七年级数学（上）“去分母”解一元一次方程教学设计

七年级数学（上）“去分母”解一元一次方程教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本节课隶属于“数与代数”领域中的“方程与不等式”主题。在知识技能图谱上，去分母是解一元一次方程五个基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）中的关键一环，其认知要求已从对等式性质的简单“理解”，跃升为在复杂情境中的综合“应用”。它上承“等式的性质”与“合并同类项”、“移项”等已学技能，下启后续解一元一次不等式、分式方程及二元一次方程组的学习，是培养学生代数运算能力和程序化思想的重要枢纽。在过程方法路径上，本节课的核心思想方法是“转化与化归”，即将含分母的复杂方程转化为不含分母的整数系数方程。这要求学生经历“发现问题（分母阻碍求解）—探寻方法（依据等式性质去分母）—规范程序（确定最简公分母、方程两边同乘）”的完整探究过程，从而将抽象的数学思想转化为可操作、可检验的解题策略。在素养价值渗透上，通过去分母步骤的严谨性训练，能有效培养学生数学运算的准确性和逻辑推理的严谨性；而面对去分母过程中易出现的各种错误陷阱，引导学生辨析与规避，则是对其科学态度和理性精神的塑造。

基于“以学定教”原则，学情诊断如下：已有基础方面，学生已经掌握等式的性质，并能熟练运用移项、合并同类项解系数为整数的简单一元一次方程。然而，面对含分母的方程，学生普遍存在两大障碍：一是“为何要去分母”的认知障碍，部分学生可能试图直接移项或合并，不理解分母是当前求解的主要障碍；二是“如何去分母”的操作障碍，极易出现“漏乘不含分母的项”、“忘记分数线的括号功能”以及“找错最小公倍数”等典型错误。因此，教学调适策略上，必须设计由浅入深、由具体到抽象的“脚手架”。首先通过具体数字例子唤醒“等式两边同乘一数，等式仍成立”的旧知，过渡到用字母表示的最小公倍数，化解抽象性。其次，对于不同层次的学生提供差异化支持：对基础薄弱者，强调每一步变形的依据，并通过“单项训练”巩固；对学有余力者，引导其探究去分母步骤的本质（消除分数形式，简化方程），并尝试解决含小数系数的方程，实现知识迁移。课堂中，将通过“试误辨析修正”的循环，利用学生的典型错误作为生成性资源，深化理解。二、教学目标

知识目标方面，学生能够理解去分母步骤的数学依据（等式的基本性质2），并能准确叙述其操作程序：确定方程中各分母的最小公倍数，然后方程两边各项都乘以这个最小公倍数，从而将方程转化为整数系数的方程。最终，学生能建构起包含“去分母”在内的、完整且步骤清晰的解一元一次方程的认知结构。

能力目标聚焦于数学运算和逻辑推理两大核心能力。学生能够独立、准确地完成含分母一元一次方程的去分母操作，规避常见错误；并能在解决实际情境问题时，自主判断何时及如何运用去分母策略，完整、规范地求解方程，得出合理解答。

情感态度与价值观目标，期望学生在探究去分母方法的过程中，体验到通过转化思想将复杂问题简化的数学魅力，增强学好数学的信心；在小组讨论错例时，能认真倾听同伴观点，理性辨析错误根源，形成严谨、求实的科学态度。

科学（学科）思维目标，重点发展学生的化归思想和程序化思想。通过将“去分母”作为解方程的一个标准化步骤来学习和应用，引导学生体会将复杂数学问题分解为一系列有序、可执行步骤的思维方式，培养其有条理的逻辑思维习惯。

评价与元认知目标，设计引导学生学会自我监控和反思。学生能够依据“步骤完整、依据明确、计算准确”的量规，评价自己或同伴的解题过程；并能总结归纳去分母环节的易错点，形成个性化的“避坑指南”，提升学习的策略性。三、教学重点与难点

教学重点确定为：掌握去分母解一元一次方程的正确步骤和方法。其确立依据在于，从课程标准“大概念”来看，“方程模型”的求解是核心，而去分母是打通分数系数模型与整数系数模型转化的关键技能，具有枢纽地位。从学业评价角度分析，解一元一次方程是初中代数的奠基性内容，去分母步骤是各类考试中的高频考点，且因其易错性，常成为区分学生计算能力与细致程度的关键节点。

教学难点为：准确找到各分母的最小公倍数，并在去分母过程中正确处理不含分母的项及分子是多项式时的括号问题。预设难点成因在于：首先，学生的整数运算（特别是求最小公倍数）能力存在差异，可能出现计算错误；其次，学生的符号意识和整体意识薄弱，容易忽视方程两边的“每一项”都需要乘以最小公倍数，尤其会漏乘整数项；最后，对分数线的括号功能理解不深，去分母后，当分子是多项式时，忘记添加括号，导致符号错误。突破方向在于强化“等式性质”的普适性理解，并通过大量对比、辨析练习，强化规范操作。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件，内含情境导入动画、例题逐步演示、典型错例对比图、分层练习题组。1.2学习材料：分层学习任务单（含前测题、探究活动记录、分层巩固练习）、小组讨论卡片（印有常见错例）。2.学生准备2.1知识预备：复习等式的基本性质、求几个数的最小公倍数、解系数为整数的一元一次方程。2.2学具：课堂练习本、红笔（用于订正）。3.环境布置3.1座位安排：四人小组式布局，便于合作讨论。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设：同学们，我们之前已经学会了如何解像3x5=7这样的方程，感觉是不是挺有成就感的？现在，老师这里有一个从古代数学问题改编来的小谜题：“有一批物品，如果每3件一组，最后剩2件；每4件一组，最后剩1件。物品总数不到20件，请问有多少件？”我们尝试用方程来解。设物品有x件，根据题意可以列出方程：(x2)/3=(x1)/4。

1.1问题提出：大家先别急着列方程，观察一下，这个方程和我们之前解过的有什么明显不同？对，它的系数里含有分母。这样的方程，我们该如何求解呢？今天，我们就来学习解开这类方程的一把“金钥匙”——去分母。

1.2路径明晰：本节课，我们将首先一起探究“为什么要去分母”以及“如何去分母”，然后通过不同类型的方程练习，牢牢掌握这个方法，最后再回头解决这个“分物”谜题。请同学们先回想一下等式的基本性质，这是我们今天所有变形的最根本依据。第二、新授环节任务一：前测与唤醒——从“整数”到“分数”的跨越

教师活动：首先，出示前测题：解方程2x+1=5。巡视全班，确认所有学生都能熟练完成。接着，在方程2x+1=5的左边加上分母，变为(2x+1)/5=1。提问：“同学们，这个新方程和刚才的方程本质上有没有联系？我们能否将它变回我们熟悉的样子？”引导学生观察，分母“5”阻碍了我们直接对2x+1进行操作。“那么，如何才能消除这个分母呢？”启发学生回忆等式性质2：“等式两边乘同一个数，结果仍相等。”

学生活动：快速求解整数系数方程。观察新方程，思考教师提问。部分学生可能想到“等式两边同时乘以5”，并尝试口头描述这一操作。通过回顾旧知，明确变形依据。

即时评价标准：1.能否快速准确地解出前测方程，反映旧知熟练度。2.面对新方程时，能否主动联想到等式性质，体现知识迁移意识。3.在教师启发下，能否用准确的语言表述“两边同乘5”的操作。

形成知识、思维、方法清单：★核心起点：解一元一次方程的已有技能是移项、合并同类项、系数化为1，但面对分母时“束手无策”。▲认知冲突：分母的存在是求解的新障碍，产生“转化”需求。★依据追溯：所有解方程步骤的根本依据是等式的基本性质，去分母的依据是性质2（等式两边乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立）。任务二：冲突与探究——单一分母的“破壁”行动

教师活动：板书方程：(x2)/3=4。“好，我们来看这个稍复杂一点的方程。现在，谁愿意当一回‘小老师’，上台来尝试解决它，并跟大家讲讲你的思路？”选择一名学生上台板演。预设学生可能直接写x2=4然后x=6。教师不急于否定，转而提问全班：“大家同意他的解法吗？这样变形，等号还成立吗？依据是什么？”引发讨论。然后引导：“根据等式性质，要使等式成立，左边乘了3，右边该怎么办？”教师规范板演：方程两边同时乘以3，得x2=12。“看，去掉分母后，方程是不是变得非常熟悉了？请大家完成后续求解。”

学生活动：观察方程，积极思考。观看同伴板演并进行辨析。在教师引导下，理解“两边同时乘以3”的必要性和规范性。动手完成后续的移项、求解，并口头检验。

即时评价标准：1.能否识别出仅对一边进行乘法操作是错误的。2.能否清晰说出“方程两边同时乘以分母的最小公倍数”这一操作。3.求解过程是否规范、完整。

形成知识、思维、方法清单：★去分母操作雏形：对于方程中单一分母，去分母的方法是方程两边同乘以这个分母的数值。★易错点警示（一）：去分母时，必须保证方程两边的每一项都乘以同一个数，以维持等式平衡。▲思维深化：去分母的目的是“化繁为简”，将不熟悉的形式转化为熟悉的形式，这是化归思想的体现。任务三：共识与建模——多重分母的“公约”策略

教师活动：呈现核心例题：解方程(x+1)/2(2x1)/3=1。“恭喜大家闯过第一关！现在难度升级，方程中出现了两个不同的分母，2和3。我们该怎么对付它们？”让学生独立思考片刻后小组讨论。教师巡视，听取讨论中的关键词，如“都乘”、“一起乘”、“最小公倍数”。请小组代表发言。教师汇总意见并引导：“大家的想法很对，要同时‘消灭’两个分母，我们需要找一个能同时被2和3整除的数——也就是它们的最小公倍数6。用等式两边同乘以6，就能一举成功。”教师进行规范板演，并特别强调：“注意，方程右边的‘1’是个孤独的整数项，它需要乘以6吗？”“当然需要！它是等式的一部分，不能搞特殊。”板书：3(x+1)2(2x1)=6。“为什么(x+1)和(2x1)忽然带上了括号？这个问题问得好！因为分数线本身有括号的作用，它代表着分子整体除以分母。去分母后，分子整体必须作为一个‘包裹’处理，所以要加括号。”

学生活动：观察方程特征，参与小组讨论，尝试提出解决方案。聆听教师讲解和强调，观察规范板演。针对“整数项漏乘”和“分子多项式忘加括号”两个关键点进行重点理解和记录。

即时评价标准：1.小组讨论时，能否提出“找公倍数”的思路。2.能否理解“每一项都乘”的含义，包括常数项。3.能否理解去分母后给分子多项式加括号的必要性。

形成知识、思维、方法清单：★去分母一般步骤（核心）：1.找各分母的最小公倍数。2.方程两边每一项都乘以这个最小公倍数。3.注意：分子是多项式时，去分母后要加括号。★去分母依据：等式性质2。▲方法提炼：从“单一”到“多重”，解决问题的策略是寻找“公共解决方案”（最小公倍数），体现了数学的概括性。任务四：辨析与避坑——典型错例的“显微镜”观察

教师活动：投影出示两道典型错误解法（如漏乘常数项、去分母后忘加括号导致符号错误）。“老师这里有几个‘受伤’的方程，它们在去分母环节‘生病’了。请各位‘数学小医生’来会诊，诊断一下它们的问题出在哪里，并开出‘治疗处方’（写出正确步骤）。”组织小组讨论辨析。之后，教师汇总错误类型，引导学生共同总结“去分母三大纪律”：纪律一，乘要乘全部（每一项）；纪律二，无分母项要照顾（不忘乘）；纪律三，分子是整体要抱紧（加括号）。

学生活动：仔细观察错误示例，小组内热烈讨论，指出错误点并分析原因。派代表发言，陈述“诊断结果”。在教师引导下，共同总结朗朗上口的“纪律口诀”，加深记忆。

即时评价标准：1.能否准确识别错误类型及其本质原因。2.能否用数学语言（如“漏乘”、“未考虑整体”）描述错误。3.总结的“纪律”是否切中要害，便于记忆。

形成知识、思维、方法清单：★易错点系统归纳（关键）：漏乘不含分母的整数项或常数项；去分母后，分子是多项式时忘记添加括号；找最小公倍数错误。★纠错策略：养成“逐项检查”的习惯，将去分母过程可视化、步骤化。▲元认知培养：通过分析他人错误，反思自身可能存在的问题，建立预警机制，这是学会学习的重要一环。任务五：应用与分层——步骤的“自动化”编程

教师活动：发布分层练习任务。基础组：解方程(x3)/2=(x+1)/5。进阶组：解方程(2y1)/3(y+2)/6=1。挑战组：解方程0.1x0.2=0.3x+0.4（提示：可先利用分数基本性质将小数系数化为整数系数）。教师巡视，重点关注基础组学生的步骤规范性，点拨进阶组学生处理减法连接和两个分母的关系，与挑战组学生探讨小数化分数的技巧与去分母思想的联系。

学生活动：根据自身情况选择至少一组进行练习。独立完成解题过程，注重步骤的完整书写和依据的明确。学有余力的学生完成多组。接受教师个性化指导。

即时评价标准：1.步骤书写是否清晰、完整（体现“去分母、去括号、移项、合并、系数化1”）。2.计算是否准确，尤其是符号处理和括号展开。3.挑战组学生能否灵活将小数方程转化为整数方程，体现知识迁移能力。

形成知识、思维、方法清单：★解一元一次方程的完整程序：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。★程序化思想：将一个复杂问题的解决过程分解为一系列清晰、有序的步骤，是数学和计算机科学中的重要思维方式。▲知识迁移：去分母思想不仅可用于分数系数，也可用于处理小数系数方程（先化整），体现了方法的普适性。第三、当堂巩固训练

分层设计：

A层（夯实基础）：1.解方程：x/5=2。2.解方程：(2x1)/3=5。

B层（综合应用）：1.解方程：(x+1)/21=(2x1)/3。2.解方程：(2x)/0.31=(3x1)/0.5（提示：先化为分数形式）。

C层（挑战思维）：已知关于x的方程(2x+a)/3=(x+6)/2的解是x=3，求a的值。并思考：若要求a的值，是否一定需要先按照步骤解方程？

反馈机制：学生完成后，教师利用投影展示不同层次学生的解答过程（匿名）。针对A层，强调步骤的完整性；针对B层，重点讲评去分母后括号的处理和复杂计算；针对C层，引导学生探讨“解的概念”的运用（将解代入原方程），比较直接代入与常规解法，体会灵活解题的优越性。组织小组内互批A层题，聚焦步骤是否齐全。第四、课堂小结

知识整合：“同学们，旅程即将到站，请大家用自己的话，画一个简单的思维导图或流程图，总结一下今天解锁的‘解方程新步骤’是什么？它解决什么问题？关键点和易错点有哪些？”请12名学生分享。

方法提炼：“回顾整个过程，我们是如何学会‘去分母’的？我们经历了从具体例子发现障碍，到寻找依据（等式性质），再到概括步骤，最后辨析巩固的过程。这本身就是一种学习数学新知识的好方法——‘观察联想归纳应用’。”

作业布置与延伸：必做作业：教材课后练习中关于去分母的基础题和一道综合题。选做作业：1.寻找一道包含去分母步骤的实际应用题并解答。2.尝试解方程(x1)/0.2(x+2)/0.5=2，思考有几种化为整数系数的方法。“下节课，我们将把这些步骤串联起来，进行解一元一次方程的‘全能大挑战’！”六、作业设计

基础性作业（必做）：1.解方程：(x)/4=3。2.解方程：(3x2)/5=4。3.解方程：(x1)/3(x+2)/6=1。（目标：巩固去分母的基本操作和完整解方程步骤。）

拓展性作业（建议大多数学生完成）：小明的妈妈买回一些苹果，小明第一天吃了这些苹果的1/7又1/7个，第二天吃了剩下的1/6又1/6个，第三天吃了第二天剩下的1/5又1/5个……依此类推，第六天吃了第五天剩下的1/2又1/2个，这时还剩1个苹果。请问妈妈一共买了多少个苹果？（提示：可设总数为x，用含x的式子表示每天的剩余量，最后一天剩余量为1，列方程求解。本题重点在于列方程，解方程过程涉及连续去分母。）

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：请你自己创设一个生活情境，编一道需要用“去分母”来解的一元一次方程应用题。写出完整题目、解答过程，并说明你编题的想法。（目标：深化对去分母应用场景的理解，培养建模和创新能力。）七、本节知识清单及拓展

1.★一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程。

2.★解方程：求得使方程左右两边相等的未知数的值的过程。

3.★去分母：当方程中含有分母时，通过等式性质消除分母，将方程化为整数系数的步骤。

4.★去分母的依据：等式的基本性质2：等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。

5.★最小公倍数（LCM）：两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。去分母时，通常选取各分母的最小公倍数。

6.★去分母操作步骤（核心程序）：①确定各分母的最小公倍数；②方程两边每一项都乘以这个最小公倍数；③分子是多项式时，去分母后要加上括号。

7.★解一元一次方程的一般步骤（口诀）：去分母，去括号，移项要变号，合并同类项，系数化为1。

8.★易错点·漏乘：去分母时，方程两边的每一项都必须乘以最小公倍数，常数项或整数项切勿遗漏。

9.★易错点·忘添括号：当分子是一个多项式（含加减运算）时，去分母后，原分子必须作为一个整体加上括号。

10.★易错点·符号错误：去括号时，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；移项时，跨越等号要变号。

11.▲分数线的作用：分数线具有括号和除号的双重功能。如(a+b)/c表示(a+b)÷c，因此去分母时，a+b需视为整体。

12.▲化归思想：将未解决的复杂问题（含分母方程）通过转化，归结为已经解决的简单问题（整数系数方程）的思想方法。这是本节课蕴含的核心数学思想。

13.▲程序化思想：将解方程的过程分解为一系列明确的、可顺序执行的步骤，体现了算法的雏形，有利于培养逻辑的严密性。

14.▲拓展：小数系数的处理：对于含小数系数的方程，可先利用分数的基本性质，将分子分母同时乘以10^n化为整数系数，再利用去分母等方法求解。例如，0.2x=1可化为(2x)/10=1，然后两边同乘10。八、教学反思

（一）预设与生成：目标达成度分析本节课预设的核心目标是让学生掌握去分母的方法并规范求解。从假设的课堂实况看，“任务二”中学生上台板演出现的错误，是极佳的生成性资源，它生动地暴露了学生的认知盲点（不理解两边同乘的必要性），使得后续对“等式性质”依据的强调不再是教师的空洞说教，而是学生的内在需求。通过“任务四”的集中纠错与“三大纪律”的总结，学生对易错点的警惕性应会显著提高，这从巩固练习的完成质量中可窥见一斑。然而，对于“挑战组”将小数化分数再去分母的迁移能力，可能只有部分思维活跃的学生能真正贯通，这提示我在后续课程中需设计专题衔接练习。

（二）环节有效性评估与分层关照“导入”环节的古代数学问题情境，成功引发了学生的好奇与认知冲突，但时间把控需严格，避免过度展开。“新授环节”的五个任务，层层递进，从具体到抽象，符合认知规律。其中，“任务三（多重分母）”是承重墙，我通过“设问讨论规范演示特别强调”四步走，试图兼顾不同认知速度的学生。在巡视指导时，我预设了对基础薄弱学生的“单项操作复核”（如只检查去分母这一步是否正确），以及对学优生的“方法本质追问”（如“为什么一定要找最小公倍数？找公倍数行不行？”），体现了差异化支持。但反思下来，小组讨论中，如何更有效地分配角色，让每个层次的学生