涨价x算出来是7.5元，实际定价时我们能定7.5元吗？在面积问题中，如果一边长x算出来是15米，它一定在允许的范围内吗？”组织学生回顾各自模型中自变量的实际限制（如边长需为正，涨价幅度受市场限制等），强调“定义域”的重要性。“所以，完整的求解过程是：先求顶点横坐标，再判断它是否在定义域内。如果在，它就是最优解；如果不在，怎么办？对，就要考察定义域的边界，因为二次函数在闭区间上的最值出现在端点或顶点处。”学生活动：审视自己在前三个任务中建立的模型，明确写出或口头说明自变量的实际取值范围。对于求得的顶点横坐标，判断其是否在取值范围内。对于不在的情况，尝试计算边界点对应的函数值，比较得出实际情境下的最优解。即时评价标准：1.是否有意识地在求解前或求解后，明确讨论自变量的实际取值范围。2.当顶点不在定义域内时，能否正确转向利用函数单调性分析边界点求最值。3.对最终结果能否给出符合情境的解释。形成知识、思维、方法清单：★数学求解必须置于实际背景中考量：求出顶点坐标后，首要步骤是检验顶点横坐标是否在自变量实际取值范围内。★若顶点不在定义域内，则函数在定义域区间端点处取得最值，需比较端点函数值大小。▲最终答案必须是一个“现实解”，即一个符合题目所有实际约束的、有明确意义的数值和结论。任务五：思维结构化——提炼建模通用步骤教师活动：带领学生回顾并反思整个探索过程。“经历了这么多案例，我们能不能总结一下，用二次函数解决实际问题的‘通法’是什么？”通过提问引导，师生共同在黑板的预留区域构建思维导图，提炼出四个核心步骤：1.审题建模（识别变量，建立函数关系，注明定义域）；2.数学求解（利用函数性质求最值或特殊点）；3.回归验证（检验解是否符合定义域和实际意义）；4.作答解释（给出完整答案）。“大家觉得哪一步最容易出错？哪一步最能体现你的思考深度？”学生活动：跟随教师引导，积极参与总结，回顾典型案例，口头或书面归纳出解决二次函数应用问题的一般步骤。对照步骤反思自己在之前任务中的表现，识别自己的薄弱环节。即时评价标准：1.归纳的步骤是否完整、逻辑清晰。2.能否结合具体例子说明每一步的操作要点。3.反思是否具体、有针对性。形成知识、思维、方法清单：★二次函数应用（数学模型）解题一般步骤：审→设→列→解→验→答。▲“验”包含两层：数学检验（定义域、计算）和实际检验（结果合理性）。★建立模型思想是核心，它连接了数学与现实，是数学核心素养的集中体现。第三、当堂巩固训练接下来，我们通过一组分层练习来巩固今天所学的建模本领。请大家根据自己的情况，至少完成A、B两组。A组（基础应用）：1.已知抛物线形水渠的解析式为y=0.1x²，当水面宽为4米时，求水面到渠顶的高度。（点评：这题考察的是直接代入求值，关键是理解x、y的意义。都做对了吗？很好，说明建模的第一步——理解模型，大家掌握得很扎实。）B组（综合建模）：2.某商场销售一种商品，进价20元，调查发现：若售价30元，每天可售出200件；售价每涨1元，日销量减少10件。为获得最大日利润，售价应定为多少？（小组互评要点：看看同伴的解答，函数关系式列对了吗？设涨价x元还是直接设售价？求出的x值是否在合理范围内？最终的定价是多少？）C组（挑战拓展）：3.（跨学科联系）从物理学可知，以一定初速度斜抛出的物体，其运动轨迹可近似为抛物线。请你查阅资料或自行设计，提出一个关于斜抛运动的实际问题，并尝试用二次函数模型进行分析。（此题供学有余力的同学课后探究，下节课可做简短分享。）第四、课堂小结“课程接近尾声，哪位同学愿意当一下‘小老师’，用一句话说说你今天最大的收获？”引导学生从知识、方法、思想多个层面进行总结。随后，请学生在“我的建模历程”反思表上，用关键词或简易思维导图梳理本节课的核心知识链条（二次函数性质→建模步骤→应用领域）。“大家看，从具体的拱桥、菜地，到抽象的利润公式，我们其实都在重复一个强大的思维模式：把现实‘翻译’成二次函数，用数学工具求解，再把答案‘翻译’回现实。这就是数学建模的魅力。”最后布置分层作业：必做（教材课后基础应用题3道，规范书写完整过程）；选做（从C组挑战题或一道涉及图形运动的综合应用题中任选一题完成）；实践（寻找生活中一个可能蕴含二次函数关系的现象或问题，记录下来，并与同学分享）。六、作业设计基础性作业：1.完成教科书本节后练习中关于图形面积最大化的2道基础题。要求：完整呈现“审、设、列、解、验、答”六步骤。2.针对一道利润问题，写出建立二次函数模型的关键等量关系式，并求出其顶点坐标。拓展性作业：1.（情境化应用）假设你是一个社区公园的设计师，需要在一块矩形空地上规划一个矩形花坛，花坛四周留下等宽的小路。已知空地总面积和可供种植的花草面积，求小路宽度。请建立数学模型并求解。2.分析一篇简短的新闻报道（如“某商品通过调整价格实现销量与利润双赢”），尝试用本节课所学知识，推测其背后可能存在的数学逻辑关系，并进行定性描述。探究性/创造性作业：1.（微型项目）查阅资料，了解“分割”与美学、建筑的关系。探究能否构造一个与矩形周长或面积相关的二次函数模型，来解释为什么接近分割比的矩形被认为更美观？撰写一份简短的探究报告。2.自编一道融合了物理运动（如抛球高度）和几何条件（如球是否越过一定高度的障碍物）的二次函数应用题，并给出详细解答。要求题目情境合理，数据自拟但需符合常识。七、本节知识清单及拓展★1.二次函数模型应用的核心思想：数学建模。即通过抽象、假设、简化，将实际问题转化为二次函数问题，利用函数性质求解，并回归原问题解释。▲2.常见的二次函数应用类型：主要包括三大类：①抛物线形问题（拱桥、喷泉、投篮轨迹）；②面积、体积最值问题（材料固定，求图形最大面积）；③最大利润/最小成本问题（经济学中的优化）。★3.建立函数关系式的关键：寻找变量间的等量关系。在几何问题中，多用周长、面积、勾股定理等公式；在经济问题中，核心关系是：总利润=（售价进价）×销量。▲4.自变量实际取值范围（定义域）：这是连接数学模型与现实世界的桥梁。必须考虑几何边长（正数）、物品件数（非负整数）、价格涨幅（市场可接受范围）等现实约束。★5.最值求解方法：一般地，对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当a>0时，有最小值；a<0时，有最大值。最值均在顶点处取得，顶点横坐标公式为x=b/2a。▲6.顶点横坐标的检验：求出的顶点横坐标必须代入实际情境，检验是否在自变量的取值范围内。若不在，则最值出现在定义域的端点处。★7.解决应用问题的一般步骤（六字诀）：审（清题意、辨变量）、设（未知数）、列（函数解析式，注明定义域）、解（求顶点或方程根）、验（数学与实际双重检验）、答（下结论）。▲8.“验”的深层含义：不仅验算计算过程，更要验证结果的现实合理性。例如，最大利润对应的销量是否为整数？最优设计尺寸是否符合施工标准？★9.函数图象的辅助分析价值：在思考定义域内最值问题时，可以简单勾勒函数图象草图，直观判断函数在区间上的增减性，从而快速定位最值可能点。▲10.跨学科联系点——物理学：在不计空气阻力的情况下，平抛或斜抛物体的运动轨迹是抛物线，其高度与水平距离满足二次函数关系。这是数学与物理融合的经典案例。★11.易错点提醒：①忽略定义域导致错误最优解；②在利润问题中，错误地将“总利润”表示为“（售价×销量）”，漏减成本；③在图形问题中，错误理解变量含义，如将矩形的“长”和“宽”混淆。▲12.思想方法升华：本节课不仅学习了二次函数的应用，更初步体验了“转化与化归”的数学思想——将复杂陌生的问题，转化为熟悉可解的二次函数最值问题。八、教学反思（一）教学目标达成度分析从假设的课堂实施来看，预定的知识目标与能力目标基本达成。通过序列化的任务驱动，绝大多数学生能够复述建模的四个关键步骤，并在B组巩固练习中独立完成利润最大化问题的求解，表明其初步掌握了建立二次函数模型的基本技能。情感目标在导入和跨学科任务中有所渗透，学生表现出较高的兴趣。然而，科学思维目标中的“模型检验意识”和元认知目标中的“策略反思深度”，可能仅在中上层次学生身上得到显著体现，后进生更多是跟随步骤完成操作，对其背后的思维逻辑理解尚浅。这提示我，在提炼通用步骤（任务五）时，应让更多学生用自己的语言举例说明“为什么需要检验”，而非仅仅聆听教师的总结。（二）核心环节有效性评估导入环节的视频与提问成功创设了认知冲突，激发了探究欲。“任务二”中利用绳子模拟围矩形，是本节课的一个亮点，它将静态的数学问题动态化、可视化，有效突破了从文字到模型的抽象障碍，学生参与度高。“任务四”聚焦定义域与验证，是本节课的思维升华点，但处理节奏可能偏快。部分学生脸上显露出“原来如此”的神情，但仍有部分学生眼神中存有困惑。“这里应该再