2025年新版二级算理算法试卷及答案

2025年新版二级算理算法试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共30分）1.以下关于算法特性的描述中，错误的是（）A.输入可以是零个或多个数据B.输出必须包含至少一个结果C.确定性要求每一步操作有唯一含义D.可行性要求算法必须在有限时间内完成2.已知某算法的时间复杂度函数为T(n)=2n³+3n²log₂n+5n，其渐进时间复杂度为（）A.O(n³)B.O(n²logn)C.O(n²)D.O(nlogn)3.对长度为n的有序数组进行二分查找，最坏情况下的比较次数为（）A.log₂nB.⌈log₂(n+1)⌉C.n/2D.n4.若需要频繁在序列头部插入元素，最不适合的数据结构是（）A.单向链表B.双向链表C.动态数组D.循环队列5.执行以下递归函数f(5)，最终返回值为（）deff(n):ifn<=1:return1returnf(n-1)+f(n-2)A.5B.8C.13D.216.对序列{3,1,4,2,5}进行冒泡排序（升序），第三趟排序后序列为（）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,2,4,5}C.{1,2,4,3,5}D.{1,3,2,5,4}7.设哈希表长度为11（索引0-10），哈希函数H(key)=key%11，采用线性探测法解决冲突。插入序列{25,36,17,48,55}后，元素48的存储位置是（）A.4B.5C.6D.78.以下关于分治算法的描述，正确的是（）A.必须将问题分解为规模相等的子问题B.合并步骤的时间复杂度不影响整体复杂度C.快速排序是典型的分治算法D.所有分治问题都能用动态规划优化9.若二叉树的前序遍历序列为ABDCE，中序遍历序列为DBAEC，则后序遍历序列为（）A.DEBCAB.DBEACC.DCEBAD.DBECA（注：原题笔误，正确应为DBECA）10.用贪心法解决活动选择问题时，关键策略是（）A.选择持续时间最短的活动B.选择开始时间最早的活动C.选择结束时间最早的活动D.选择与已选活动冲突最少的活动11.对于n个元素的堆排序，构建初始堆的时间复杂度为（）A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n²)D.O(logn)12.设图的邻接矩阵为：[0,1,0,1][1,0,1,0][0,1,0,1][1,0,1,0]该图的边数为（）A.4B.5C.6D.813.以下哪种情况最适合使用动态规划算法（）A.问题具有重叠子问题和最优子结构B.问题可以分解为独立子问题C.问题需要处理大量随机数据D.问题要求找到所有可能解14.对字符串"abac"构建后缀数组，正确的排序结果是（）A.["a","ab","aba","abac","ac","bac","c"]B.["a","aba","abac","ab","ac","bac","c"]C.["a","aba","ab","abac","ac","c","bac"]D.["a","ab","aba","ac","abac","bac","c"]15.已知完全二叉树有2025个节点，其叶子节点数为（）A.1012B.1013C.2024D.2025二、填空题（每题3分，共30分）1.算法的时间复杂度主要分析______情况下的运行时间。2.若线性表需要频繁进行插入/删除操作，应优先选择______存储结构。3.快速排序的平均时间复杂度是______，最坏时间复杂度是______。4.深度为h的二叉树（根节点深度为1）最多有______个节点。5.执行顺序查找时，若查找成功的平均查找长度为(n+1)/2，则查找失败时的平均查找长度为______（假设元素等概率分布）。6.设有序数组为[2,5,8,11,14,17,20]，使用二分查找找14，需要比较______次。7.用Prim算法构造图的最小提供树时，若图有n个顶点，则需要选择______条边。8.计算斐波那契数列第n项的递归算法存在大量重复计算，改用______算法可以将时间复杂度从O(2ⁿ)优化到O(n)。9.对于长度为m的字符串和长度为n的模式串（m>n），KMP算法的时间复杂度为______。10.若哈希表的装填因子α=0.75，表长为16，则最多可存储______个元素。三、简答题（每题6分，共30分）1.简述栈和队列的区别，各举一个实际应用场景。2.比较插入排序和归并排序的特点（从时间复杂度、稳定性、空间复杂度三方面）。3.说明Dijkstra算法的核心思想及其适用图的类型（是否允许负权边）。4.解释动态规划中“状态”和“状态转移方程”的含义，并举例说明。5.对于有序数组的查找问题，比较二分查找与顺序查找的优缺点及适用场景。四、编程题（共60分）1.（15分）编写一个函数，判断一个数是否为“快乐数”。快乐数的定义：对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和，重复这个过程，若最终得到1，则为快乐数；若陷入无限循环（始终无法得到1），则不是快乐数。示例：输入：19→输出：True（1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1）输入：2→输出：False（2→4→16→37→58→89→145→42→20→4…循环）2.（20分）给定一个包含n个整数的数组nums和一个目标值target，找出数组中所有满足i<j<k且nums[i]+nums[j]+nums[k]=target的三元组（i,j,k为下标）。要求结果中不包含重复的三元组。示例：输入：nums=[-1,0,1,2,-1,-4],target=0输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]3.（25分）设计一个算法，计算二叉树中两个节点的最近公共祖先（LCA）。要求：（1）二叉树节点定义如下（语言任选，此处以Python为例）：classTreeNode:def__init__(self,x):self.val=xself.left=Noneself.right=None（2）输入为根节点root和两个节点p、q（3）输出为LCA节点答案一、单项选择题1.D2.A3.B4.C5.B6.B7.C8.C9.D10.C11.A12.C13.A14.B15.B二、填空题1.最坏2.链式3.O(nlogn),O(n²)4.2ʰ-15.n+16.37.n-18.动态规划9.O(m+n)10.12三、简答题1.区别：栈是后进先出（LIFO），队列是先进先出（FIFO）。应用场景：栈用于函数调用栈、括号匹配；队列用于任务调度、广度优先搜索。2.插入排序：平均/最坏O(n²)，稳定，O(1)空间；归并排序：平均/最坏O(nlogn)，稳定，O(n)空间。插入排序适合小规模或基本有序数据，归并排序适合大规模数据但需要额外空间。3.核心思想：每次选择当前距离最短的节点，更新其邻接节点的最短距离。适用图：无负权边的有向/无向图（负权边会导致算法无法正确计算最短路径）。4.状态：问题在某一阶段的表现形式（如背包问题中的“前i个物品，容量j”）。状态转移方程：状态之间的递推关系（如dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v)）。5.二分查找优点：时间复杂度O(logn)，效率高；缺点：要求数组有序，适用于静态数据。顺序查找优点：无需有序，适用于动态数据；缺点：时间复杂度O(n)，效率低。四、编程题1.快乐数判断（Python）```pythondefis_happy(n:int)->bool:seen=set()whilennotinseen:seen.add(n)n=sum(int(digit)2fordigitinstr(n))ifn==1:returnTruereturnFalse```2.三数之和（Python）```pythondefthree_sum(nums,target):nums.sort()n=len(nums)res=[]foriinrange(n-2):ifi>0andnums[i]==nums[i-1]:continue去重left,right=i+1,n-1whileleft<right:s=nums[i]+nums[left]+nums[right]ifs==target:res.append([nums[i],nums[left],nums[right]])去重whileleft<rightandnums[left]==nums[left+1]:left+=1whileleft<rightandnums[right]==nums[right-1]:right-=1left+=1right-=1elifs<target:left+=1else:right-=1returnres```3.最近公共祖先（递归法，Python）```pythondeflowest_common_ancestor(root:TreeNode,p:TreeNode,q:TreeNode)->TreeNode:ifn