安徽省黄山市徽州一中2026届数学高一下期末质量检测试题含解析

安徽省黄山市徽州一中2026届数学高一下期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果，那么下列不等式错误的是（）A． B．C． D．2．设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3 C．4 D．63．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（）A． B． C． D．4．已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④5．在中，内角的对边分别为，若，那么（）A． B． C． D．6．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（）A． B． C． D．7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，8．已知a,,且,若对,不等式恒成立,则的最大值为()A． B． C．1 D．9．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（）A． B．C． D．10．执行如图的程序框图，则输出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在ΔABC中，角A,B,C所对的对边分别为a,b,c，若A=30∘，a=7，b=212．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．13．已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____14．过点，且与直线垂直的直线方程为．15．下列命题：①函数的最小正周期是；②在直角坐标系中，点，将向量绕点逆时针旋转得到向量，则点的坐标是；③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有两个公共点；④函数在上是增函数．其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．16．中，若，，，则的面积______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？18．已知向量，，函数．（1）若，求的取值集合；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．19．已知向量.（1）若，求的值；（2）记函数，求的最大值及单调递增区间.20．已知函数的定义域为R（1）求的取值范围；（2）若函数的最小值为，解关于的不等式。21．已知直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0（a∈R）.（1）若l1与l2互相垂直，求a的值：（2）若l1与l2相交且交点在第三象限，求a的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】，，，则，，可得出，因此，A选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.2、B【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.3、B【解析】由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.4、D【解析】

先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②．结合零点存在定理进行判断．【详解】在上单调减，值域为，又．（1）若，由知，③成立；（2）若，此时，①②③成立．综上，一定不成立的是④，故选D．【点睛】本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．5、B【解析】

化简,再利用余弦定理求解即可.【详解】.故.又,故.故选：B【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形的问题,属于基础题.6、A【解析】

取的中点，连接、，作，垂足为点，证明平面，于是得出直线与平面所成的角为，然后利用锐角三角函数可求出．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，作，垂足为点，是边长为的等边三角形，点为的中点，则，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直线与平面所成的角为，易知，在中，，，，，，即直线与平面所成的角为，故选A．【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题．7、A【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。【详解】由图1得样本容量为，抽取的初中生人数为人，则初中生近视人数为人，故选．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用。8、C【解析】

由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.【详解】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，则有，所以，得，从而，所以的最大值为1.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值不等式与恒成立问题的综合应用，较难.9、A【解析】

时，恒成立.时，原不等式等价于.由的最小值是2，可得，即.选A.10、A【解析】

根据框图有，由判断条件即即可求出的值.【详解】由有.根据输出的条件是，即.所以，解得：.故选：A【点睛】本题考查程序框图和向量的加法以及数量积以及性质，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、32或【解析】

由余弦定理求出c，再利用面积公式即可得到答案。【详解】由于在ΔABC中，A=30∘，a=7，b=23，根据余弦定理可得：a2=b所以当c=1时，ΔABC的面积S=12bcsinA=32故ΔABC的面积等于32或【点睛】本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。12、【解析】

先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．【详解】向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．13、2【解析】

为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体内接于球，为球的直径，，，，过作于，，点在以为圆心，为半径的小圆上运动，当面面时，四面体的体积达到最大，.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.14、【解析】

直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可．【详解】直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．【点睛】此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．15、①②④【解析】

由余弦函数的周期公式可判断①；由任意角的三角函数定义可判断②；由余弦函数和一次函数的图象可判断③；由诱导公式和余弦函数的单调性可判断④．【详解】函数y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正确；在直角坐标系xOy中，点P（a，b），将向量绕点O逆时针旋转90°得到向量，设a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，rsin（90°+α）＝rcosα＝a，则点Q的坐标是（﹣b，a），故②正确；在同一直角坐标系中，函数y＝cosx的图象和函数y＝x的图象有一个公共点，故③错误；函数y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，主要是周期性和单调性，考查数形结合思想和化简运算能力，属于基础题．16、【解析】

利用三角形的面积公式可求出的面积的值.【详解】由三角形的面积公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查三角形面积的计算，熟练利用三角形的面积公式是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、继续向南航行无触礁的危险．【解析】试题分析：要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断．解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=15°由正弦定理得：故于是A到BC的直线距离是Acsin45°==，大于38海里．答：继续向南航行无触礁的危险．考点：本题主要考查正弦定理的应用点评：分析几何图形的特征，运用三角形内角和定理确定角的关系，有助于应用正弦定理．18、（1）或；（2）.【解析】

（1）由题化简得．再解方程即得解；（2）由题得在上恒成立，再求不等式右边函数的最小值即得解.【详解】解：（1）因为，，所以．因为，所以．解得或．故的取值集合为．（2）由（1）可知，所以在上恒成立．因为，所以，所以在上恒成立.设，则．所以．因为，所以，所以．故的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和解三角方程，考查三角函数最值的求法和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.19、（1）或，（2），增区间为：【解析】

（1）根据得到，再根据的范围解方程即可.（2）首先根据题意得到，再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间.【详解】因为，所以，即.因为，.所以或，即或.（2）.因为，所以.所以，.因为，所以.令，得.因为，所以增区间为：.【点睛】本题第一问考查根据三角函数值求角，同时考查了平面向量平行的坐标运算，第二问考查了三角函数的最值和单调区间，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）由的定义域为可知，，恒成立，即可求出的范围.（2）结合的范围，运用配方法，即可求出的值，进而求解不等式.【详解】（1）由已知可得对，恒成立，当时，恒成立。当时，则有，解得，综上可知，的取值范围是[0，1]（2）由（1）可知的取值范围是[0，1]显然，当时，，不符合.所以，，，由题意得，，，可化为，解得，不等式的解集为。【点睛】主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数范围，配方法以及一元二次不等式求解问题，属于中档题.对任意实数恒成立的条件是；而任意实数恒成立的条件是.2