第01讲 勾股定理（知识解读+例题精讲+随堂检测）（原卷版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第01讲勾股定理考点1：勾股定理的概念与验证

考点2:勾股定理的基础计算考点3：用勾股定理构造图形解决问题重点：（1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计算。（2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。难点：（1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会“数形结合”思想。（2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角形、四边形等知识解题知识点1：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【题型1用勾股定理解三角形】【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC的长为（

A．12 B．13 C．14 D．15【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（

）A．3 B．3 C．5 D．1【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB=90°，已知BC=1.5m，AC=2m，则ABA．1.5m B．2m C．2.5m【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（

）A．12米 B．14米 C．16米 D．18米

【题型2勾股数问题】【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1,1,2 B．2,3,4 C．5,12,13 D．6,6,6【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（

）A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（

）A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为．【题型3以直角三角形三边为边长的图形面积】【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（

）A．28cm2 B．42cm2 C．【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（

）A．514 B．8 C．16 D．64【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为225、400，则AB的长为（

）A．625 B．175 C．600 D．25【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（

A．225 B．289 C．324 D．170知识点2：勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.图（3）中，所以.【题型4勾股定理的证明方法】【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为a，b，且b>a，斜边为c)拼成一个边长为c的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．(2)若b=15，c=17【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中Rt△ADE≌Rt△BEC,E【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，∠AED=∠ACB=90°，记AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，求证（1）中的定理结论．

【题型5以弦图为背景的计算题】【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的边长是（

）A．34−3 B．1 C．2 【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（

）A．36 B．72 C．18 D．144【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若ab=8，c=5，则图2中阴影部分的面积为（

）

A．11 B．12 C．9 D．10【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=10，AE=8，则正方形A．2 B．4 C．8 D．12【题型6用勾股定理构造图形解决问题】【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度DE=1m，将秋千往前水平推送4m（水平距离BC=EF=4m）时，踏板离地面的垂直高度为3m（【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即CD=300米，CD⊥AB），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，【题型7勾股定理与无理数】【典例7】如图所示，已知BC=2，∠OCB=90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A．(1)写出数轴上点A所表示的数为______；(2)比较大小：点A所表示的数____________−3.5（填写“>”或“<”）；(3)在数轴上找出10对应的点，（保留作图痕迹）【变式1】如图，若点A在数轴上表示的数是−1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是．【变式2】如图，在数轴上点P表示的实数是．【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是．1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（

）A．7 B．5 C．7 D．82．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，253．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，若AC=6，则BC的长为（

A．8 B．12 C．63 D．4．如图，字母A所代表的正方形的面积是（

）A．150 B．100 C．50 D．105．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且∠ABC=90°，则A，C两点之间的距离是（

）A．10米 B．102米 C．103米 D．6．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（）A．5−2 B．2−5 C．5 D．7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，连接AE，则AE的长为．8．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是．9．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC中AB边上的高为．10．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，