《策略建模：从尝试到调整的智慧-“鸡兔同笼”问题探究》教学设计

《策略建模：从尝试到调整的智慧——“鸡兔同笼”问题探究》教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视域审视，本课隶属于“综合与实践”领域，是“数学广角”主题下的经典内容。其知识图谱的核心是“解决问题的策略”，具体承载于“鸡兔同笼”这一数学模型。在认知层级上，它要求学生从对具体数量关系的理解（识记与理解），跃升至对一般化解题策略的主动构建与应用（应用与创造），在单元序列中起着承上（巩固四则运算、等量关系）启下（为学习方程、函数思想奠基）的关键作用。过程方法上，课标强调的“模型思想”与“应用意识”在本课中具象化为“尝试—验证—调整”的完整探究路径。学生将从无序猜测走向有序列表，再从列表法中发现规律，初步感悟逼近、优化、简化的数学思想，这是将生活问题抽象为数学问题，再通过数学方法予以解决的微型建模过程。素养价值的渗透点在于，通过解决这一历史名题，引导学生体验“化繁为简”的策略智慧，在一次次尝试与调整中培养其不畏困难、严谨求实的科学态度与创新意识。

立足“以学定教”，需进行立体化学情研判。学生的已有基础是熟练掌握四则运算，具备初步的列表整理信息能力，并对“猜测”这一行为有天然的生活经验。潜在的认知障碍在于：一是从“盲目试错”到“有序尝试”的策略跃迁存在思维跨度；二是理解“每调整一只动物，总腿数变化2”的内在逻辑关联需要突破表象；三是在多种解法（如列表、假设）之间建立联系并灵活选用存在困难。为此，教学中的过程性评估将嵌入各个环节：在导入环节通过“快速猜想”观察学生的直觉思维；在新授环节通过任务单的填写与小组讨论，诊断其策略的有序性与逻辑的清晰度；在巩固环节通过分层练习，评估其策略迁移与优化的能力。基于此，教学调适配以“脚手架”与“加速器”并行的策略：为策略构建有困难的学生提供结构化的表格支架、分步操作指导；为思维敏捷的学生设置“跳跃列表”、“多种解法关联”等挑战任务，并鼓励其担任“策略宣讲员”，实现差异共进。二、教学目标

知识目标：学生能在具体情境中理解“鸡兔同笼”问题的基本结构，即已知总头数和总腿数求各自数量。他们能自主建构或理解“逐一列表”、“跳跃列表”、“取中列表”等策略的操作步骤与内在逻辑，并能用规范、清晰的数学语言解释“每调整一只，腿数差为2”的原理，最终形成关于此类问题的基本认知模型。

能力目标：学生经历完整的“阅读理解—制定策略—实施验证—回顾反思”的解决问题过程。他们能够独立或合作设计并执行有序的尝试方案，能从列表数据中敏锐观察并归纳出数量变化的规律，并能将所获策略迁移至“龟鹤问题”、“租船问题”等变式情境中，进行初步的推理论证与问题解决。

情感态度与价值观目标：在探究活动中，学生能主动参与小组合作，乐于分享自己的尝试过程（无论对错），并认真倾听、辨析同伴的思路。面对尝试中的失败，能表现出积极的调整意愿和坚韧的探究精神，体会到策略优化带来的成就感，感受数学古籍《孙子算经》中蕴含的传统智慧。

科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的模型思想与优化思想。通过将现实情境抽象为“头与腿”的数量关系模型，引导其经历“假设—检验—调整”的建模过程。同时，在多种列表策略的对比中，发展其追求简洁、高效的优化思维，学会根据数据特征灵活选择并调整解题策略。

评价与元认知目标：学生能依据“有序、清晰、有依据”的标准，对自我或同伴的解题策略进行简单评价。在课堂小结阶段，能回顾并梳理自己从“不会”到“会”的思维变化过程，反思“哪种列表方法更适合我？为什么？”，初步形成对学习策略的监控与调节意识。三、教学重点与难点

教学重点：掌握并运用有序尝试的策略（列表法）解决“鸡兔同笼”类问题。其确立依据源于课标对“模型思想”和“应用意识”的核心定位，列表法是学生从算术思维迈向代数思维的关键过渡桥梁，它直观地揭示了数量关系的变化规律，是后续学习假设法乃至方程思想的认知基础。从能力立意看，掌握有序尝试的策略本身，比解决单一问题更为重要。

教学难点：理解“每调整一只动物（即鸡兔互换），总腿数就会相应增加或减少2条”的内在逻辑关系，并能在尝试过程中自主应用此规律进行快速调整。难点成因在于，这一规律是隐藏在具体计算背后的抽象数量关系，学生需从多次列举的“形”中概括出规律的“神”，思维跨度较大。常见错误表现为调整方向混乱或调整步幅不当。突破方向在于，通过可视化演示（如学具操作或动画）和关键性提问，引导学生从“腿数差”倒推“调整量”，实现从机械列举到规律调参的飞跃。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含《孙子算经》引入动画、动态列表演示、多种方法对比图）；实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含引导性表格、基础与拓展练习题）；鸡和兔的卡通图片磁贴（用于黑板演示调整过程）。2.学生准备2.1预习与物品：简单了解《孙子算经》；携带铅笔、直尺、草稿本。3.环境布置3.1座位与板书：四人小组合作式座位；预留黑板中央区域用于板书核心问题与列表过程，侧边区域用于记录学生生成的不同策略关键词。五、教学过程第一、导入环节1.历史情境，激趣引题1.1教师活动：播放简短动画，介绍《孙子算经》中的经典问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”随后，教师用现代语言转述：“这就是著名的‘鸡兔同笼’问题。古人没有方程，他们是怎么解决的呢？今天，我们就来当一回小小数学家，探索古人智慧，一起‘尝试与猜测’。”1.2学生活动：观看动画，倾听问题，产生好奇。1.3核心问题提出与路径明晰：教师提出：“这个问题数字比较大，为了便于研究，我们先把它‘化繁为简’（板书）。假如笼子里有8个头，26条腿，鸡兔各有几只？大家先凭感觉猜一猜！”让学生自由猜测后，教师点明：“看来，随便猜不容易对。那我们能不能找到一种‘有方法’的猜，一种‘聪明’的猜？这节课，我们就来寻找这种有序尝试、步步逼近答案的策略。”第二、新授环节任务一：初探问题，体验无序到有序教师活动：“刚才大家猜了各种组合，我们来整理一下。怎么整理才能不重复、不遗漏呢？”引导学生想到“列表”。教师在课件上展示一个完全空白的表格，只显示“鸡/只”、“兔/只”、“腿/条”三个栏目。追问：“我们从几只鸡开始猜起呢？如果鸡是0只，兔就是8只，算算腿数是多少？（32条）和我们想要的26条比，是多了还是少了？”（多了）“那说明我们要增加鸡的数量还是减少？”（增加鸡，因为鸡腿少）。通过这几个引导性问题，帮助学生确立尝试的起始点和调整方向。接着，教师示范从“鸡0兔8”开始，逐一计算并填写表格，直到找出正确答案（鸡3兔5）。过程中，不断提问：“这次腿数是多少？离26条还差多少？接下来该怎么调整？”学生活动：跟随教师的引导，观察列表过程，口头共同计算每一次尝试的腿数，并判断与目标26条的差距，共同决定下一次尝试的方向（增加鸡的只数）。即时评价标准：1.倾听与跟随：能否专注地跟随教师的引导步骤进行思考。2.计算准确性：口头计算腿数时是否准确。3.方向判断：能否根据当前腿数与目标腿数的比较，正确说出下一次调整的对象是鸡还是兔。形成知识、思维、方法清单：★列表法是整理信息、有序尝试的好工具。▲尝试起点：可以从一种动物数量为0开始。★调整依据：比较当前总腿数与目标总腿数，腿数多了就增加腿少的动物（鸡），腿数少了就增加腿多的动物（兔）。（教学提示：此环节重在建立“列表”与“有序”的初步体验，不必追求速度。）任务二：独立列表，固化有序尝试流程教师活动：将问题稍作变化：“如果是8个头，28条腿呢？请大家在任务单的表格上，自己尝试列一列，看谁能又快又准地找到答案。”教师巡视，重点关注三类学生：一是无从下手的，引导其回忆刚才的流程，从“鸡0只”开始；二是按顺序逐一列举但速度慢的，给予肯定；三是已经尝试跳着列举的，予以关注，准备后续分享。走近一位正在埋头苦算的学生，轻声问：“找到窍门了吗？每一次算腿数都要重新‘4×兔+2×鸡’吗？有没有更快的算法？”学生活动：独立在任务单上完成列表过程，寻找答案。部分学生可能模仿之前的逐一列举，部分学生可能尝试跳着猜。即时评价标准：1.表格规范性：是否按行列清晰填写。2.尝试有序性：是否遵循一定的顺序（递增或递减）。3.计算策略：是否能发现基于上一次结果的简便计算方法（如上一次腿数+2或2）。形成知识、思维、方法清单：★有序尝试是解决问题的保证，避免混乱。▲计算优化：发现当鸡增加1只（兔减少1只），总腿数就减少2；反之，腿数增加2。可以利用这个规律快速推算下一行的腿数，不必每次都从头算。（教学提示：引导学生从繁琐计算中“抬头”，发现规律，是思维进阶的关键一步。）任务三：策略优化，发现“跳跃”与“取中”的智慧教师活动：邀请采用不同列举方式的学生上台展示。首先展示“逐一列举法”，肯定其有序。再展示“跳跃列举法”（如从鸡0直接试鸡4）。追问展示者：“你为什么从鸡0直接跳到鸡4？你是怎么想的？”引导学生说出“因为0只鸡时腿太多（32），离28差得远，所以想大步跳过来”。接着，教师提出“取中列举法”：“如果我们一开始不知道往哪边调，能不能从中间猜起？比如，先猜鸡兔各4只，算算腿数（24条）。比28少，说明什么？（兔少了）接下来怎么调？”组织学生对比三种方法，组织讨论：“这几种‘猜’法，哪一种更巧妙？为什么？什么情况下可以大步跳，什么情况下需要小步走？”学生活动：观察同伴的不同策略，倾听其思路。参与讨论，比较不同方法的优劣，理解“跳跃”和“取中”能减少尝试次数，提高效率。即时评价标准：1.表达清晰度：展示者能否说清自己的尝试思路。2.辩证思考：在讨论中能否认识到不同策略各有适用情境，没有绝对最优。3.联系与概括：能否将“跳跃”或“取中”与对数据差距的直觉判断联系起来。形成知识、思维、方法清单：★策略多样化：列表法中有逐一列举、跳跃列举、取中列举等多种策略。▲优化思想：根据第一次尝试结果与目标的差距大小，灵活选择调整的“步幅”，可以更快逼近答案，这就是优化。▲数感作用：对数字大小的直觉（数感）能帮助我们在尝试时做出更合理的初步判断。（教学提示：此处是培养学生策略意识与优化思维的核心环节，切忌教师直接告知最优法，而要让学生在对比中感悟。）任务四：规律升华，理解“每调整一只，腿数差2”教师活动：在黑板用磁贴演示：假设全是兔（8只兔，32条腿），多了6条腿。提问：“这多出来的6条腿，是怎么造成的？”（因为把鸡也当成兔来算了）“每把1只鸡当成兔，会多算几条腿？”（2条）。接着用置换磁贴的方式演示：“那我们要把几只‘兔’重新换成‘鸡’，才能纠正这6条腿的误差呢？”（换3只，因为6÷2=3）。将这个过程与列表法对应：“看，我们的列表，从鸡0兔8（全是兔）调整到鸡3兔5，是不是正好调整了3次？每次腿数减2。”引导学生用“假设全是鸡”的思路再推演一遍。学生活动：观察教师演示，理解“腿数差”源于“每只动物腿数差”。跟随教师的提问进行推理，得出调整次数（即鸡的只数）=（总腿数差）÷（每只腿数差）。尝试用“假设全是鸡”的思路进行表述。即时评价标准：1.逻辑理解：能否理解教师演示中“多算腿数”与“置换动物”之间的因果关系。2.语言转化：能否用自己的话解释“为什么是除以2”。3.逆向应用：能否从“假设全是鸡”的角度进行类似推理。形成知识、思维、方法清单：★核心原理：鸡兔数量调整的实质，是解决总腿数的“误差”。调整次数=(假设情况下的总腿数实际总腿数)的绝对值÷2。▲假设思想萌芽：这里蕴含了“假设法”的雏形，即先假设一种极端情况，再根据误差进行调整。（教学提示：此环节将具体的列表操作上升为一般规律，是建模的关键，需放慢节奏，确保学生理解其“所以然”。）任务五：回归原题，应用策略体验成功教师活动：出示《孙子算经》原题：“现在，我们有方法了，敢不敢挑战老祖宗的原始题目？35个头，94条腿。”激励学生：“大家可以用你最喜欢的列表方法，也可以用我们刚才发现的‘规律’来帮忙计算。看看谁能解开这个千年谜题！”巡视指导，鼓励学生先大胆假设（如假设全是兔），再计算调整。学生活动：选择自己喜欢的方法（列表或直接计算）解决问题。大部分学生可能会尝试用刚理解的“假设调整”思路进行计算（(35×494)÷2=23只鸡，则兔12只）。即时评价标准：1.策略选择与执行：能否选择并正确运用一种策略解决问题。2.计算准确性与完整性：过程清晰，计算准确，答案完整。3.成功体验：是否表现出解决复杂问题后的成就感。形成知识、思维、方法清单：★方法应用：列表法与“假设调整”思路均可解决复杂数据的问题。★模型初步建立：“鸡兔同笼”问题的基本解决思路是：做出假设→计算误差→分析原因（每份差）→求出调整量。这一模型可迁移到许多类似问题。（教学提示：让学生用新学策略征服原题，获得强烈的学习成就感，并体会模型的力量。）第三、当堂巩固训练

设计分层、变式训练体系：1.基础层（直接应用模型）：出示“龟鹤问题”：有龟和鹤共10只，腿共32条。龟鹤各有几只？（龟6鹤4）。“大家看，这是‘龟兔赛跑’吗？它和我们学的‘鸡兔同笼’有什么联系？”引导学生识别“龟”对应4条腿（兔），“鹤”对应2条腿（鸡），属于直接模型应用。2.综合层（情境迁移与逆用）：“全班42人去划船，租了10条船。每条大船坐5人，每条小船坐3人，正好坐满。大船、小船各租了几条？”“仔细读题，这里的‘头’是什么？‘腿’又对应什么？”引导学生将“船数”看作“头数”，“总人数”看作“总腿数”，实现情境迁移。3.挑战层（开放探究）：“自行车和三轮车共10辆，轮子共26个。每种车各多少辆？你还能编一道类似的‘鸡兔同笼’式问题吗？”鼓励学生自己寻找生活中的两种不同“单位量”的组合问题，进行创编。

反馈机制：基础层练习采用全班核对、快速反馈。综合层练习选取12份学生作品（含正确与典型错误）进行实物投影展示，开展同伴互评：“他找对‘头’和‘腿’了吗？计算过程对吗？”教师重点讲评模型迁移的关键点。挑战层答案开放，鼓励课后交流分享。第四、课堂小结

引导学生自主进行结构化总结与元认知反思：1.知识整合：“回顾这节课，我们解决‘鸡兔同笼’问题，走过了怎样的探索之路？”鼓励学生发言，教师板书关键词：遇到复杂问题→化繁为简→有序尝试（列表）→发现规律（每差2条腿）→形成方法（假设调整）→应用模型。引导学生用这个流程图回顾学习过程。2.方法提炼：“在这个过程中，我们用到了哪些重要的数学思想方法？”（化繁为简、有序思考、模型思想、优化思想、假设思想）。3.作业布置与延伸：1.4.必做（基础+拓展）：（1）完成练习册上与列表法相关的基础习题。（2）寻找生活中一个可以用“鸡兔同笼”模型解释的现象或问题，记录下来。2.5.选做（探究）：除了列表和今天的“假设调整”法，查阅资料或自行思考，还有没有其他方法解决“鸡兔同笼”问题？（如方程法、抬腿法），并尝试理解。“下节课，我们将继续交流大家的发现，并看看古人的‘抬腿法’有多么精妙！”六、作业设计基础性作业：1.停车场有自行车和小汽车共15辆，轮子共50个。自行车和小汽车各有多少辆？（要求用列表法解答）2.对照课堂形成的“知识清单”，复述“每调整一只，腿数差2”的原理。拓展性作业：3.（情境化应用）小明用50元钱买了单价分别为8元和5元的笔记本共7本。他两种笔记本各买了多少本？请用你喜欢的方法解答，并说明思路。4.（微型项目）采访你的家人或朋友，给他们出一个小型的“鸡兔同笼”问题（数据自拟），并教会他们用列表法解决。简要记录下教学过程和他们的反应。探究性/创造性作业：5.研究《孙子算经》中记载的“抬腿法”（或“砍足法”），尝试理解其原理，并用它来解决一道“鸡兔同笼”问题。思考：它和课堂上学的“假设调整”法在思路上有何异同？6.探究：如果笼子里不止鸡和兔，还有三只脚的怪物（假设），已知总头数、总脚数，以及三种动物各自的脚数，问题有解吗？你会如何设计解决策略？用文字或图表描述你的想法。七、本节知识清单及拓展★1.核心问题模型：“鸡兔同笼”问题本质是已知两个对象的总数和它们某种特征量（如腿数、轮子数、单价）的总和，求各自数量的数学模型。关键识别哪两个量对应“头”，哪两个量对应“腿/特征量”。★2.列表尝试法：有序整理信息、进行尝试的基础方法。包括：①逐一列表（从0开始，逐一增减）；②跳跃列表（根据与目标差距大小决定调整步幅）；③取中列表（从中间值开始，快速确定调整方向）。★3.核心调整原理：解决此类问题的关键是理解“单位差”。如鸡兔问题中，每把1只鸡换成1只兔，总腿数增加2；反之减少2。公式雏形：调整量=（假设全为某一对象时的总特征量实际总特征量）÷两种对象的单位特征量之差。▲4.假设思想萌芽：先假设笼子里全是鸡或全是兔（一种极端情况），计算出与实际情况的“总腿数差”，再根据“每换一只产生的腿数差”求出需要调整的数量。这是算术方法中的经典思路，是代数思想的先驱。★5.化繁为简策略：面对复杂数据（如35头94足）时，先用简单数据（如8头26足）探索规律和方法，再将规律应用于原题。这是科学研究中的常用策略。▲6.优化思想应用：在列表过程中，根据初步尝试结果选择“大步跳”或“小步走”，以减少尝试次数，体现数学的简洁美与效率追求。★7.模型迁移：该模型可广泛应用于“龟鹤问题”、“租船问题”、“车轮问题”、“价格问题”等。关键在于准确识别题目中的“头”（对象个数）和“腿”（对象的某个特征总量）。▲8.《孙子算经》与数学史：该问题出自我国古代数学名著，距今约1500年，体现了古人高超的数学智慧。了解数学史能增强文化自信和探究兴趣。▲9.方法对比与联系：列表法直观但可能繁琐；“假设调整”法（算术法）快捷但需理解原理；后续将学习的方程法通用但更抽象。它们是从具体到抽象、从算术到代数的思维发展阶梯。★10.易错点提醒：①识别错误：未能正确找出题目中对应的“头”和“腿”。②方向错误：调整时，腿数多了应增加腿少的动物，学生容易弄反。③计算错误：单位差计算错误，如将42算成1。④理解僵化：认为只有“鸡兔”才能用此模型，无法实现迁移。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析：从课堂反馈与巩固练习完成情况看，大部分学生能运用有序列表法解决基础变式问题，表明知识目标基本达成。能力目标方面，学生在独立列表和讨论优化策略时表现活跃，部分学生能清晰表达“跳跃列表”的缘由，体现了观察归纳与策略选择能力的发展。情感目标在挑战原题成功时体现最为明显，学生脸上洋溢的成就感是真实的。科学思维目标中，模型思想的建立是长期的，但本课通过“识别应用”环节，学生初步建立了迁移意识。元认知目标在课堂小结的回顾环节有所触及，但深度有待加强，部分学生仍停留在复述方法层面。

（二）教学环节有效性评估：导入环节的历史情境与“化繁为简”的提议迅速聚焦了问题，效果良好。“这个‘猜’字用得好，它降低了学生的畏难情绪，把高大上的‘策略’变成了接地气的‘找窍门’。”新授环节的五个任务构成了清晰的认知阶梯：任务一、二搭建了“有序”的脚手架；任务三的对比讨论是思维的碰撞点，“当学生说出‘我跳过去是因为差得太远’时，我知道他们的数感和优化意识开始工作了。”；任务四的规律升华是难点突破，磁贴演示将抽象思维可视化，至关重要；任务五的应用则完成了学习价值的闭环。巩固环节的分层设计兼顾了不同学生，但时间稍显仓促，挑战层练习的交流不够充分。

（三）学生表现深度剖析：在小组巡视中，观察到明显的差异：约三成学生能迅速发现规律并尝试“取中”或“假设法”；约五成学生能稳健地通过逐一列表找到答案，并在引导下发现计算优化规律；约两成学生停留在机械计算每一行的腿数，对规律感知较慢。“对于后一部